数学归纳法及其应用举例.docx

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数学归纳法及其应用举例

数学归纳法及其应用举例

目的要求：

1．了解数学推理的常用方法：

演绎法与归纳法；

2．理解数学归纳原理的科学性；

3．初步掌握数学归纳法的适用场合及证明步骤．

内容分析：

1．本课是数学归纳法及其应用举例的第一课时．教师应从已学过的知识中，选择含有归纳思想方法的内容入手，引导学生体验知识形成、发现的过程．例如等差数列通项公式是通过前有限项归纳出一般结论的；凸n边形内角和公式是根据三角形、四边形、五边形、六边形内角和而发现的，……，由此提炼出不同于演绎法的数学推理方法：

归纳法（由特殊到一般）．

2．通过学生易于理解的一些问题，说明归纳法的两难境地：

完全归纳法结论可靠，但要“完全”归纳，要么不可能做到，要么很难做到；不完全归纳法虽然简单，但结论的可靠性无法保证．通过介绍近现代数学中有名的“哥德巴赫猜想”或“费尔马猜想”，激发学生的数学兴趣，让学生接触近代的数学，感受归纳法在数学发现中的重要应用．

3．通过对不完全归纳法的分析，引导学生寻求保证结论可靠的办法：

关键是“传递性”是否具备，若“传递性”具备，正确的结论就会由一而二，由二而三，以至无穷．这方面例子很多，也很有趣，教师应据具体情况，借助“道具”或多媒体技术展现一、二例，详加分析；在分析过程中向“两个步骤，一个结论”靠拢，向数学归纳法原理靠拢．

以下例子，可供选用：

①古代用烽火台传递军情．结合“烽火戏诸侯”故事，说明数学归纳法两个步骤缺一不可．

②多米诺（Domino）骨牌游戏．学生大多有过体验，借助道具很好演示．

③小孩数数发展过程．引导学生回忆，生动有趣。

4．本节课重点在于讲清数学归纳法的原理、适用范围及证明步骤．指出它对某些与正整数n有关的数学命题往往有用．教师可抓住机会用通俗的例子讲清原理并完整地展示证明步骤。

①证明命题对第一个值n0成立（即n＝n0时命题成立）；

②利用n=k（k≥n0）成立，推出n＝k＋1时命题成立；

根据①、②可知，命题对一切n∈N+，n≥n0均成立．

5．对于例1，教师应规范板书，供学生解题时模仿．严防出现“依此类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k＋1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n＝k+1成立．

6．三个课堂练习最好让学生板演．通过板演，发现学生证明过程中的错误．教师及时纠正、剖析，对书写规范要强调；对学生板演中好的方面予以鼓励．本课中由k到k＋1的推证，不要增加难度，注意它的可接受性．

教学过程

1．介绍归纳法，引出课题

①观察：

6＝3＋3，8=5＋3，10=3＋7，12=5＋7，14=3＋11，16＝5＋11，……78=67＋11，……，我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？

这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”．

②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：

“全班及格”．

这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？

①是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．

②是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．

数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．

2．讲清原理，得出方法步骤

在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1＝a1＋0×d，a2＝a1＋1×d，a3=a1＋2×d，a4=a1＋3×d，……，an=？

由以上可知，an＝a1＋（n－1）d，结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？

结论正确吗？

如何证明呢？

①先看an＝a1＋（n－1）d，对于n=1成立吗？

（成立）

②假设an＝a1＋（n－1）d，对于n=k成立，那么当n=k＋1时，成立吗？

即若ak＝a1＋（k－1）d成立，当n＝k＋1时，ak+1＝ak＋[（k＋1）－1]d成立吗？

（启发学生从等差数列定义入手，ak+1＝ak＋d，……·，进行推导证明）

③这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．’

举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理．

让学生回忆自己小时候学数数的经历。

先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数；再数到30以内的数，……，终于有一天我们可以骄傲地说：

我什么数都会数了．为什么呢？

（教师注意激活学生原有的学习体验）

因为会数1，2，3，……有了数数的基础，会在前一个数的基础上加1得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了．

④得到数学归纳法的两个步骤：

（I）证明当n＝n0（如n＝1或2等）时，结论正确；

（II）假设n＝k（k∈N+且k≥n0）时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确．

3．初步应用，让学生形成新的知识体验

例1：

用数学归纳法证明1＋3＋5+……＋（2n－1）＝n2.

