判定二次函数中的abc的符号.docx
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判定二次函数中的abc的符号
二次函数:
图象位置与a,b,c,
(1)a决定抛物线的开口方向:
;.
(2)C决定抛物线与轴交点的位置,抛物线交轴于;
抛物线交轴于;.
(3)ab决定抛物线对称轴的位置,
当同号时对称轴在轴;对称轴为;异号对称轴在轴,简称为.
一、通过抛物线的位置判断a,b,c,△的符号.
例1.根据二次函数y=ax2+bx+c的图象,判断a、b、c、b2-4ac的符号
2.看图填空
(1)a+b+c_______0
(2)a-b+c_______0
(3)2a-b_______0(4)4a+2b+c_______0
二、通过a,b,c,△的符号判断抛物线的位置:
D
例1.若,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为()
例2.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限.
例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a<0,a-b+c>0;则一定有b2-4ac0
例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内,那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是()
B
D
C
A
1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上,则直线经过象限.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是(
A、B、
C、D、
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点在.()
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限
4.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数在同一坐标系中的图象大致是(
O
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象,如图,下列结论①②③④其中正确的有()
A、1个B、2个
C、3个D、4个
1
6.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,关于系数有下列不等式①②③④⑤其中正确个数为.
7.已知直线y=ax2+bx+c不经过第一象限,则抛物线一定经过()
A.第一、二、四象限B.第一、二、三象限
C.第一、二象限D.第三、四象限
8.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象,那么a的值是__.
9.若抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值为______
若抛物线y=x2-bx+9的顶点在y轴上,则b的值为______
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0的图象如图所示,有下列结论:
①abc>0;②a+b+c=2;;④b<1.其中正确的结论是(
A.①②B.②③C.②④D.③④
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0),且与y轴负半轴交于一点,给出以下结论①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论是(
A、1个B、2个C、3个D、4个
12.二次函数y=ax2-2x-1与x轴有交点,则k的取值范围________。
13.(2011甘肃兰州,9,4分)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b2-4ac>0;
1
(2)c>1;
(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0。
你认为其中错误的有(
A.2个B.3个C.4个D.1个
【答案】D
14.(2010湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:
①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
15.(2010年杭州月考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0的图象如图所示,给出以下结论:
①②当时,函数有最大值。
③当时,函数y的值都等于0.④其中正确结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
解:
根据函数图象,:
a<0,c>0,对称轴x=1,b>0,与x轴交于(-1,0)(3,0)两点.
①abc<0,正确;
②当x=1时,函数有最大值,正确;
③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0,正确;
④当x=2时,y=4a+2b+c>0,错误;
答案:
C
16.(2009黄石)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示,下列结论:
①abc>0②2a+b<0③4a-2b+c<0④a+c>0,其中正确结论的个数为()
A、4个B、3个C、2个D、1个
解:
①:
∵抛物线的开口方向向下,∴a<0,
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c>0,
∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴对称轴为x=-b/2a>0,
又∵a<0,∴b>0,故abc<0;故本选项错误;
②∵对称轴为x=-b/2a<1,a<0,∴-b>2a,∴2a+b<0;故本选项正确;
③根据图示知,当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0;故本选项正确;
④由图可知当x=-1时,y=a-b+c<0,∴a+c<b>0,即不确定a+c<0;故本选项错误;
综上所述,②③共有2个正确.
故选C.
17.小明从图1所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条信息:
①;②;③;④;⑤,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号)
解:
抛物线的开口向上,则a>0;
对称轴为x=-=,即3b=-2a,故b<0;
抛物线交y轴于负半轴,则c<0;
①由以上c<0,正确;
②由a>0,b<0,c<0,得abc>0,正确;
③由图知:
当x=-1时,y>0,则a-b+c>0,正确;
④由对称轴知:
3b=-2a,即3b+2a=0,错误;
⑤由对称轴知:
3b=-2a,即a=-b,函数解析式可写作y=-bx2+bx+c;
由图知:
当x=2时,y>0,即-b×4+2b+c>0,即c-4b>0,故⑤正确;
∴正确的结论有四个:
①②③⑤.
