河南省学年九年级第一次大联考数学试题.docx
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河南省学年九年级第一次大联考数学试题
河南省2020-2021学年九年级第一次大联考数学试题
学校:
姓名:
班级:
考号:
一.单选题
1•卞列方程中,关于X的一元二次方程的是
()
A・x+2x=lE・x2+2y=2
C.2x-x2=3
1/
D・x+-=4y
2.抛物线y=3(兀-2尸-4的顶点坐标是(
)
A.(2,4)B.(-2,-4)
C.(2,-4)
D.(-2,4)
3.—元二次方程亍_25=0的解为()
A.=x2=5E・=x2=-1
C.旺=5,=-5
D・為=25,
兀=-25
4.用公式法解一元二次方程2亍-3x=l时,化方程为一般式当中的b、c依次为
()
A.2,-3,-1E.2,3,1C・2,一3,1D・2,3,-1
5.抛物线T—8x+4的对称轴是直线()
A・x=-lE・x=lC・x=-4D・x=4
6.关于x的一元二次方程ax2-4x+i=0有两个相等的实数根,则。
的值是()
A・一2E.2C・-4D・4
7.用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0时,以下变形正确的是()
A.(x-3)2=13B.(x_3)'=5C.(x+3)'=13D.(x+3)'=5
8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=2.r-4先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式是()
A.y=2(x+2)'+3B.y=2(x-2)2+3
C・)‘=2(x+2)~-3D・y=2(x-2)2-3
9.
己知等腰公ABC的两边分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则的周长为
10.二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示,则一次函数y=cx+ab的图彖不经过
()
A.第一象限B.第二象限C.第三彖限D.第四彖限
二、填空題
11.若函数y=(w-2)?
n|+l(加是常数)是二次函数,则加的值.
12.己知4为方程X2-X-1=0的一个根,则代数式3亍—3a—2的值为.
13.已知点(-1,2)在二次函数y=kx2的图象上,则R的值是.
14.某件羊毛衫的售价为1000元,因换季促销,在经过连续两次降价后,现售价为810
元,设平均每次降价的百分率为X,根据题意可列方程为.
15.若抛物线y=ax2+(a+3)x-2(a^0)^口向上,且当x>-l时,V随x值的增大
而增大,则满足条件的“的取值范围是.
三、解答题
16.解方程F—3x+1=0
17.已知二次函数y=X—8x+5.
(1)将二次函数y=F—8x+5配方成y=a(x-h)2+k的形式.
(2)若点4(-3,yJ,B(l,y2)在二次函数y=x2-8x+5的图象上,则儿与儿的大
小关系是.
18.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(70),(0,5)两点,求此二次函数的解析式.
19.《九章算术》是我国古代数学名著,有题译文如下:
今有门,不知其高宽;有竿,
不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角
线长恰好相等・问门咼、门宽各为多少?
20.已知关于x的方程x2+mx-—=Q.
4
(1)求证:
不论川为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
3
(2)若方程有一个根是求方程的另一个根和加的值.
2
21.已知二次函数y=亍一2尤一3.
(1)完成下表
X
•••
-1
0
1
2
3
•••
y
•••
0
•••
(2)根据
(1)的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线.
A\
y
r一I一「一tt一—I—I
IIIII4||||
1__|_」_丄__丄_L_l_
IIIII3
h-i-h-+-ht
IIIII厂一|一1一丁一厂亍
IIIII
r~r~r~r~n)
iii
iiiii-i
I-—厂—--
+ITI--
T—「—一-2一-3blr—--
+ITI--
T—「—I-—厂—TI「—J_—厂—
L_l_」_丄__丄_1__l_J
(3)结合函数图象,当yvO时,x的取值范围是・
22.为了丰富市民的文化生活,我市开放膝王阁夜游项目《滕王宴乐》.为吸引游客组团来此夜游观看,特推出了如下门票收费标准:
标准一:
如果人数不超过20人,门票价格为60元/人;
标准二:
如果人数超过20人,每超过1人,门票价格降低2元,但门票价格不低于50元/人.
(1)当夜游人数为15人时,人均门票价格为元;当夜游人数为25人时,人均
门票价格为元.