分析：

①1＋3＋5+……＋（2n－1）=n2是由无数命题组成，

1号命题：

1=12；

2号命题：

1＋3＝22；

3号命题：

1＋3＋5＝32；

……

k号命题：

1＋3＋5＋……＋（2k－1）＝k2；

k＋1号命题：

1＋3＋5＋……＋（2k－1）＋（2k＋1）=（k＋1）2；

……

②怎样验算n＝1时，等式成立？

③如何实现n=k到n=k＋1的过渡？

④得到什么式子才能称n＝k＋1时等式成立？

⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．

教师边讲边板书，为学生提供一个范例，供证明时模仿．

4．课堂练习，巩固提高

板演①②③，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤．

5．归纳小结

①归纳法：

由特殊到一般，是数学发现的重要方法；

②数学归纳法的科学性：

基础正确；可传递；

③数学归纳法证题程序化步骤：

两个步骤，一个结论；

④数学归纳法优点：

克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．

布置作业

1．教科书习题2．1第1、2题．

2．参考题：

①简析我国古代烽火传递军情的合理性；

②分析产生“烽火戏诸侯”闹剧的原因．

简答：

古代边疆戍兵，每隔一定距离建筑一高台，发现军情，一台燃起狼烟，邻合见后，也立即起火，这样军情就能很快传告全线戍兵．发生烽火戏诸侯闹剧的原因是第一台谎报军情（为买宠妃一笑而点燃烽火），邻台依次迅速起火，造成“谬误传递”．

数学归纳法及其应用举例

（2）

目的要求

1．进一步理解数学归纳法原理：

只有两个步骤正确，才能下结论：

对一切n∈N+，命题正确（强调缺一不可）．

2．会用数学归纳法证明一些简单的命题．

3．理解为证n＝k＋1成立，必须用n＝k成立的假设．

4．掌握为证n=k＋1成立的常见变形技巧：

提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．

内容分析

1．本课为数学归纳法的第二课时，重点在于应用数学归纳法原理证明恒等式，在讲具体例子之前，应利用第一课时思考题及教科书例子说明数学归纳法两个步骤的作用，两步相辅相成，缺一不可！

缺少第一步，递推缺乏正确的基础（即使第一步再简单，也不能省略）；“烽火戏诸侯”中就因为第一步不正确，产生“谬误传递”；在“2＋4＋6+……＋2n=n2＋n+1的证明中，第二步由n=k推出n＝k＋1的运算虽然符合规则，但是证明了一个不等的恒等式．

缺少第二步，是不完全归纳法，即使验算再多，仅仅是有限的（对“哥德巴赫猜想”，借助计算机，已验证到108以内的偶数均成立，但这不能代替证明）．因此用数学归纳法证题时，必须有两个步骤，

两个步骤完成后，通常还要作一个结论．

2．在证明传递性时，应注意：

①证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则就不是数学归纳法证明．对于这一点，学生可能难以理解：

n=k成立是假设的，用假设来证明可靠吗？

应指出，这一步是证明传递性，正确性由第一步保证．

②证n＝k＋1成立时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标，否则，学生在证明时会迷失方向．

如在本课例2中，

第二步证明是“已知：

12＋22＋32＋……＋k2=

，求证

12＋22＋32＋……＋k2+（k+1）2=

．

③弄清传递性证明的已知和求证后，讲解的关键要抓住三点：

由n＝k过渡到n=k＋1，左边相差什么式子？

整式恒等变形常用方法有哪些？

如何变形？

3．对初值应验算几个的问题．学生对第一步中仅就n=n0验证不放心，需不需要对n0的后续多个数值进行验证？

应向学生指出，一般验算第一个值就行了，因为在传递性作用下，“由一而二，由二而三，以至无穷”．

4．数学归纳法证明恒等式内容丰富，很多整齐美观的恒等式（恒等式系列）可用数学归纳法证明．限于篇幅，不可贪多求全，应尽量讲透一、二例．选题时，应选用由n＝k过渡到n=k+1时只添加一、二项的题，不要涉及添加多项或每项均发生变化的情况，以免增加学生负担．

5．对要证恒等式的“来历”，一般不要主动跟学生讲，以免转移重点（虽然这很有趣）．

教师不可扼制学生的求知欲，有学生提出时，可建议看些课外读物，或在第二课堂安排有关讲座，也可印成阅读材料供有兴趣又学有余力的学生课外探讨．

教学过程

1．抓住“两个步骤”，进行数学归纳法原理复习．用不完全归纳法说明缺乏

传递性证明不行，那么可以省去第一步吗？

例证明：

2＋4＋6＋……＋2n＝n2＋n＋1，

若n=k时，2＋4＋6＋……＋2k＝k2＋k＋1,

当n＝k＋1时，2＋4＋6＋……＋2k＋2（k＋1）＝k2＋k＋1＋2k＋2

＝（k＋1）2＋（k+1）＋1.

