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初二数学勾股定理讲义经典
初二数学--勾股定理讲义(经典)
第一章勾股定理
【知识点归纳】
考点一:
勾股定理
(1)对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)结论:
①有一个角是30°的直角三角形,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(3)勾股定理的验证
例题:
例1:
已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边。
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=5,b=12,则c=___________;
②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;
④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC的面积是=________。
(2)如果直角三角形的两直角边长分别为
,2n(n>1),那么它的斜边长是( )
A、2nB、n+1C、n2-1D、
(3)在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()
A.
B.
C.
D.以上都有可能
(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A、25B、14C、7D、7或25
例2:
已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。
(2)已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A、24
B、36
C、48
D、60
(3)已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()
A、5B、25C、7D、15
例3:
探索勾股定理的证明
有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形,拼成如图所示的五边形,利用这个图形证明勾股定理。
考点二:
勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有关系,
,那么这个三角形是直角三角形。
(2)常见的勾股数:
(3n,4n,5n),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),(9n,40n,41n)…..(n为正整数)
(3)直角三角形的判定方法:
①如果三角形的三边长a,b,c有关系,
,那么这个三角形是直角三角形。
②有一个角是直角的三角形是直角三角形。
③两内角互余的三角形是直角三角形。
④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
例题:
例1:
勾股数的应用
(1)下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()
A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17
(2)若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( )
A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7
例2:
利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
(1)下面的三角形中:
①△ABC中,∠C=∠A-∠B;
②△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3;
③△ABC中,a:
b:
c=3:
4:
5;
④△ABC中,三边长分别为8,15,17.
其中是直角三角形的个数有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
(2)若三角形的三边之比为
,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.不等边三角形
(3)已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
(5)若△ABC的三边长a,b,c满足
试判断△ABC的形状。
(6)△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。
例3:
求最大、最小角的问题
(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1:
:
2,则其最小角为。
考点三:
勾股定理的应用例题:
例1:
面积问题
(1)下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()
A.13B.26C.47D.94
(图1)(图2)(图3)
(3)如图,△ABC为直角三角形,分别以AB,BC,AC为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半圆的面积关系,可得()
A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3 (2)如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是() A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3 例2: 求长度问题 (1)小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。 (2)在一棵树10m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高 例3: 最短路程问题 (1)如图1,已知圆柱体底面圆的半径为 ,高为2,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线,若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是。 (结果保留根式) (图1) (2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒,一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为。 (图2) 例4: 航海问题 (1)一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过小时后,它们相距________海里. (2)如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。 该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险试说明理由。 (图1)(图2) (3)如图2,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 例5: 网格问题 (1)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是() A.0B.1C.2D.3 (2)如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 (3)如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是() A.25B.C.9D. (图1)(图2)(图3) 例6: 图形问题 (1)如图1,求该四边形的面积 (2)(2010四川宜宾)如图2,已知,在△ABC中,∠A=45°,AC= ,AB= +1,则边BC的长为. (图1)(图2) (3)某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为m,宽为m,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由 . (4)将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h㎝,则h的取值范围。 【培优提高】 1.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm, 现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为 (A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm 2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=5㎝,求AB的长. 3. 3.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形: ①使三角形的三边长分别为3、 、 (在图甲中画一个即可); ②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可). 4.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是() ,2,3,3,4,4,5,5,6 5.在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 6.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 7.如图,每个小正方形的边长为1, 的三边 的大小关系式: (A) (B) (C) (D) 8.(本题满分10分) [问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,着名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。 [定理表述] 请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(3分) [尝试证明] 以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以 为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;(4分) [知识拓展]利用图2中的直角梯形,我们可以证明 其证明步骤如下: =。 又∵在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,
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