(2)若某单位支付门票费用共计1232元,则该单位这次共有多少名员工去滕王阁夜游观看?
23.
在平面直角坐标系中,坐标原点为o,已知抛物线y=d(x—〃7)'+“(dH°)与y轴交于点A,它的顶点为B,连接AB、BO,则称△ABO为抛物线的伴生三角形,直线AB为抛物线的伴生直线・
(1)如图1,求抛物线y=(x+2)'+l的伴生直线43的解析式.
(2)已知抛物线y=k(x-2)2+1的伴生直线为y=—x+3,求R的值.
(3)如图2,若抛物线y=a(x-m)2+n(tn>0)的伴生直线是y=—4,且伴生三角
形430是直角三角形,求此抛物线的解析式.
参考答案
1.C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可
【详解】
解:
A、x+2x=1是一元一次方程,不符合题意;
B、x2+2y=2-元二次方程,不符合题意;
C、2x-x2=3是一元二次方程,符合题意;
D、x+丄=4不是整式方程,所以不是一元二次方程,不符合题意;
y
故选:
C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2.C
【分析】
根据二次函数的解析式特点即可求解.
【详解】
抛物线y=3(x-2)2-4的顶点坐标是⑵—4)
故选C.
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点,解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点.
3.C
【分析】
先移项,再通过直接开平方法进行解方程即可.
【详解】
解:
F—25=0
移项:
妒=25
开平方得x】=5,x2=-5,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查用开平方法解一元二次方程,解题关键在于熟练掌握开平方方法.
4.A
【分析】
先把方程化为一元二次方程的一般形式,再确定a,b,c.
【详解】
解:
•・•方程2x2-3x=1化为一般形式为:
2扌一3兀一1=0,
a=2»b=-3,c=-l»
故选:
A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0>其中a,b分别是二次项和一次项系数,c为常数项.
5.D
【分析】
根据二次函数的对称轴方程可直接得出答案.
【详解】
解:
Ty=x'-8x+4,
・*.a=l,b=-8
・・•亠.
2a
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查二次函数对称轴方程,熟练掌握对称轴方程公式是解题的关键.
6.D
【分析】
根据关于a-的一元二次方程ax2-4x+l=0有两个相等的实数根可知夕・4«c=0,求出a
的取值即町•
【详解】
解:
•・•关于A-的一元二次方程X・4X+1=0有两个相等的实数根,
-4ac=(-4尸-4a=Q,
解得0=4.
故选:
D.
【点睛】
本题考查的是根的判别式,即一元二次方程处2+bx+c=O(aHO)的根与b--4ac有如下关系:
①当夕・4ac>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当,・4dc=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当b~-4ac<0^,方程无实数根.
7.B
【分析】
将方程的常数项移到右边,两边都加上9,左边化为完全平方式,右边合并即可得到结果.
【详解】
解:
x2-6.v+4=0
移项得:
x2-6x=-4
配方得:
x2-6x+9=5
(x-3)2=5
故选:
B.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法,利用此方法解方程时,首先将方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边都加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并,利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解.
&D
【分析】
根据二次函数图象的平移规律即可得到结果.
【详解】
解:
函数y=2x2-4先向右平移2个单位,得y=2(x—2『一4,
再向上平移2个单位,得y=2(x—2『一3,
故选D.
【点睛】
解答本题的关键是熟练掌握二次函数图彖的平移规律:
左加右减,上加下减.
9.A
【分析】
先求出一元二次方程的两个根,从而求出等腰三角形的两个边,然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论,根据三角形的三边关系排除并求周长即可.
【详解】
解:
x2-10X4-21=0
解得:
X]=3,兀=7
・•・等腰aABC的两边分别是3和7
若等腰△A3C的腰长为3,
•.•3+3V7
・•・不能构成三角形,故舍去;
若等腰aABC的腰长为7,
由3+7>7
・•・等腰aABC的周长为3+7+7=17
故选A.
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的定义和三角形的三边关系,掌握一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系是解题关键.
10.B
【分析】
根据二次函数图象的开II方向、对称轴判断出a、b和c的正负情况,再由一次函数的性质解答.
【详解】
解:
由图彖开口向下可知aVO,
由对称轴x=-—>0,得b>0.
