数值分析作业答案.docx
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数值分析作业答案
第2章插值法
1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。
(1))用单项式基底。
(2))用Lagrange插值基底。
(3))用Newton基底。
2
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解:
(1)用单项式基底
设多项式为:
P(x)a0
a1x
ax2,
所以:
A
1x00
x
2
f(x0)x00
x
2
a0f(x1)x11
x
2
f(x2)x22
1x00
x
x
2
2
1x11
x
2
1x22
011
311
424
111
111147
63
124
x
x
2
1
0
1
1
1
1
2
1
3
1
1f(x0)01x00
x
x
2
2
2
2
a11f(x1)11x11
x
x
1
1f(x2)21x22
11193
62
124
00
211
4
4
2
1
1
0
1
1
1
1
x
f(x)
1
x
x
a
1
x
f(x)
1
x
x
1
x2
f(x2)
1
x2
x
00
1
1
3
1
1
1
255
6
6
11
1
2
4
1
2
4
2
2
所以f(x)的二次插值多项式为:
P(x)
73x
32
5x2
6
(2)用Lagrange插值基底
l0(x)
(x
(x0
x1)(x
x1)(x0
x2)
x2)
(x1)(x2)
(11)(12)
1
l(x)
(xx0)(x
x2)
(x1)(x2)
(x1
x0)(x1
x2)
(11)(12)
l(x)
(xx0)(x
x1)
(x1)(x1)
2
2(x
x0)(x2
x1)
(21)(21)
Lagrange插值多项式为:
L2(x)
f(x0)l0(x)
f(x1)l1(x)
f(x2)l2(x)
0(3)
1(x
6
1)(x2)
41(x
3
1)(x1)
5x2
6
3x7
23
所以f(x)的二次插值多项式为:
L2(x)
73x
32
5x2
6
(3)用Newton基底:
均差表如下:
xkf(xk)一阶均差二阶均差
10
-1-33/2
247/35/6
Newton插值多项式为:
N2(x)
f(x0)
f[x0,x1](x
x0)
f[x0,x1,x2](x
x0)(x
x1)
03(x1)
2
5(x
6
1)(x1)
5x2
6
3x7
23
所以f(x)的二次插值多项式为:
N2(x)
73x
32
5x2
6
由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。
6、在
4x4上给出
f(x)
ex的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似
值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少?
解:
以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有
R2(x)
1f(
3!
)(x
xi1
)(x
xi)(x
xi1),
(xi
1,xi1)
式中xi1xh,xi1xh.
1
121e4
2
R(x)e4max(x
x)(x
x)(xx)e4h3h3
6xi1x
i1i
xi1
i163393
4
令eh3
106得h
0.00658
93
插值点个数
14(4)
N1
1216.8
1217
是奇数,故实际可采用的函数值表步长
h4(4)
N1
8
1216
0.006579
8、f(x)
x7x4
3x1,求
f[20,21,
27]及
f[20,21,
28]。
解:
由均差的性质可知,均差与导数有如下关系:
f[x0,x1,
xn]
f(n)()
n!
[a,b]
所以有:
f[20,21,
27]
f(7)()
7!
7!
1
7!
f[20,21,
28]
f(8)()0
0
8!
8!
2
15、证明两点三次Hermite插值余项是
R3(x)
f(4)(
)(x
x)2(x
xk1)
/4!
(xk
xk1)
k
并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。
证明:
利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件
H3(xk)
f(xk),H3(xk1)
f(xk1)
H3(xk)
f(xk),H3
(xk1)
f
(xk1)
2
知R3(x)
f(x)
H3(x)有二重零点xk和k+1。
设
R3(x)
k(x)(x
x)2(x
xk1)
k
确定函数k(x):
当xxk或xk+1时k(x)取任何有限值均可;
当xxk,xk
1时,x
(xk,xk
1),构造关于变量t的函数
g(t)
f(t)
H3(t)
k(x)(x
x)2(x
xk1
k
)
2
显然有
g(xk)
0,g(x)
0,g(xk1)0
g(xk)
0,g
(xk1)0
在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在1
(xk,x)及2
(x,xk
1)使得
g
(1)0,g
(2)0
在(xk,
1),(1,
2),(
2,xk
1)上对
g(x)使用Rolle定理,存在
k1(xk,
1),
k2(1,
2)和
k3(
2,xk
1)使得
g(k1)
g
(k2)
g(k3)0
再依次对g
(t)和g
(t)使用Rolle定理,知至少存在
(xk,xk
1)使得
g(4)()0
(4)
而g(t)
f(4)(t)
k(4)(t)4!
,将代入,得到
k(t)
1f(4)(),
4!
(xk,xk1)
2
推导过程表明依赖于
xk,xk
1及x
综合以上过程有:
R3(x)
f(4)(
)(x
x)2(x
xk1)
/4!
k
确定误差限:
记Ih(x)为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。
xka
kh,(k
0,1
n),hban
在区间[xk,xk+1]上有
f(x)
I(x)
f(4)(
)(x
x)2(xx
)2/4!