18.(2011山东日照,17,4分)如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:
①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是.(只要求填写正确命题的序号)
【答案】①③.
解:
①当x=1,∴a+b+c=0,所以①a+b+c=0正确,
②由对称轴x=-b/2a=-1,得b=2a所以②b>2a错误。
③由对称轴x=-1和与x轴交点是1,得与x轴另一个交点是-3,③正确。
④当x=-2,得4a-2b+c<0,(a-2b+c+3a<0a>0所以④a-2b+c>0错误。
图1
19.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,则下列结论中,正确的个数是()①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a
A.4B.3C.2D.1
解:
①当x=1,∴a+b+c<0,所以①a+b+c<0正确,
②当x=-1,∴a-b+c>0,所以②a-b+c>0正确
②由对称轴x=-b/2a=-1,得b=2a所以②b>2a错误。
③a<0,c>0,得b<0,所以abc>0,所以③abc>0
④由对称轴x=-1即-b/2a=-1,得b=2a,所以④b=2正确。
当x=-2,得4a-2b+c<0,(a-2b+c+3a<0a>0所以④a-2b+c>0错误。
20、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示,那么下列判断正确的是。
①abc>0;②b2-4ac>0,③2a+b>0;④4a-2b+c<0
解:
①∵抛物线开口向上,∴a>0,∴c<0,
所以b<0,所以①abc>0正确。
②抛物线与x轴有两个交点,所以②b2-4ac>0正确
③∵对称轴为-b/2a<1,a>0,∴-b<2a,
∴2a+b>0;所以③2a+b>0正确
④当x=-2时,4a-2b+c>0,所以④4a-2b+c<0错
故填①②③
21.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示,下列结论:
①abc>0②2a+b<0③4a-2b+c<0④a+c>0其中正确结论的个数为( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
解:
①:
∵抛物线的开口方向向下,∴a<0,
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c>0,
∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴对称轴为x=-b/2a>0,
又∵a<0,∴b>0,故abc<0;故本选项错误;
②∵对称轴为x=-b/2a<1,a<0,∴-b>2a,∴2a+b<0;故本选项正确;
③根据图示知,当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0;故本选项正确;
④由图可知当x=-1时,y=a-b+c<0,∴a+c<b>0,即不确定a+c<0;
故本选项错误;
综上所述,②③共有2个正确.
故选C.
22.(2007南充如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确结论是( )
A.②④B.①④C.②③D.①③
解:
①∵抛物线与x轴的交点为(-3,0和(1,0)
所以抛物线与x轴有两个交点∴b²-4ac>0①正确
②因为抛物线的对称轴是x=-1所以-b/2a<1
∴-b>2a(∵a<0)∴2a+b<0∴②错误
③∵x=-1时,y>0∴a-b+c>0∴③错误
④∵对称轴是x=-b/2a=-1∴b=2a即2a=b
∴5a-b=5a-2a=3a<0∴5a<b∴④正确
答案为①④
23.(2006武汉已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1,下列结论:
①9a-3b+c>0;②b<a;③3a+c>0.其中正确结论的个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
解:
①当x=-3时,得9a-3b+c>0,
所以①9a-3b+c>0正确。
②对称轴-=-1,即b=2a,,a>0即b>a,
所以②b<a错误。
③当x=1时,得a+b+c>0,
对称轴-=-1,即b=2a,
得a+2a+c>0,即:
3a+c>0。
所以③3a+c>0正确。
因此选C。
24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0)对于下列命题:
①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有()
解:
①图像对称轴对称轴-=1,即b=-2a,所以①错
②a>0,c>0,b<0,即abc<0,所以②正确
③当x=-时,(-2a-b+c<0,即③a﹣2b+4c<0正确
④x1×x2==-3,即c=-3a,所以8a+c=8a-3a=5a>0,所以④正确。
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- 判定 二次 函数 中的 abc 符号