高三数学高考一轮复习资料 集合及其运算.docx
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高三数学高考一轮复习资料集合及其运算
集合及其运算
[最新考纲]
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的
基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
辨析感悟
1.元素与集合的辨别
(1)若{
1}={0,1},则x=0,1.(×)
(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.(√)
(3)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}.(×)
2.对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立.(√)
(5)(·浙江卷改编)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁RS)∪T={x|-4≤x≤1}.(×)
(6)(·陕西卷改编)设全集为R,函数f(x)=
的定义域为M,则∁RM={x|x>1,或x<-1}.(√)
[感悟·提升]
1.一点提醒 求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.如第(3)题就是混淆了数集与点集.
2.两个防范 一是忽视元素的互异性,如
(1);
二是运算不准确,尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心,如(6).
3.集合的运算性质:
①A∪B=B⇔A⊆B;②A∩B=A⇔A⊆B;③A∪(∁UA)=U;④A∩(∁UA)=∅.
考点一 集合的基本概念
【【例1】】
【例1】
(1)(·江西卷)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ).
A.4B.2C.0D.0或4
(2)(·山东卷)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ).
A.1B.3C.5D.9
解析
(1)由ax2+ax+1=0只有一个实数解,可得当a=0时,方程无实数解;
当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合题意舍去).
(2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}.
答案
(1)A
(2)C
规律方法集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】已知a∈R,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a2014+b2014=________.
解析 由已知得
=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2014+b2014=1.
答案 1
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 (2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,求m的值. 审题路线 (1)分B=∅和B≠∅两种情况求解,当B≠∅时,应注意端点的取值. (2)先求A,再利用(∁UA)∩B=∅⇔B⊆A,应对B分三种情况讨论. 解 (1)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 解得2 综上,m的取值范围是(-∞,4]. (2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2. 规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论. 【训练2】 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 (2)(·郑州模拟)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为( ). A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 解析 (1)由题意知: A={1,2},B={1,2,3,4}.又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)a=0时,B={x|1≠0}=∅⊆A;a≠0时,B= ⊆A,则- =-1或- =1,故a=0或a=1或-1. 答案 (1)D (2)D 考点三 集合的基本运算 【例3】 (1)(·湖北卷)已知全集为R,集合A= ,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁RB=( ). A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2,或x>4}D.{x|0<x≤2,或x≥4} (2)(·唐山模拟)若集合M={y|y=3x},集合S={x|y=lg(x-1)},则下列各式正确的是( ). A.M∪S=MB.M∪S=S C.M=SD.M∩S=∅ 解析 (1)A= ={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以∁RB={x|x<2,或x>4},此时A∩∁RB={x|0≤x<2,或x>4}. (2)M={y|y>0},S={x|x>1},故选A. 答案 (1)C (2)A 规律方法一般来讲,集合中的元素离散时,则用Venn图表示;集合中的元素是连续的实数时,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. 【训练3】 (1)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( ). A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4} (2)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∩(∁UB)=________. 解析 (1)∁UA={0,4},∴(∁UA)∪B={0,2,4}. (2)由log2(x-2)<1,得0<x-2<2,2<x<4,所以B={x|2<x<4}.故∁UB={x|x≤2,或x≥4},从而A∩(∁UB)={x|-1≤x≤2}. 答案 (1)C (2){x|-1≤x≤2} 数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决. 学生用书第3页 创新突破1——与集合有关的新概念问题 【典例】已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ). A.3B.6C.8D.10 解析 法一(列表法) 因为x∈A,y∈A,所以x,y的取值只能为1,2,3,4,5,故x,y及x-y的取值如下表所示: x x-y y 1 2 3 4 5 1 0 -1 -2 -3 -4 2 1 0 -1 -2 -3 3 2 1 0 -1 -2 4 3 2 1 0 -1 5 4 3 2 1 0 由题意x-y∈A,故x-y只能取1,2,3,4,由表可知实数对(x,y)的取值满足条件的共有10个,即B中的元素个数为10,故选D. 法二(直接法) 因为A={1,2,3,4,5},所以集合A中的元素都为正数,若x-y∈A,则必有x-y>0,x>y. 当y=1时,x可取2,3,4,5,共有4个数; 当y=2时,x可取3,4,5,共有3个数; 当y=3时,x可取4,5,共有2个数; 当y=4时,x只能取5,共有1个数; 当y=5时,x不能取任何值. 