中考试题分类汇编二次函数.docx
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中考试题分类汇编二次函数
2016年中考试题分类汇编
(二次函数)含答案
一、选择题
1、(2016天津市)已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:
①;②;③;④;⑤,(的实数)其中正确的结论有()B
A.2个B.3个C.4个D.5个
2、(2016南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确结论是( ).B
(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③
3、(2016广州市)二次函数与x轴的交点个数是()B
A.0B.1C.2D.3
4、(2016云南双柏县)在同一坐标系中一次函数和二次函数
的图象可能为()A
5、(2016四川资阳)已知二次函数(a≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0).下列结论正确的是()D
A.当x>0时,函数值y随x的增大而增大
B.当x>0时,函数值y随x的增大而减小
C.存在一个负数x0,使得当x
D.存在一个正数x0,使得当x
6、(2016山东日照)已知二次函数y=x2-x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,那么下列结论中正确的是( )B
(A)m-1的函数值小于0 (B)m-1的函数值大于0
(C)m-1的函数值等于0 (D)m-1的函数值与0的大小关系不确定
二、填空题
1、(2016湖北孝感)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图8所示,
且P=|a-b+c|+|2a+b|,Q=|a+b+c|+|2a-b|,
则P、Q的大小关系为.P 2、(2016四川成都)如图9所示的抛物线是二次函数的图象,那么的值是.-1 3、(2016江西省)已知二次函数的部分图象如图所示,则关于的一元二次方程的解为. ,; 4、(2016广西南宁)已知二次函数的图象如图所示,则点在第象限. 三 三、解答题 1、(2016天津市)知一抛物线与x轴的交点是、B(1,0),且经过点C(2,8)。 (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。 解: (1)设这个抛物线的解析式为 由已知,抛物线过,B(1,0),C(2,8)三点,得 (3分)解这个方程组,得 ∴所求抛物线的解析式为(6分) (2) ∴该抛物线的顶点坐标为 2、(2016上海市)在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为,且过点. (1)求该二次函数的解析式; (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点? 并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标. 解: (1)设二次函数解析式为, 二次函数图象过点,,得. 二次函数解析式为,即. (2)令,得,解方程,得,. 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和. 二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点. 平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为 3、(2016广东梅州)已知二次函数图象的顶点是,且过点. (1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象; (2)求证: 对任意实数,点都不在这个 二次函数的图象上. 解: (1)依题意可设此二次函数的表达式为,2分 又点在它的图象上,可得,解得. 所求为.令,得 画出其图象如右. (2)证明: 若点在此二次函数的图象上, 则.得. 方程的判别式: ,该方程无解. 所以原结论成立. 4、(2016贵州省贵阳)二次函数的图象如图9所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程的两个根.(2分) (2)写出不等式的解集.(2分) (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围.(2分) (4)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.(4分) 解: (1), (2) (3) (4) 5、(2016河北省)如图13,已知二次函数的图像经过点A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离. 解: (1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入得 解得∴二次函数的表达式为. (2)对称轴为;顶点坐标为(2,-10). (3)将(m,m)代入,得, 解得.∵m>0,∴不合题意,舍去. ∴ m=6.∵点P与点Q关于对称轴对称,∴点Q到x轴的距离为6. 6、(2016四川成都)在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,其顶点的横坐标为1,且过点和. (1)求此二次函数的表达式; (2)若直线与线段交于点(不与点重合),则是否存在这样的直线,使得以为顶点的三角形与相似? 若存在,求出该直线的函数表达式及点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角与的大小(不必证明),并写出此时点的横坐标的取值范围. 解: (1)二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点和, 由解得 此二次函数的表达式为. (2)假设存在直线与线段交于点(不与点重合),使得以为顶点的三角形与相似. 在中,令,则由,解得 .令,得.. 设过点的直线交于点,过点作轴于点. 点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为. . 要使或, 已有,则只需,① 或② 成立. 若是①,则有.而. 在中,由勾股定理,得. 解得(负值舍去).. 点的坐标为.