2a
由图彖与y轴正半轴相交,得oo
则ab<0,
所以一次函数y=cx+ab的图彖经过第一、三、四彖限,不经过第二象限.
故选:
B
【点睛】
本题考查二次函数图象和一次函数图彖的性质,解答本题的关键是求出a、b和c的正负情况,要掌握它们的性质才能灵活解题,此题难度不人.
11.-2
【分析】
根据二次函数的定义解答.
【详解】
由题意知,加一2工0且»|=2,
解得:
m=~2,
故答案为:
一2.
【点睛】
本题考查二次函数的定义,属于基础题型.
12.1
【分析】
把4代入方程1=0,得到关于。
的代数式的值,求解即可.
【详解】
解:
Ta为方程x2-x-l=0的一个根,
・°・夕-。
一1=0,即亍一。
=1,
・•・3夕一3。
-2=3(亍一。
)-2=3><1-2=1,
故答案为:
1.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、代数式求值,把a代入方程F—x—1=0,得到关于a的代数
式的值是解题的关键.
13.2
【分析】将点(-1,2)直接代入二次函数的解析式即可得.
【详解】
由题意,将点(T,2)代入二次函数的解析式得:
(―1「R=2,
解得k=2,
故答案为:
2.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数中的参数,熟练掌握待定系数法是解题关键.
14.1000(1-x)2=810
【分析】
第一次降价后的单价是1000(1-x),第一次降价后的单价是1000(1-x)2,根据题意列出方
程即可.
【详解】
解:
由题意得
1000(1-x)2=810
故答案为:
1000(1—x)'=810
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用,理解平均变化率并正确列出一元二次方程是解题的关键.
15.0<«<3
【分析】
根据二次项的系数人于0,对称轴右边y随x增大而增大,可得答案.
【详解】
解:
T抛物线v-ax2+(a+3)x-2(a^O)开II向上,且当x>-l时,y随x值增大而增人,
a+3
.\a>0,<-1,
2a
解得0VaS3.
故答案为0 【点睛】 本题考查了二次函数的性质,二次函数的二次项系数大于0,开【I向上,有最小值,在对称轴的右侧,y随x值增人而增人;二次函数的二次项系数小于0,开II向卞,有最人值,在对称轴的右侧,y随x值增人而减小. 3+石3-^5 16.x.=,= 122 【分析】 先用△=b2-4ac判断解的个数,再用x=求出方程的两个解. 2a 【详解】 解: Td=1,b=—3,c=l ・: △=b2-4ac=5 …-b±Jb2-4cic •x= 2a •3+石3-厉 ••兀=,= 122 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的解法,熟悉用/\=b2-4ac判断解的个数,再用 开="土J/一仏求解是关键 2a 17. (1)y=(x_4)2_ll; (2)儿>儿. 【分析】 (1)利用配方法即可得: (2)结合 (1)的结论得出二次函数的增减性,由此即可得出答案. 【详解】 (1)y=x2-8x+5=x2-8x+16-11=(x-4)2-11, 即y=(X-4)2-ll; (2)由二次函数的性质可知,当XW4时,y随x的增人而减小,因为点△(—3,兀),〃(1,儿)在此二次函数的图彖上,且-3<1<4,所以开>儿. 【点睛】 本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图彖与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键. 18.y=-x2+4X+5 【分析】 将(1,0)、(0,5)两点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、C的方程组,然后解方程组即 可. 【详解】 解: 把(1,0)、(0,5)代入y=—十+bx+c -l-b+c=0 得彳<, c=5 b=4 解得{V, c=5 所以二次函数的解析式为y=—F+4x+5 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式;在利用待定系数法求二次函数关系式时,要 根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解. 19•门高为8尺,门宽为6尺 【分析】 设竿的长度为x尺,则门高为(v-2)尺,门宽为(x-4)尺,根据勾股定理列出方程即可求 解. 【详解】 解: 设竿的长度为x尺,则门高为(v-2)尺,门宽为(X—4)尺, 故门对角线长为x尺. 根据勾股定理得(%-2)2+(x-4)2=x2, 整理得x2-12x+20=0, 解得=2,x2=10. 经检验,x=2不符合题意,舍去, •: x=10 即门高为x—2=8,门宽为x-4=6. 