湖南省岳阳市中考数学试题与答案.docx
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湖南省岳阳市中考数学试题与答案
2019年湖南省岳阳市中考数学试题与答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每道小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)
1.(3分)﹣2019的绝对值是( )
A.2019B.﹣2019C.
D.﹣
2.(3分)下列运算结果正确的是( )
A.3x﹣2x=1B.x3÷x2=x
C.x3•x2=x6D.x2+y2=(x+y)2
3.(3分)下列立体图形中,俯视图不是圆的是( )
A.
B.
C.
D.
4.(3分)如图,已知BE平分∠ABC,且BE∥DC,若∠ABC=50°,则∠C的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.50°
5.(3分)函数y=
中,自变量x的取值范围是( )
A.x≠0B.x>﹣2C.x>0D.x≥﹣2且x≠0
6.(3分)甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是S甲2=1.2,S乙2=1.1,S丙2=0.6,S丁2=0.9,则射击成绩最稳定的是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.(3分)下列命题是假命题的是( )
A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.同角(或等角)的余角相等
C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分
8.(3分)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( )
A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<
D.c<1
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)
9.(4分)因式分解:
ax﹣ay= .
10.(4分)2018年12月26日,岳阳三荷机场完成首航.至此,岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成.机场以2020年为目标年,计划旅客年吞吐量为600000人次.数据600000用科学记数法表示为 .
11.(4分)分别写有数字
、
、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是 .
12.(4分)若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为 .
13.(4分)分式方程
的解为x= .
14.(4分)已知x﹣3=2,则代数式(x﹣3)2﹣2(x﹣3)+1的值为 .
15.(4分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:
“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?
”其意思为:
今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺.问每日各织多少布?
根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布 尺.
16.(4分)如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PE,切点为M,过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
①AM平分∠CAB;
②AM2=AC•AB;
③若AB=4,∠APE=30°,则
的长为
;
④若AC=3,BD=1,则有CM=DM=
.
三、解答题(本大题共8小题,满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)计算:
(
﹣1)0﹣2sin30°+(
)﹣1+(﹣1)2019
18.(6分)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AD、CD边上的点,DE=DF,求证:
∠1=∠2.
19.(8分)如图,双曲线y=
经过点P(2,1),且与直线y=kx﹣4(k<0)有两个不同的交点.
(1)求m的值.
(2)求k的取值范围.
20.(8分)岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.
(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?
(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
,求休闲小广场总面积最多为多少亩?
21.(8分)为了庆祝中华人民共和国成立70周年,某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛,某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分,得分为正整数且无满分,最低为75分)分成五组,并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5~79.5
2
0.05
79.5~84.5
m
0.2
84.5~89.5
12
0.3
89.5~94.5
14
n
94.5~99.5
4
0.1
(1)表中m= ,n= ;
(2)请在图中补全频数直方图;
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数,据此推测他的成绩落在 分数段内;
(4)选拔赛中,成绩在94.5分以上的选手,男生和女生各占一半,学校从中随机确定2名选手参加全市决赛,请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
22.(8分)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:
sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)
(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)
(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.
23.(10分)操作体验:
如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合),过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.
(1)如图1,求证:
BE=BF;
(2)特例感知:
如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;
(3)类比探究:
若DE=a,CF=b.
①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;
②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)
24.(10分)如图1,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:
y=
x2+
x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:
y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;
(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每道小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)
1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.A8.B
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)
9.a(x﹣y).
10.6×105.
11.
.
12.4.
13.1.
14.1.
15.
.
16.①②④.
三、解答题(本大题共8小题,满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.原式=1﹣2×
+3﹣1
=1﹣1+3﹣1
=2.
18.证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,
在△ADF和△CDE中,
,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠1=∠2.
19.解:
(1)∵双曲线y=
经过点P(2,1),
∴m=2×1=2;
(2)∵双曲线y=
与直线y=kx﹣4(k<0)有两个不同的交点,
∴
=kx﹣4,整理为:
kx2﹣4x﹣2=0,
∴△=(﹣4)2﹣4k•(﹣2)>0,
∴k>﹣2,
∴k的取值范围是﹣2<k<0.
20.解:
(1)设改造土地面积是x亩,则复耕土地面积是(600+x)亩,
由题意,得x+(600+x)=1200
解得x=300.
则600+x=900.
答:
改造土地面积是300亩,则复耕土地面积是900亩;
(2)设休闲小广场总面积是y亩,则花卉园总面积是(300﹣y)亩,
由题意,得y≤
(300﹣y).
解得y≤75.
故休闲小广场总面积最多为75亩.