即n＝k＋1时，原等式成立．

但n＝1时，2≠3；n＝2时，6≠7．∴原等式不正确．

由此，师生共同得到结论：

两个步骤，缺一不可．教师补充：

两个步骤完成之后，还要下结论．

2．通过例题教学，深化对数学归纳法的认识

（1）出示例2，用数学归纳法证明：

12＋22＋32＋……＋n2=

，

分析：

①问学生第一步应做什么？

本题的n0应取多少？

然后让学生进行验证，以得到证明的基础．学生验证后，教师规范板书，为学生示范．

②启发学生，认识到在证传递性时，已知什么，求证什么，

在草稿纸上写上：

“已知12＋22＋32＋……＋k2=

求证，12＋22＋32＋……＋k2+（k+1）2=

”.

比较两个式子的左边，相差什么？

启发学生理解，求证式的左边与已知式的左边相差一项：

（k＋1）2．

③启发学生应用归纳假设（即②中的已知）对上式进行推理变形，放手让学生进行推导，直到得到结论．

证明见教科书第64页～65页．证明过程中，教师边启发，边板书，为学生作证明示范．结束之后，教师引导学生反思整个分析及证明过程．强调传递性证明中，要弄清已知，求证，而且一定要用这里的归纳假设（已知），不用就不是数学归纳法．

（2）出示例3，用数学归纳法证明：

1×4＋2×7＋3×10＋……+n（3n＋1）=n（n＋1）2．

组织学生边证明边讨论，基本上由学生完成，形成亲身体验．教师在学生尝试的过程中，边巡视，边指导，注意抓住下述要点：

①④知道“……”省略了什么，3×10的后一项是什么，n（3n＋1）的前一项是什么，再前面一项是什么；

②初始值n0是什么，如何验证；

③传递性证明实质就是证明命题：

已知1×4＋2×7＋3×10＋……＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2，

求证1×4＋2×7＋3×10＋……＋（k+1）[3（k+1）＋1）]＝（k+1）[（k＋1）+1]2，

完成证明后，让学生反思全过程．知道在用数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到因式分解、配方、添拆项、乘法公式等变形手段．

3．复习巩固，小结提高

（1）出示：

如下证明对吗？

（幻灯或多媒体展示）

求证：

.

证明：

①当n＝1时，左边=

，右边1－

=

，等式成立．

②设n=k时，有

．

那么，当n=k＋1时，有

，

即n=k＋1时，命题成立．

根据①、②可知，对n∈N+，等式成立．

引导学生认识到这不是数学归纳法，那么如何改进呢？

（由学生完成）

（2）分组练习，教科书第66页练习1、2．3．

（3）小结：

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①式子结构要分清；

②由n=k

n=k+1时，要用归纳假设．

③常把n=k+1成立的式子写在草稿纸上，作为变形目标．

④恒等变形常用的方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．

布置作业

教科书习题2．1第3

（1）

（2）、4题（据情况选做或提示后做）．

数学归纳法及其应用举例（3）

目的要求

1．会用数学归纳法证明整数（整式）整除问题．

2．会用数学归纳法证明一些简单的几何问题．

3．了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤．

内容分析

1．数学归纳法在应用上具有广泛性，除上节课利用它证明恒等式外，还在整除性、几何、组合等式、不等式、三角恒等式等方面具有广泛应用．限于课时要求，仅就具体例子介绍数学归纳法在整除方面和几何方面的应用。

2．整除问题包括整数整除问题和多项式整除问题，有关知识在小学、初中介绍过．因时间跨度大．对此应作复习，在讲多项式整除性例题前建议增加一道整数的整除问题，使学生对整除的变形规律、叙述方式有更多感性认识．有了这个台阶，学生对整式整除问题会感觉轻松些．

3．例4证明中由

能被x＋y整除，推导

能被x＋y整除所作变形难度大，注重启发学生寻找合适的变形方式．变形关键是使

中出现

，以便用归纳假设，这是证明整除问题常用的变形．

①n=k

n=k＋1中，还可以进行另一种变形，增、减项

；

②还可类比证明：

能被x－y整除；

能被x2－y2整除；

能被x－y整除．

4．数学归纳法证明几何题，体现了数学发现的一种重要方法：

“实验—归纳—猜想—证明”．建议有条件的学校借助多媒体技术，将此例改成探索性问题，展示数学结论形成的过程，给学生一个暴露思维的机会，使学生在探索中享受数学发现的快乐．掌握数学归纳法证明几何题的关键：