1maxf
(4)(x)
max(x
x)2(xx)2
hkk1
4!
axb
xkx
kk1
xl1
而最值
max(x
x)2(xx)2
maxs2(s
1)2h4
1h4,(xx
sh)
xkx
k
xl1
k10s116k
进而得误差估计:
f(x)
I(x)
1h4max
f(4)(x)
h
384
axb
16、求一个次数不高于4次的多项式
p(x)
,使它满足
p(0)
p(0)0,
p
(1)
p
(1)
0,p
(2)1。
解:
满足
H3(0)
H3(0)
0,H3
(1)
H3
(1)
1的Hermite插值多项式为
(x00,x11)
H3(x)
1
[H3(xj)aj(x)
j0
2
H3(xj)
j(x)]
2
12x1x0
1010
2x2x3
(x1)x0
10
设P(x)
于是
H3(x)
2
Ax(x
1)2,令
P
(2)
1得A1
4
P(x)
2x2x3
1x2(x
4
1)2
1x2(x4
3)2
第3章曲线拟合的最小二乘法
16、观测物体的直线运动,得出以下数据:
i
0
1
2
3
4
5
时间t/s
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s/m
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解:
经描图发现t和s近似服从线性规律。
故做线性模型s
abt,
span1,t,
计算离散内积有:
1,1
5
126,
j0
1,t
5
tj0
j0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
14.7
t,t
5
t
0
j
220.92
j0
1.92
3.02
3.92
5.02
53.63
1,s
5
sj0
j0
1030
5080
110
280
t,s
5
tjsj
j0
000.910
1.930
3.050
3.9
805.0
110
1078
求解方程组得:
6
14.7
a
280
14.7
53.63
b
1078
a7.855048,b22.253761
运动方程为:
s
7.855048
22.253761t
2
平方误差:
52
sjs(tj)
j0
2.1
102
17、已知实验数据如下:
i
0
1
2
3
4
Xi
19
25
31
38
44
Yi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如y
abx2的经验公式,并计算均方差。
解:
span1,x2
,计算离散内积有:
1,1
4
125,
j0
1,x2
4
x
j
2192
j0
252
312
382
442
5327
x2,x2
4
x
j
254
314
384
444
7277699
32.3
49.0
73.3
97.8
271.4
4194
j0
1,y
4
yj19.0
j0
x2,y
4
j
j
x2y
j0
192
19.0
252
32.3
312
49.0
382
73.3
442
97.8
369321.5
求解方程组得:
5
5327
a
271.4
5327
7277699
b
369321.5
a0.972579,b0.05035
所求公式为:
y
0.972579
0.05035x2
均方误差:
1
422
y(xj)yj
j0
0.1226
第4章数值积分与数值微分
1、确定下列求积分公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
(1)
h
1
f(x)dxAf(h)
h
A0f
(0)
A1f
(h);
(2)
2h
1
f(x)dxAf(h)
2h
A0f
(0)
A1f
(h);
(3)
1
f(x)dx
1
[f
(1)2f
(x1)3f(x2)]/3;
(4)
h
f(x)dxh[
0
f(0)
f(h)]/2
ah2[f
(0)
f(h)]。
解:
(1)
h
f(x)dxA1f(h)
h
A0f
(0)
A1f(h);
将f(x)1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等,得
A1
hA1
A0
0A0
A1
hA1
h
1dx
h
h
h
2hxdx0
h2AA0
h2A
h
x2dx
2h3
101h3
解得。
所求公式至少具有2次代数精确度。
又由于
hh4hh
故f(x)dxf(h)f(0)f(h)
具有3次代数精确度。
h333
(2)
2h
f(x)dx
A1f(h)
A0f(0)
A1f(h)
f(x)1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等,得
2h
A1
A0A1
1dx4h
2h
2h
hA10A0hA1
2h
xdx0
(h)2A
2
2h
1
A0
0
hA
1
2h
x2dx
1
3
2h
x3
2h
16
3
h3
解得:
A
1
A
1
8h,A
令f(x)
x3,得
3
2h
0
2h
x3dx
4h
3
0
8h
3
2h
(h)3
8h
3
5
h3
0
令f(x)
x,得
4
2h
4
x
5
2h
xdx
5
64h
5
8h
3
5
(
h)
4
8h
3
h
4
2h
16h
3
故求积分公式具有3次精确度。
(3)
1
1
f(x)dx[f
(1)2f(x1)
3f(x2)]/3
当f(x)1时,易知有
1
1
f(x)dx[f
(1)2f(x1)
3f(x2)]/3
令求积分公式对f(x)x,x2准确成立,即
1
1
xdx0
