排列组合习题含详细包括答案doc.docx
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3件展品所选用的展
圆梦教育中心
排列组合专项训练
1.题1(方法对比,二星)
题面:
(1)有5个插班生要分配给3所学
校,每校至少分到一个,有多少种不同的
分配方法?
(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法?
解析:
“名额无差别”——相同元素问题
(法1)每所学校各分一个名额后,还有2
个名额待分配,可将名额分给2所学校、
1所学校,共两类:
C32C31(种)
(法2——挡板法)
相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,
共:
C426(种)
注意:
“挡板法”可用于解决待分配的元
素无差别,且每个位置至少分配一个元素
的问题.(位置有差别,元素无差别)
同类题一
题面:
有10个运动员名额,分给7个班,每班
至少一个,有多少种分配方案?
答案:
C6
9
详解:
因为10个名额没有差别,把它们排成一
排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个
空档中选6个位置插个隔板,可把名额分
成7份,对应地分给7个班级,每一种插
板方法对应一种分法共有C96种分法。
同类题二
题面:
求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案:
36.
详解:
将10个球排成一排,球与球之间形成9
个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每
空至多插一块隔板),规定由隔板分成的
左、中、右三部分的球数分别为x、y、z
之值,故解的个数为C92=36(个)。
2.题2(插空法,三星)
题面:
某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求
台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种.
答案:
60,48
同类题一
题面:
6男4女站成一排,任何2名女生都不相
邻有多少种排法?
64
答案:
A6·A7种.
详解:
任何2名女生都不相邻,则把女
生插空,所以先排男生再让女生插到男生
64
的空中,共有A6·A7种不同排法.
同类题二
题面:
有6个座位连成一排,现有3人就坐,则
恰有两个空座位相邻的不同坐法有()
A.36种
B.48种C.72
种
D.96种
答案:
C.
详解:
恰有两个空座位相邻,相当于两个
空位与第三个空位不相邻,先排三个人,
然后插空,从而共A33A24=72种排法,故
选C.
3.题3(插空法,三星)
题面:
5个男生到一排12个座位上就座,
两个之间至少隔一个空位.
1]没有坐人的7个位子先摆好,
[2](法1——插空)每个男生占一个位子,
插入7个位子所成的8个空当中,有:
A85=6720种排法.
(法2)[1]5个男生先排好:
A55;
[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素,
共有6个空,剩下的3个元素往里插空,
每个空可以插1个、2个、3个元素,
共有:
C63
2C62
C61种,
综上:
有A55(C63
2C62
C61)=6720种.
同类题一
题面:
文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目
的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,
则不同的排列方法有多少种?
答案:
30。
详解:
记两个小品节目分别为A、B。
先排A
节目。
根据A节目前后的歌舞节
目数目
考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,有种方法。
这一步完成后就有
5个节目了。
再考虑需加入的B节目前后的节目数,同
理知有种方法。
故由分步计数
原理知,方
法共有(种)。
同类题二
题面:
(2013年开封模拟)2位男生和3位女生共5
位同学站成一排,若男生甲不站两端,3
位女生中有且只有两位女生相邻,则不同
排法的种数是()
A.60B.48
C.42D.36
答案:
B.
详解:
第一步选2女相邻排列C23·A22,第二
步与男—女排列A22,第三步男生甲插在中
间,1种插法,第四步男—男生插空C14,
故有C2·A2·A2·C1=48种不同排法.
3224
4.题4(隔板法变形,三星)
题面:
15个相同的球,按下列要求放入4
..
个写上了1、2、3、4编号的盒子,各有
多少种不同的放法?
(1)将15个球放入盒子内,使得每个盒子都不空;C143364
(2)将15个球放入盒子内,每个盒子的球数不小于盒子的编号数;
(3)将15个球放入盒子内,每个盒子不必非空;
(4)任取5个球,写上1-5编号,再放入盒内,使每个盒子都至少有一个球;
(5)任取10个球,写上1-10编号,奇数编号的球放入奇数编号的盒子,偶数编号的球放入偶数编号的盒子.
解析:
(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3
个球,剩下的9个球用挡板法,C83=56
(3)借来4个球,转化为19个球放入盒子内,每个盒子非空,C183816
(4)不能用“挡板法”,因为元素有差别.
(法1)
必有一个盒子有2个球,C52A44
240;
(法2)
先选3个球,分别排到4个盒子中
的3个里,剩下的盒子自然放2个球.
C53A43
240;
(法3)A54C41
480
,会重!
需要除2!
重复原因:
1号盒子放1、5号球,先放1
后放5与先放5、后放1是一样的!