发现递推关系．

本题借助多媒体技术，形象直观演示初值验算，在k条直线上增加一条直线带来的变化（可多次演示），使递推关系不易发现的难点轻松突破，从而提高课堂效率．另外，本题的证明表述也是一个难点，教师应边讲边示范，给出一定时间让学生尝试、思考，说理要充分．要为学生作表率，“桃李不言，下自成蹊”．

若教师不能规范叙述，充分说理，学生在做作业时就可能出现“凑递推关系式”的假证明．

5．本课由相对独立的两块内容构成．内容多，方法新，书写难度大．课堂练习、习题数量多，不宜再补充习题，增加容量与难度．要尽可能用多媒体技术进行教学，对不具备现代教育技术工具的学校，可考虑拆分为两课时，在每一类问题中增加一些探索性问题．巩固训练，对数学归纳法进行小结复习．

教学过程

1．复习旧课，提出任务

①数学归纳法证明有哪些步骤？

②数学归纳法通常解决什么问题？

（与正整数有关命题）

指出：

数学归纳法在证明整除和某些几何问题中有重要作用．出示课题：

数学归纳法证明整除问题与几何问题．

2．进行整除问题的教学

（1）什么是整除？

对于整数a、b，如果a＝bc，c为整数，则称a能被b整除；对于多项式A、B，如果A＝B·C，C为整式，则称A能被B整除（多媒体或幻灯展示）．

（2）出示例题（教科书习题2．1中5（3））

用数学归纳法证明：

能被14整除．

分析：

能被14整除是什么意思？

用数学归纳法证明此题有几个步骤？

证明：

①当n=1时，

=36+53=854＝14×61.

∴当n＝1时，

能被14整除．

②设n=k（k≥1，k∈N+）时，

能被14整除

那么当n=k+1时

=

∵

能被14整除，56能被14整除，

∴

能被14整除，即n＝k＋1时，命题成立．

根据①②可知，

能被14整除．

反思：

第一步中784较大，若初始值n0提前，会不会使计算简单一些？

影不影响证明？

为什么把

变形为81·

，而不变形为

呢？

证明中还有一个关键是拆项：

81＝25＋56，怎么想到的？

首先是想到81中要拆出一个25来，才能和后面一项提取公因式而得到

这个式子，从而用上归纳假设．当然也可拆25，25＝81－56（这些技巧的揭示，也可在证题过程中完成，而在反思中强调）．

（3）例2：

用数学归纳法证明：

能被x＋y整除．

分析：

第一步验算容易，重点是探讨传递性证明，也就是利用

能被x＋y整除，证明

能被x＋y整除．

应变形为什么？

（x2·x2k）那么

呢?

这样变形之后是如何进一步得出

的因式的？

上题是拆项，本题是添项，添什么项？

如何保证变形为恒等变形？

证明过程见教科书第66页例4，证明可让学生在议论中尝试完成，教师巡视中发现成功的证法可用多媒体平台投影展示．

反思：

还有其他添项方法吗？

添减y2x2k行吗？

能被x－y整除吗？

能被x2－y2整除吗？

如何证明？

xn－yn能被x－y整除吗？

如何证明？

3．进行有关几何问题的教学（若本课时拆分成两课时，刚从此开始属第二

课时）

出示例3（教科书第66页例5）：

平面内有n（n≥2）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点个数为f（n）＝

n（n－1）．

教师讲解题意．借助多媒体教学手段突破难点．寻找递推关系．

分析中应多研究几种简单的具体情况（先画图，再思考f（n）=？

）．由n＝k变到n=k＋1时，增加的线用红色表示，以形成鲜明效果．特别要突出新增的k个交点之由来，这是本题关键．教师教学中要反复印证，准确叙述．证明过程见教科书第66页例5．证后要让学生反思证明的思路，特别是要体会递推关系的发现心得．

4．课堂练习：

教科书第67页练习4．本题证明中应抓住（k＋1）边形和k边形内角和的递推关系这一关键．应注意，学生在本题证明中，有可能出现不同归纳假设的情况，应注意讲清道理，给予纠正.

n

图形

f（n）

1

f

（1）=0

2

f

（2）=1=f

（1）+1

3

f（3）=3=f

（2）+2

4

f（4）=6=f（3）+3

……

……

……

k

f（k）

k+1

f（k+1）=f（k）+k