将点的坐标代入中,求得. 满足条件的直线的函数表达式为. [或求出直线的函数表达式为,则与直线平行的直线的函数表达式为.此时易知,再求出直线的函数表达式为.联立求得点的坐标为.] 若是②,则有.而. 在中,由勾股定理,得. 解得(负值舍去)..点的坐标为. 将点的坐标代入中,求得.满足条件的直线的函数表达式为. 存在直线或与线段交于点(不与点重合),使得以为顶点的三角形与相似,且点的坐标分别为或. (3)设过点的直线与该二次函数的图象交于点. 将点的坐标代入中,求得.此直线的函数表达式为. 设点的坐标为,并代入,得. 解得(不合题意,舍去).. 点的坐标为.此时,锐角. 又二次函数的对称轴为, 点关于对称轴对称的点的坐标为. 当时,锐角;当时,锐角; 当时,锐角. 7、(2016四川眉山)如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的.O’点在x轴的正半轴上,B点的坐标为(1,3). (1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为 —1.求这个二次函数的解析式; (2)在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得ΔPOM为直角三角形? 若存在,请求出P点的坐标和ΔPOM的面积;若不存在,请说明理由; (3)求边C’O’所在直线的解析式. 8、(2016山东日照)容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比,即t=,为充分利用土地资源,更好地解决人们的住房需求,并适当的控制建筑物的高度,一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时,结合往年开发经验知,建筑面积M(m2)与容积率t的关系可近似地用如图 (1)中的线段l来表示;1m2建筑面积上的资金投入Q(万元)与容积率t的关系可近似地用如图 (2)中的一段抛物线段c来表示. (Ⅰ)试求图 (1)中线段l的函数关系式,并求出开发该小区的用地面积; (Ⅱ)求出图 (2)中抛物线段c的函数关系式. 解: (Ⅰ)设线段l函数关系式为M=kt+b,由图象得 解之,得 ∴线段l的函数关系式为M=13000t+2000,1≤t≤8. 由t=知,当t=1时,S用地面积=M建筑面积, 把t=1代入M=13000t+2000中,得M=15000m2. 即开发该小区的用地面积是15000m2. (Ⅱ)根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q=a(t-4)2+k,把点(4,0.09),(1,0.18)代入,得解之,得 ∴抛物线段c的函数关系式为Q=(t-4)2+,即Q=t2-t+,1≤t≤8. 9、(2006四川资阳)如图10,已知抛物线P: y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x … -3 -2 1 2 … y … - -4 - 0 … (1)求A、B、C三点的坐标; (2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围; (3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因,经过探索、思考仍无法圆满解答本题,请不要轻易放弃,试试将上述 (2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第 (1)小题与上相同,完全正确解答只能得到5分): (2)若点D的坐标为(1,0),求矩形DEFG的面积. 解: ⑴解法一: 设, 任取x,y的三组值代入,求出解析式,1分 令y=0,求出;令x=0,得y=-4, ∴A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).3分 解法二: 由抛物线P过点(1,-),(-3,)可知, 抛物线P的对称轴方程为x=-1,1分 又∵抛物线P过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点A、B、C的坐标分别为A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).3分 ⑵由题意,,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m,4分 又,EF=DG,得BE=4-2m,∴DE=3m,5分 ∴SDEFG=DG·DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0<m<2).6分 注: 也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC,或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解. ⑶∵SDEFG=12m-6m2(0<m<2),∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6. 当矩形面积最大时,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0),7分 设直线DF的解析式为y=kx+b,易知,k=,b=-,∴, 又可求得抛物线P的解析式为: ,8分 令=,可求出x=.设射线DF与抛物线P相交于点N,则N的横坐标为,过N作x轴的垂线交x轴于H,有 ==,9分 点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是 k≠且k>0.10分 说明: 若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题: ⑵∵,而AD=1,AO=2,OC=4,则DG=2,4分 又∵,而AB=6,CP=2,OC=4,则FG=3, ∴SDEFG=DG·FG=6. 10、(2016山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,二次函数的图象记为抛物线. (1)平移抛物线,使平移后的抛物线过点,但不过点,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可). (2)平移抛物线,使平移后的抛物线过两点,记为抛物
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