(5)(法1)每个球都有2种选择,共有210种
方法;
(法2)奇数号的球有1、3、5、7、9,共5
个,可以在1、3号两个盒子中选一个放
入,
共有:
C55C54C53C52C51C5025种放法,
同理放偶数号的球也有25种方法,综上共
有210种方法.
同类题一
题面:
某车队有7辆车,现要调出4辆按一定顺
序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参
加,且甲车要先于乙车开出有________种
不同的调度方法(填数字).
答案:
120.
详解:
先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种
选法,连同甲、乙共4辆车,排列在一起,
先从4个位置中选两个位置安排甲、乙,
甲在乙前共有C24种,最后,安排其他两辆
车共有A22种方法,故不同的调度方法为C25·C24·A22=120种.
同类题二
题面:
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载
机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着
舰,如
果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两
机不能相邻着舰,那么不同的着舰方
法有()
A.12B.18C.24
答案:
C.
详解:
分三步:
把甲、乙捆绑为一个元素A,
有A22种方法;A与戊机形成三个“空”,把丙、
丁两机插入空中有A32种方法;考虑A与戊
机的排法有A22种方法.由乘法原理可知共
有A22A32A2224种不同的着舰方法.故应选
C.
5.题5(相同与不同,三星)
题面:
某同学有同样的画册2本,同样的
集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋
友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有
()
A.4种B.10种C.18种D.20
种
同类题一
题面:
(2013·北京高考)将序号分别为
1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是
________.
答案:
96.
详解:
按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组,然后再分配给4人,连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5,
故其方法数是4A44=96.
同类题二
题面:
3位男生和3位女生共6位同学站成一排,
若男生甲不站两端,3位女生中有且只有
两位女生相邻,则不同排法的种数是
(
)
A.360
B.288
C.216
D.96
答案:
288种.
详解:
分析排列组合的问题第一要遵循特
殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问
题,先从3个女生中选两位,有C32种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有A22种方法;这样选出两名女生后,再考虑男生的
问题,先把三个男生任意排列,有A32中不
同的排法,
然后把两个女生看成一个整体,和另
一个女生看成两个元素插入4个位置中。
有A42种不同的排法,共有A22C32A33A42种不
同的排法。
然后再考虑把男生甲站两端的
情况排除掉。
甲可能站左端,也可能是右端,有C12
种不同的方法,然后其他两个男生排列有
A22种排法,最后把女生在剩余的三个位置
中排列,有A32种不同的排法。
共
A22C32C12A22A32种不同的排法,故总的排法
为A22C32A33A42—A22C32C12A22A32=288种不同
的方法。
.题6(组合数的性质,二星)
题面:
5个男生3个女生,分别满足下列
条件,各有多少种方法?
(1)选出3人参加A活动;
(2)选出5人参加B活动;
(3)选出4人参加一项活动,女生甲必须参加;
(4)选出4人参加一项活动,女生甲不能参加.
答案:
同类题一
题面:
从5名男医生、4名女医生中选3名
医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案
共有()
A.70
种B.80
种
C.100种
D.140
种
答案:
A.
详解:
分为2男1女,和1男2女两大类,共有
C52C14C51C42=70种
同类题二
题面:
男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
答案:
(1)120种
(2)246种.
详解:
(1)第一步:
选3名男运动员,有C36种
选法.
第二步:
选2名女运动员,有C24种选
法.
共有C36·C24=120种选法.
(2)至少1名女运动员包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1
男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种.
.题7(选和排,二星)
题面:
从4名男生和3名女生中选出3人,
分别从事三项不同的工作,若这3人中有
且只有1名女生,则选派方案共有多少
种?
法一:
先选后排,C31C42A33
法二:
排,(C31A13)A42
同类题一
面:
将4名教分配到3所中学任教,每所中学至少1名教,不同的分配方案
共有()
A.12种B.24种C.36种
D.48种
答案:
C.
解:
先分再排列:
将4名教分成3
有C24种分法,再将三分配到三所学校
有A33种分法,由分步乘法数原理,知一
共有C24·A33=36种不同分配方案.
同类题二
题面:
甲、乙、丙3人站到共有7的台上,若每台最多站2人,同一台上的人不区分站的位置,不同的站法种
数是()
A.258B.306C.336D.296
答案:
C.
解:
根据意,每台最多站2人,所
以,分两:
第一,有2人站在同一
台,共有C23A27种不同的站法;第二,
一台站1人,共有A37种不同的站法.根
据分加法数原理,得共有C23A27+A37=
336(种)不同的站法.
