量子力学习题.docx
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量子力学习题.docx
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量子力学习题
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量子力学习题
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河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别A
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、简述波函数的统计解释;
2、对“轨道”和“电子云”的概念,量子力学的解释是什么?
3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点?
4、简述能量的测不准关系;
5、电子在位置和自旋表象下,波函数如何归一化?
解释各项的几率意义。
二(20分)设一粒子在一维势场中运动()。
求其定态能级和波函数。
三(20分)设某时刻,粒子处在状态,求此时粒子的平均动量和平均动能。
四(20分)某体系存在一个三度简并能级,即。
在不含时微扰作用下,总哈密顿算符在表象下为。
求受微扰后的能量至一级。
五(20分)对电子,求在表象下的、、的矩阵表示。
A—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别B
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、何为束缚态?
2、当体系处于归一化波函数所描述的状态时,简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时,若将改写为有何不妥?
采用Dirac符号时,位置表象中的波函数应如何表示?
4、简述定态微扰理论。
5、Stern—Gerlach实验证实了什么?
二(20分)设粒子在三维势场中运动,求粒子定态能量和波函数。
三(20分)一维运动的粒子在态中运动,其中。
求
四(20分)求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
五(20分)对自旋为的粒子,求在表象中、、的矩阵表示。
B—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别C
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么?
2、两个对易的力学量是否一定同时确定?
为什么?
3、测不准关系是否与表象有关?
4、在简并定态微扰论中,如的某一能级,对应f个正交归一本征函数(=1,2,…,f),为什么一般地不能直接作为的零级近似波函数?
5、在自旋态中,和的测不准关系是多少?
二(20分)求在三维势场中运动的粒子的定态能量和波函数。
三(20分)求氢原子基态的最可几半径。
四(20分)已知哈密顿算符在某表象下
且知其基态E0=-3,求实数a,b,c。
五(20分)求在表象下,的本征值及本征函数。
当体系处于态时,求的几率为多少?
C—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别D
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、在定态问题中,不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解?
同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态方程的解?
2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定?
举例说明。
3、说明厄米矩阵的对角元素是实的,关于对角线对称的元素互相共轭。
4、何谓选择定则。
5、能否由方程直接导出自旋?
二(20分)求在一维势阱中运动的粒子的定态能级和波函数。
三(20分)当体系处在状态时,(这里为角坐标)。
求角动量z分量Lz的可能值及其平均值。
四(20分)转动惯量为,电偶极矩为的空间转子,处在均匀电场中,如电场较小,用微扰方法求转子基态能量至二级。
五(20分)已知,为角动量算符,为共同本征态,试证明:
D—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别E
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、叙述量子力学的态迭加原理。
2、厄米算符是如何定义的?
3、据[,]=1,,,证明:
。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么?
写出其适用条件。
5、自旋,问是否厄米算符?
是否一种角动量算符?
二(20分)粒子在势场中运动,求其定态能级及波函数。
三(20分)氢原子处于基态。
求
(1)的平均值;
(2)动量的平均值
四(20分)已知哈密顿算符
求:
(1)能量本征值;
(2)当a很小时,能量修正至二级。
五(20分)设,其中分别为轨道角动量和自旋的自旋角动量。
分别为的量子数。
求证:
在确定的态中,当时;当时。
E—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别F
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、波函数的量纲是否与表象有关?
举例说明。
2、动量的本征函数有哪两种归一化方法?
予以简述。
3、知,问能否得到?
为什么?
4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。
5、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在?
二(20分)求在辏力场势中运动的粒子,当l=0时的定态能级与波函数。
(l为角量子数)
三(20分)证明[,]=。
其中为轨道角动量x分量,为动量y分量。
四(20分)已知哈密顿算符在某表象下。
求:
(1)实数a,b;
(2)能级和本征态。
五(20分)已知,其中为自旋的自旋角动量,为轨道角动量。
求体系的定态能级与波函数。
F—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别G
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、不考虑自旋,当粒子在库仑场中运动时,束缚态能级的简并度是多少?
若粒子自旋为s,问的简并度又是多少?
2、根据说明粒子在辏力场中运动时,角动量守恒。
3、对线性谐振子定态问题,旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别?
4、简述氢原子的一级stark效应。
5、写出的计算公式。
二(20分)已知粒子在势场中运动,,求束缚态能级所满足的方程。
三(20分)证明:
[,]=
四(20分)求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。
五(20分)已知体系,其中为轨道角动量,为自旋()角动量。
求体系的定态能级与波函数。
G—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别H
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、由,说明波函数的量纲。
2、、为厄米算符,问[,]与[,]是否厄米算符?
3、据[,]=1,,证明:
。
4、利用量子力学的含时微扰论,能否直接计算发射系数和吸收系数?
5、什么是耦合表象?
二(20分)粒子在势场中运动,求其定态能级及波函数。
三(20分)球谐振子基态为,求动能平均值和最可几半径。
四(20分)某体系存在三个非简并能级:
E01,E02,E03,相应波函数为,,。
受微扰下,求其能量至二级,波函数至一级。
(注:
是在表象下给出的)。
五(20分)求在表象下,的本征值及本征函数。
当体系处于态时,求的几率为多少?
H—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别I
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、不考虑粒子内部自由度,宇称算符是否为线性厄米算符?
为什么?
2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。
3、已知,,且,,试推出线性谐振子波函数的递推公式。
4、写出一级近似下,跃迁几率的计算式。
5、何谓无耦合表象?
二(20分)粒子在中运动,求其定态能级及波函数。
三(20分)证明:
,其中。
四(20分)在某表象下矩阵形式为,求其本征值及本征函数。
五(20分)证明。
其中为与对易的矢量算符,为的自旋算符。
I—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别J
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。
2、,是否线性算符?
