小初高学习浙江省中考数学专题复习 专题八 图形折叠问题训练.docx
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小初高学习浙江省中考数学专题复习专题八图形折叠问题训练
专题八 图形折叠问题
类型一折叠三角形
(2018·浙江台州中考)如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将△BDE沿直线DE折叠,得到△B′DE,若B′D,B′E分别交AC于点F,G,连结OF,OG,则下列判断错误的是()
A.△ADF≌△CGE
B.△B′FG的周长是一个定值
C.四边形FOEC的面积是一个定值
D.四边形OGB′F的面积是一个定值
【分析】A.根据等边三角形ABC的外心的性质可知AO平分∠BAC,根据角平分线的定理和逆定理得FO平分∠DFG,由外角的性质可证明∠DOF=60°,同理可得∠EOG=60°,∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,再根据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE;
B.根据△DOF≌△GOF≌△GOE,得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B′GF≌△CGE,可得结论;
C.根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE判断即可;
D.将S四边形OGB′F=S△OAC-S△OFG,根据S△OFG=
·FG·OH,FG变化,故△OFG的面积变化,从而四边形OGB′F的面积也变化,可作判断.
【自主解答】
三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等,解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称,轴对称是全等变换,找出相等的角和线段.
类型二折叠平行四边形
(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于________.
【分析】要计算周长首先需要证明E,C,D共线,DE可求,问题得解.
【自主解答】
关于平行四边形折叠问题,解答时需要关注:
在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段、对应角相等,与特殊的平行四边形相比,它缺少了特殊的条件.
1.(2018·甘肃兰州中考)如图,将▱ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E为()
A.102°B.112°C.122°D.92°
类型三折叠菱形
(2018·山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B′两点重合,MN是折痕.若B′M=1,则CN的长为()
A.7B.6C.5D.4
【分析】连结AC,BD,利用菱形的性质得OC=
AC=3,OD=
BD=4,∠COD=90°,再利用勾股定理计算出CD=5,接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM,然后根据折叠的性质得BM=B′M=1,从而有DN=1,于是计算CD-DN即可.
【自主解答】
折叠是轴对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.对于菱形的折叠,还要明确菱形的基本性质,在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析.
2.(2018·贵州遵义中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为__________.
3.如图,在菱形ABCD中,tanA=
,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB沿MN翻折,使AB的对应线段EF经过顶点D,当EF⊥AD时,
的值为____.
类型四折叠矩形
(2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:
①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上.若AB=AD+2,EH=1,则AD=________.
【分析】设AD=x,则AB=x+2,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,则可判断四边形AEFD为正方形,所以AE=AD=x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+2,则AH=AE-HE=x-1,然后根据勾股定理得到x2+(x-1)2=(x+2)2,再解方程求出x即可.
【自主解答】
此类问题中,运用的知识点比较多,综合性强,如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等,抓住翻折前后两个图形是全等的,把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键.
4.(2018·湖北宜宾中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内点F处,下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号).
①当E为线段AB中点时,AF∥CE;
②当E为线段AB中点时,AF=
;
③当A,F,C三点共线时,AE=
;
④当A,F,C三点共线时,△CEF≌△AEF.
类型五折叠正方形
(2018·江苏宿迁中考)如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E,F分别在边AB,CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x.
(1)当AM=
时,求x的值;
(2)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?
如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值;
(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.
【分析】
(1)利用勾股定理构建方程,即可解决问题;
(2)设AM=y,则BE=EM=x,MD=1-y,在Rt△AEM中,由勾股定理得出x,y的关系式,可证Rt△AEM∽Rt△DMP,根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长;
(3)作FH⊥AB于H.则四边形BCFH是矩形.连结BM交EF于O,交FH于K.根据梯形的面积公式构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题即可.
【自主解答】
正方形的折叠同其他图形一样,要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识,但由于正方形的特点,所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性,解题时应关注正方形本身具有的特点.