3.一(合理分,二星)
面:
若从1,2,3,⋯,99个整数中同取4个不同的数,其和偶数,
不同的取法共有()
A.60种B.63种C.65种D.66种
同类题一
面:
只用1,2,3三个数字成一个四位数,
定三个数必同使用,且同一数字不
能相出,的四位数有()
A.6个B.9个C.18
个D.36个
答案:
C.
解:
注意中条件的要求,一是三个数字必全部使用,二是相同的数字不能相,
四个数字共有C13=3(种)法,即1231,1232,1233,而每种有A22×C23=
6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,
即的四位数有18个.
同类题二
题面:
由1、2、3、4、5、6成没有重复数字且1、3都不与5相的六位偶数的个数
是()
A.72B.96C.108
D.144
答案:
C.
详解:
分两类:
若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)
故共有72+36=108个.
题8
题面:
5个男生3个女生,分别满足下列
条件,各有多少种方法?
(1)选出4人参加一项活动,女生甲必须参加;
(2)选3人参加数学竞赛,至少有一名男
生.
(法1)分类:
1名、2名、3名男生:
C51C32
C52C31
C53
55;
(法
2)间接法——C83
C33
C83
155.
(法
3)[1]先取1名男生;
[2]
再在剩下的
7人中取3人;C51C72
57
6
105?
2
同类题一
题面:
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同
的班,每个班至少分到一名学生,且甲、
乙两名学生不能分到同一个班,则不同分
法的种数为
答案:
C.
详解:
用间接法解答:
四名学生中有两名学生分
在一个班的种数是C42,顺序有A33种,而甲
乙被分在同一个班的有A33种,所以种数是
C42A33A3330
同类题二
题面:
甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则
甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的
选法共有
()
A.6B.12C.30
D.36
答案:
C.
详解:
可以先让甲、乙任意选择两门,有C42C42种
选择方法,然后再把两个人全不相同的情
况去掉,两个人全不相同,可以让甲选两
门有C42种选法,然后乙从剩余的两门选,
有C22种不同的选法,全不相同的选法是
C42C22种方法,所以至少有一门不相同的选
法为C42C42—C42C22=30种不同的选法。
题9(组合数性质,三星)某班分成五个小组,分别有5,6,7,8,9名同学,现从该班挑选2名同学参加比赛,且这两名同学必须来自同一小组,共有多少种不同的方
案?
同类题一
题面:
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同
的班,每个班至少分到一名学生,且甲、
乙两名学生不能分到同一个班,则不同分
法的总数为()
A.18B.24C.30
D.30
答案:
C.
详解:
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则
共有C42种不同的分法,然后三组进行全排列共A33种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共A33种不同的排法。
所以总的排法为C42A33A33=30种不同的
排法。
同类题二
题面:
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有
(A)30种
(B)90种
(C)
180种
(D)270种
答案:
B.
详解:
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5
名教师分成三组,一组1人,另两组都是
2人,有C51C4215种方法,再将3组分到
A22
3个班,共有15A3390种不同的分配方案,
选B.
题10(组合的识别,四星)
题面:
(1)“渐升数”是指每个数字比它
左边的数字大的正整数(如1458),则四位
“渐升数”共有多少个?
(2)5个男生3个女生排成一排,自左至右,
男、女生分别都从高到矮排(任意两人身
高不同),有多少种不同排法?
(法1)8个位置中选5个排男生,剩下3个位置排女生,C85C83,
注意:
男生位置选定以后,女生顺序一定,只对应一种排法.
(法2——除序)
A88
5
A55A33
C8.
(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5
能组多少个不同
的九位数?
多重排列除序C93C62C449!
3!
2!
4!
答案:
150
同类题一
题面:
形如45132的数称为“波浪数”,即十位数字,
千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由
1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为
________.
答案:
16.
详解:
由题意可得,十位和千位只能是4,5或者3,5.若
十位和千位排4,5,则其他位置任意排
1,2,3,则
2
3
=
个
;若十位和千位排
,
这样的数有A2
A
3
12(
5,3
)
这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相
邻,1,2在其余位置上任意排列,则这样的数有
22
A2A2=4(个),综上,共有16个.
同类题二
题面:
4个不同的球,4个不同的盒子,把球全
部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球,共有几种放
法?
(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
(3)恰有2个盒不放球,共有几种放
法?
答案:
(1)144种.
(2)144种.
(3)6种.
详解:
(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从
4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?
”即把4个球分成
2,1,1的三组,然后再从3个盒子中
选1个放2个球,其余2个球放在另外
2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有C14C24C13×A22=144种.
(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外
3个盒子放2个球,每个盒子至多放1
个球,也即另外3个盒子中恰有一个空
盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰
有1个盒不放球”是同一件事,所以共有
144种放法.
(3)确定2个空盒有C24种方法.
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