12x13x2
1
x2dx
则解得
2
3
x1x2
12x
2
1
3x
2
2
1
3
0.2898979x10.6898979
或
0.5265986x20.1265986
将f(x)
x代入已确定的积分公式,则
3
1
1
f(x)dx
[f
(1)2f(x1)3f(x2)]/3
2h
故所求积分式具有2次代数精确度。
(4)
h
f(x)dxh[
0
f(0)
f(h)]/2
ah2[f
(0)
f(h)]
当f(x)1,x时,有
h
1dxh[11]/2
0
2
ah[00]
h
xdxh[0
0
h]/2
ah2[11]
故令f
(x)
x2时求积公式准确成立,即
hx2dxh[0
0
h2]/2
ah2[02h]
解得a1。
12
34
将f(x)x,x代入上述确定的求积分公式,有
h
hx41
4
x3dxh[0h3]/2
h2[03h2]
0012
h
hx51
5
x4dxh[0h4]/2
h2[04h4]
0012
故所求积公式具有3次代数精确度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1
(1)
04
9
xdx,n8;x2
1
(2)xdx,n4;
(3)
64sin2
0
d,n6
解
(1)复化梯形公式,h1
8
8
7
Thf(0)2
2k1
f(xk)
f
(1)0.1114024
复化辛普森公式,h1
8
h77
S8f
6
(0)4
k
f(x
0k
1)4
2k1
f(xk)
f
(1)0.1115718
(2))h
2,T4
hf
(1)2
3
2k1
f(xk)
f(9)17.3060005
h33
S4f
(1)4
6k
f(x
0k
1)4
2k1
f(xk)
f(9)16.7237505
(3))h,T6
36
hf(0)2
5
2k1
f(xk)
f()1.03568416
h55
S6f(0)4
6k
f(x
0k
1)4
2k1
f(xk)
f()1.03576396
5、推导下列三种矩形求积公式:
b
f(x)dx
a
b
f(x)dx
a
(ba)
(ba)
f(a)
f(a)
f()2
f()
2
(ba)2;
(ba)2;
babf()3
f(x)dx(ba)f()(ba)。
a224
解:
(1)左矩形公式,将f(x)在a处展开,得
f(x)
f(a)
f()(xa),(a,x)
两边在[a,b]上积分,得
bbb
f(x)dxf(a)dxf
aaa
b
()(xa)dx
(ba)
f(a)
f()(xa)dx
a
由于x-a在[a,b]上不变号,故由积分第二中值定理,有(a,b)
bb
f(x)dx(ba)f(a)f()(xa)dx
aa
从而有
b
f(x)dx
a
(ba)f(a)
1f()(ba)2,(a,b)2
(2))右矩形公式,同
(1),将f(x)在b点处展开并积分,得
b
f(x)dx
a
(ba)f(a)
1f()(ba)2,(a,b)2
(3))中矩形分式,将
f(x)
在ab处展开,得2
f(x)
f(ab)
f(ab)(x
ab)
f()(x
ab2
(a,b)
),
2222
两边积分并用积分中值定理,得
b
f(x)
f(ab)(ba)
f(ab
b
)(x
ab)dx
1bf
()(x
ab)2dx
a22a
22a2
f(ab)(ba)2
b
f()(x
a
2
ab)dx2
f(ab)(ba)1f()(ba)3,(a,b)
224
6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I
1exdx,问区间0,1
0
应分多少等份才能使截断误差不超过
1105。
2
解:
由于
f(x)ex
f(x)
f(4)(x),ba1
由复合梯形公式的余项有:
Rnf
bah2f()
2
11e
1105
1212n2
解得n
212.85可取n
213
由辛普森公公式的余项有:
Rnf
bah4
f(4)()
1
(1)4
1105
28802880n2
解得n3.707可取n4
8、用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过
105
(1)2
1exdx
;
0
2
0
(2)
xsin
xdx;
3
0
(3)x1
x2dx。
h
Tn
f(x0)
n1
f(xn)2
f(xi),k0
解:
(1)Tk
(k)
2
4kT
(k1)
i1
T(k1)
2nn
k1,2,3,
T
k(k)
n
4k1
T
(k)
0.7717433
0.7280699
0.7135121
0.7169828
0.7132870
0.7132720
0.7142002
0.7132726
0.7132717
0.7132717
0
(k)1
T
(k)
2
(k)
T
3
T
T
0(0)
n
h
f(x0)
2
n1
f(xn)2
i1
f(xi)
14T
(0)
T(0)
(1)
T
2nn
n
41
2
(2)
42
T
(1)
T
(1)
T2nn
n421
T
3(3)
43
T
(2)
T
(2)
2nn
n3
41
(2)
k
T
(k)
0
(k)1
T
03.4513132*10-6
18.6282830*10-7-4.4469230*10-21
(3)(3)
18、用三点公式求f(x)
1
(1x)2在x1.0,1.1,1.2处的导数值,并估计误差。
的值
由下表给出:
x
f(x0)
1
2h
3f(x0)4f(x1)
f
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