答:
休闲小广场总面积最多为75亩.
21.解:
(1)m=40×0.2=8,n=14÷40=0.35,
故答案为:
8,0.35;
(2)补全图形如下:
(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数,而第20、21个数据均落在89.5~94.5,
∴测他的成绩落在分数段89.5~94.5内,
故答案为:
89.5~94.5.
(4)选手有4人,2名是男生,2名是女生.
,
恰好是一名男生和一名女生的概率为
=
.
22.解:
(1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形,
∴GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,
∴GH=0.2,
在Rt△AHE中,tan∠AEH=
,
则AH=HE•tan∠AEH≈1.9a,
∴AG=AH﹣GH=1.9a﹣0.2,
在Rt△ACG中,∠ACG=45°,
∴CG=AG=1.9a﹣0.2,
∴BD=1.9a﹣0.2,
答:
小亮与塔底中心的距离BD(1.9a﹣0.2)米;
(2)由题意得,1.9a﹣0.2+a=52,
解得,a=18,
则AG=1.9a﹣0.2=34.4,
∴AB=AG+GB=36.1,
答:
慈氏塔的高度AB为36.1米.
23.
(1)证明:
如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB,
由翻折可知:
∠DEF=∠BEF,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF.
(2)解:
如图2中,连接BP,作EH⊥BC于H,则四边形ABHE是矩形,EH=AB.
∵DE=EB=BF=5,CF=2,
∴AD=BC=7,AE=2,
在Rt△ABE中,∵∠A=90°,BE=5,AE=2,
∴AB=
=
,
∵S△BEF=S△PBE+S△PBF,PM⊥BE,PN⊥BF,
∴
•BF•EH=
•BE•PM+
•BF•PN,
∵BE=BF,
∴PM+PN=EH=
,
∵四边形PMQN是平行四边形,
∴四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2
.
(3)①证明:
如图3中,连接BP,作EH⊥BC于H.
∵ED=EB=BF=a,CF=b,
∴AD=BC=a+b,
∴AE=AD﹣DE=b,
∴EH=AB=
,
∵S△EBP﹣S△BFP=S△EBF,
∴
BE•PM﹣
•BF•PN=
•BF•EH,
∵BE=BF,
∴PM﹣PN=EH=
,
∵四边形PMQN是平行四边形,
∴QN﹣QM=(PM﹣PN)=
.
②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,同法可证:
QM﹣QN=PN﹣PM=
.
24.解:
(1)当x=﹣4时,y=
×(﹣4)2+
×(﹣4)=﹣4
∴点A坐标为(﹣4,﹣4)
当y=﹣2时,
x2+
x=﹣2
解得:
x1=﹣1,x2=﹣6
∵点A在点B的左侧
∴点B坐标为(﹣1,﹣2)
(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'G⊥x轴于点G
∴∠BEO=∠OGB'=90°,OE=1,BE=2
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'
∴OB=OB',∠BOB'=90°
∴∠BOE+∠B'OG=∠BOE+∠OBE=90°
∴∠B'OG=∠OBE
在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE(AAS)
∴OG=BE=2,B'G=OE=1
∵点B'在第四象限
∴B'(2,﹣1)
同理可求得:
A'(4,﹣4)
∴OA=OA'=
∵抛物线F2:
y=ax2+bx+4经过点A'、B'
∴
解得:
∴抛物线F2解析式为:
y=
x2﹣3x+4
∴对称轴为直线:
x=﹣
=6
∵点M在直线x=6上,设M(6,m)
∴OM2=62+m2,A'M2=(6﹣4)2+(m+4)2=m2+8m+20
∵点A'在以OM为直径的圆上
∴∠OA'M=90°
∴OA'2+A'M2=OM2
∴(4
)2+m2+8m+20=36+m2
解得:
m=﹣2
∴A'M=
∴S△OA'M=
OA'•A'M=
=8
(3)在坐标轴上存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
∵B'(2,﹣1)
∴直线OB'解析式为y=﹣
x
解得:
(即为点B')
∴C(8,﹣4)
∵A'(4,﹣4)
∴A'C∥x轴,A'C=4
∴∠OA'C=135°
∴∠A'OC<45°,∠A'CO<45°
∵A(﹣4,﹣4),即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时,∠AOD=45°,此时△AOD不可能与△OA'C相似
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时,∠AOD=∠OA'C=135°(如图2、图3)
①若△AOD∽△OA'C,则
=1
∴OD=A'C=4
∴D(4,0)或(0,4)
②若△DOA∽△OA'C,则
∴OD=
OA'=8
∴D(8,0)或(0,8)
综上所述,点D坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时,以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
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