综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为 4+3+2+1=10. 答案 D [反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算. (2)以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力. 【自主体验】 1.(·广东卷)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( ). A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S 解析 题目中x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立说明x,y,z是互不相等的三个正整数,可用特殊值法求解,不妨取x=1,y=2,z=3,w=4满足题意,且(2,3,4)∈S,(1,2,4)∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S成立. 答案 B 2.(·浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“好元素”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有( ). A.6个B.12个C.9个D.5个 解析 依题意,可知由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”,则这3个元素一定是相连的3个数.故这样的集合共有6个. 答案 A 对应学生用书P219 基础巩固题组 (建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.(·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- <x< },则( ). A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 解析 集合A={x|x>2,或x<0},所以A∪B={x|x>2,或x<0}∪{x|- <x< }=R. 答案 B 2.(·广东卷)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=( ). A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2} 解析 S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}. 答案 A 3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ). A.2个B.4个 C.6个D.8个 解析 P=M∩N={1,3},故P的子集共有4个. 答案 B 4.(·辽宁卷)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( ). A.(0,1)B.(0,2] C.(1,2)D.(1,2] 解析 0<log4x<1,即log41<log4x<log44,∴1<x<4,∴集合A={x|1<x<4},∴A∩B={x|1<x≤2}. 答案 D 5.设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为( ). A.{x|x≥1}B.{x|-4<x<2} C.{x|-8<x<1}D.{x|1≤x<2} 解析 阴影部分是A∩∁RB.集合A={x|-4<x<2},∁RB={x|x≥1},所以A∩∁RB={x|1≤x<2}. 答案 D 二、填空题 6.(·江苏卷)集合{-1,0,1}共有________个子集. 解析 所给集合的子集个数为23=8个. 答案 8 7.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为________. 解析 根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是a=4. 答案 4 8.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________. 解析 由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合A中的最小整数为-3. 答案 -3 三、解答题 9.已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},求A∪B. 解 由A∩B={-3}知,-3∈B. 又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3. ①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}. 故a=0舍去. ②当a-2=-3时,a=-1, 此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2}, 满足A∩B={-3},从而A∪B={-4,-3,0,1,2}. 10.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}, (1)若B⊆A,求a的值; (2)若A⊆B,求a的值. 解 (1)A={0,-4}, ①当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,解得a<-1; ②当B为单元素集时,a=-1,此时B={0}符合题意; ③当B=A时,由根与系数的关系得: 解得a=1. 综上可知: a≤-1或a=1. (2)若A⊆B,必有A=B,由 (1)知a=1. 能力提升题组 (建议用时: 25分钟) 一、选择题 1.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ). A.5B.4C.3D.2 解析 当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=2时,z=1; 当x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=2时,z=3.故z的值为-1,1,3,故所求集合为{-1,1,3},共含有3个元素. 答案 C 2.(·江西七校联考)设全集U=R,集合M={x|y=lg(x2-1)},N={x|0<x<2},则N∩(∁UM)=( ). A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1} C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1} 解析 M={x|y=lg(x2-1)}={x|x2-1>0}={x|x>1,或x<-1},所以∁UM={x|-1≤x≤1},结合数轴易得N∩(∁UM)={x|0<x≤1}. 答案 B 二、填空题 3.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 解析 A={x|-5 答案 -1 1 三、解答题 4.已知集合A={y|y=2x-1,0<x≤1},B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}.分别根据下列条件,求实数a的取值范围. (1)A∩B=A; (2)A∩B≠∅. 解 因为集合A是函数y=2x-1(0<x≤1)的值域,所以A=(-1,1],B=(a,a+3). (1)A∩B=A⇔A⊆B⇔ 即-2<a≤-1,故当A∩B=A时,a的取值范围是(-2,-1]. (2)当A∩B=∅时,结合数轴知,a≥1或a+3≤-1,即a≥1或a≤-4. 故当A∩B≠∅时,a的取值范围是(-4,1).
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