5.综合与实践
问题背景
折纸是一种许多人熟悉的活动,将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不是那么容易了,近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法,最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法,现在被数学界称之为芳贺折纸三定理.其中,芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1):
操作1:
将正方形ABCD对折,使点A与点D重合,点B与点C重合.再将正方形ABCD展开,得到折痕EF;
操作2:
再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至B′E的位置,得到折痕MN,B′E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点,即AP∶PB=2∶1.
解决问题
(1)在图1中,若EF与MN交于点Q,连结CQ.求证:
四边形EQCM是菱形;
(2)请在图1中证明AP∶PB=2∶1.
发现感悟
若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点,重复“问题背景”中操作2的折纸过程,请你思考并解决如下问题:
(3)如图2.若
=2.则
=________;
(4)如图3,若
=3,则
=________;
(5)根据问题
(2),(3),(4)给你的启示,你能发现一个更加一般化的结论吗?
请把你的结论写出来,不要求证明.
类型六折叠圆
(2018·湖北武汉中考)如图,在⊙O中,点C在优弧
上,将
沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为
,AB=4,则BC的长是( )
A.2
B.3
C.
D.
【分析】连结OD,AC,DC,OB,OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解.
【自主解答】
6.如图,将半径为4cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为()
A.2
cmB.4
cm
C.
cmD.
cm
参考答案
类型一
【例1】A.如图,连接OA,OC.
∵点O是等边三角形ABC的外心,
∴AO平分∠BAC,
∴点O到AB,AC的距离相等.
由折叠得DO平分∠BDB′,
∴点O到AB,DB′的距离相等,
∴点O到DB′,AC的距离相等,
∴FO平分∠DFG,∠DFO=∠OFG=
(∠FAD+∠ADF).
由折叠得∠BDE=∠ODF=
(∠DAF+∠AFD),
∴∠OFD+∠ODF=
(∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD)=120°,
∴∠DOF=60°.
同理可得∠EOG=60°,
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,
∴△DOF≌△GOF≌△GOE,
∴OD=OG,OE=OF,∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB,
∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,
∴AD=CG,AF=CE,∴△ADF≌△CGE,故选项A正确;
B.∵△DOF≌△GOF≌△GOE,
∴DF=GF=GE,
∴△ADF≌△B′GF≌△CGE,∴B′G=AD,
∴△B′FG的周长=FG+B′F+B′G=FG+AF+CG=AC(定值),故选项B正确;
C.S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=
(定值),故选项C正确;
D.S四边形OGB′F=S△OFG+S△B′GF=S△OFD+S△ADF
=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF
=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG.
如图,过O作OH⊥AC于H,
∴S△OFG=
·FG·OH,
由于OH是定值,FG变化,故△OFG的面积变化,从而四边形OGB′F的面积也变化,故选项D不一定正确.故选D.
类型二
【例2】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD=AB=2.
由折叠知∠DAC=∠EAC.
∵∠DAC=∠ACB,∴∠ACB=∠EAC,
∴OA=OC.
∵AE过BC的中点O,
∴AO=
BC,
∴∠BAC=90°,
∴∠ACD=90°.
由折叠知∠ACE=90°,
∴E,C,D共线,则DE=4,
∴△ADE的周长为3+3+4=10.
故答案为10.
变式训练
1.B
类型三
【例3】如图,连结AC,BD.
∵点O为菱形ABCD的对角线的交点,
∴CD=
=5.
∵AB∥CD,∴∠MBO=∠NDO.
在△OBM和△ODN中,
∴△OBM≌△ODN,∴DN=BM.
∵过点O折叠菱形,使B,B′两点重合,MN是折痕,
∴BM=B′M=1,∴DN=1,
∴CN=CD-DN=5-1=4.故选D.
变式训练
2.2.8 3.
类型四
【例4】设AD=x,则AB=x+2.
∵把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,
∴DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,
∴四边形AEFD为正方形,
∴AE=AD=x.
∵把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,
∴DH=DC=x+2.
∵HE=1,
∴AH=AE-HE=x-1.
在Rt△ADH中,∵AD2+AH2=DH2,
∴x2+(x-1)2=(x+2)2,
整理得x2-6x-3=0,解得x1=3+2
,x2=3-2
(舍去),
即
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