答: 门高为8尺,门宽为6尺. 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是熟知勾股定理的性质,列方程求解. 20. (1)证明见解析; (2)方程的另一个根为m=-l. 2 【分析】 (1)直接利用一元二次方程根的判别式即可得证; (2)利用一元二次方程根与系数的关系即可得. 【详解】 (1)•: 一元二次方程x2+rnx=0中的a=l,b=m,c=——一, 44 ・•・其根的判别式为厶=府—4x1x(—才丿=府+15>0, •••不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的另一个根为〃, 3——+n=-in 2 由一元二次方程根与系数的关系得: ;15 ——n=一一- 24 m=-l 解得]5, n=— 2 即方程的另一个根为m=-l. 2 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系是解题关键. 21. (1)-3,-4,-3,0: (2)见解析;(3)-l 【分析】 (1)将各已知的横坐标代入解析式求解出函数值即町: (2)先在直角坐标系中描出表格中各个点,再用光滑的曲线连接即可; (3)由函数图像得,当yvO时,-1 【详解】 解: (1)当x二0时,y=x2-2x-3=-3: 当x=l时,y=%2—2%—3=—4; 当x二2时,y=x2-2x-3=-3: 当x二3时,y=x2-2x-3=0; 故答案为: -3,-4,-3,0 (2)图象如图所示: (3)由函数图像得,该抛物线的开II向上, •・•>? <0 ・•・-l 故答案为: —lvx<3. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像和性质,解题的关键是掌握二次函数图像与不等式的关系. 22. (1)60;50; (2)该单位这次共有22名员工去滕王阁夜游观看. 【分析】 (1)根据“如果人数不超过20人,门票价格为60元/人: 如果人数超过20人,每超过1 人,门票价格降低2元,但门票价格不低于50元/人”可得答案; (2)设该单位这次共有x名员工去滕王阁夜游观看,利用数量=总价*单价结合人数为整数可得出a>20,由总价=单价X数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论. 【详解】 解: (1)V15<20, ・••人均门票价格为60元, V25>20, ・••人均门票价格为60—2(25-20)=50元 故答案为: 60: 50; (2)设该单位这次共有x名员工去滕王阁夜游观看. •・•1232>20x60, x>20. 根据题意,得460-2(x-20)]=1232, 整理,得x2-50x+616=0» 解得人=22,兀=28. 当x=22时,人均旅游费用为60—4=56; 当x=28时,人均旅游费用为60—16=44v50,不符合题意,舍去. x=22. 答: 该单位这次共有22名员工去滕王阁夜游观看. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 23. (1)y=2x+5; (2)k=-;(3)y=--(x-4)2或『=--(x-2)2-2. 242 【分析】 (1)求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标,然后利用待定系数法即可求出结论; (2)求出伴生直线y=-x+3与),轴的交点坐标,然后代入抛物线解析式中即可求出结论: (3)先求出伴生直线y=X-4与y轴的交点坐标,从而求出OA的长,然后根据点B的位置分类讨论,分别求出点B的坐标即可求出m和n的值,再将点A的坐标分别代入即可求出结论. 【详解】 解: (1)•・•在y=(x+2)'+1中,当x=0时,y=5, ・•・抛物线y=(x+2尸+1与),轴的交点坐标为4(0,5), 顶点坐标为3(—2,1). 设伴生直线AB的解析式为y=bx+ct f-2b+c=l 则匸5, |7? =2 解得95, ・•・抛物线y=(x+2)2+1的伴生直线AB的解析式为J=2x+5. (2)•・•伴生直线y=-x+3与y轴的交点为(0,3), 抛物线y=k(x-2)2+1与y轴的交点为(0,3). 把点(0,3)代入抛物线y=k(x-2)'+1中, 得q. (3)•・•伴生直线y=x-4与),轴的交点A为(0.-4), OA=4. •・•伴生三角形是直角三角形, 满足条件的点B有两个. 1B点在x轴上时,ZAOB=90°,则B点为(4,0), m=4,〃=0. 将点4(0,-4)代入y=a(x-4)2中,得一丄, 4 ・•・抛物线的解析式为y=-丄(x-4)2. 4 2B点在直线y=x-4±,且ZABO=90。 ,如图,
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