3、在什么样的基组中,厄米算符是厄米矩阵?
4、何谓选择定则?
5、写出公式。
二、(20分)已知粒子在中运动,求束缚态能级满足的关系式。
三、(20分)设粒子在一维无限深势阱中运动,其基态能量为,现体系处在由归一化波函数所表示的状态,求:
(1)包含区间[0,]的势阱位置;
(2)写出测量基态的几率的计算公式。
四、(20分)当=1时,求在表象中与的矩阵表示。
五、(20分)求在中,算符与的本征值。
J—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别K
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、何为束缚态?
2、写出位置表象中,,和的表示式。
3、对于定态问题,试从含时方程推导出定态方程;
4、对于氢原子,其偶极跃迁的选择定则对主量子数n是否存在限制?
为什么?
5、在现阶段所学的量子力学中,电子的自旋是作为一个基本假定引入的,还是由其它假定自然推出的?
二、(20分)求在一维势场(A>0)中,运动的粒子的定态能级和波函数。
三、(20分)一粒子在一维无限深势阱中运动,求其处于定态时的平均动能。
四、(20分)设尝试函数为,c为归一化系数,为与无关的变分参数,试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。
五、(20分)求在自旋态中的测不准关系
K—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别L
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、假如波函数应满足的方程不是线性方程,波函数是否一定能归一化?
2、试写出动量表象中,,,的表式
3、幺正算符是怎样定义的?
4、我们知道,平面单色波的电场能和磁场能相等,而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时,我们为什么忽略了磁场对电子的作用?
5、对于自旋为3/2的粒子,其自旋本征函数应是几行一列的矩阵?
二、(20分)试求三维各向同性谐振子的基态波函数。
三、(20分)推导对易关系,其中为坐标分量算符,为轨道角动量分量算符。
四、(20分)已知某表象下力学量,求其本征值及本征函数。
五、(20分)在自旋态中,其测不准关系
L—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别M
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。
2、一维线性谐振子基态归一化波函数为,试计算积分;
3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时,简述在ψ态中测量力学量F的可能值及其几率的方法;
4、已知氢原子径向方程无简并,微扰项只与有关,问非简并定态微扰论能否适用?
5、自旋是否意味着自转?
二、(20分)一体系哈氏量为其中c为常数,求其定态能级及波函数。
三、(20分)试证明
四、一粒子在一维势场中运动,b很小,试用微扰论求其定态能量至二级,波函数至一级。
五、(20分)已知角动量,求在态中的的值。
M—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别N
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、光到底是粒子还是波;
2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值?
在什么情况下才同时具有确定值?
3、不考虑自旋,求球谐振子能级En的简并度;
4、我们学过,氢原子的选择定则,这是否意味着的跃迁绝对不可能发生?
5、克莱布希-高豋系数是为解决什么问题提出的?
二、(20分)设粒子在二维势场中运动,其中常数,.求其定态能级和波函数。
三、(20分)在一维无限深势阱中运动的粒子,求它处在定态时的平均坐标。
四、(20分)求氢原子处于基态时,在恒定外弱电场作用下,其定态能级至二级和波函数至一级。
五、(20分)根据在表象下的矩阵表示,求自旋的本征值及对应本征函数(粒子s=)。
N—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别O
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、在球坐标系下,波函数为什么应是进动角的周期函数?
2、设当和时,势能为常数,试将此区域内的二维方程分离变量(不求解);
3、何谓力学量完全集?
4、定性说明为什么在氢原子的Stark效应中,可将视为微扰项?
5、Pauli算符是否满足角动量的定义式?
二、(20分)有一粒子在一维势场中运动,求其定态能级及波函数。
三、(20分)已知,其中、均为厄米算符,利用关系证明测不准关系。
四、(20分)已知、的伴随表示分别为及
求的矩阵表示。
五、(20分)求在自旋态的测不准关系
O—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别P
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、简述量子力学产生的背景;
2、写出位置表象中直角坐标系下、、、的表示式;
3、为有心力场中的径向波函数,问是否成立?
为什么?
4、定态微扰论是否适用于主量子数n很大的氢原子情况?
为什么?
5、有关角动量的定义,我们学过哪两种?
哪一种更广泛?
自旋角动量是按哪一种定义的?
二、(20分)电子在三维势场中运动,其中D为常数,求其定态能级及波函数。
三、(20分)试推导的对易关系。
四、(20分)在各向同性三维谐振子中加入微扰项,其中为很小的常数,求第一激发态能量的一级修正。
五、(20分)求在态中的的值,其中角动量。
P—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别Q
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、说明的量纲;
2、说明在定态问题中,定态能量的最小值不可能低于势能的最低值;
3、简述占有数表象;
4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符;
5、何为偶极近似?
二、(20分)一粒子的哈密顿算符为,其中B为常数,求其定态能级及本征函数。
三、(20分)已知、分别为坐标和角动量的分量算符,推导其对易关系。
四、(20分)在各向同性三维谐振子的哈氏算符中加入微扰项,其中为很小的常数,求其第一激发态能量的一级近似。
五、(20分)求在表象下,的本征值及对应本征函数(粒子s=)。
Q—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别R
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足?
2、写出的本征值及对应本征函数;
3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么?
4、简述态的表象变换的方法;
5、已知总角动量,试说明。
二、(20分)令为氢原子哈密顿算符,已知一粒子,求此粒子的定态能级及波函数(其中A为常数)。
三、(20分)设粒子在一维线性谐振子势中运动,求其基态的测不准关系
四、(20分)已知,其中已精确求出,试推导、、、(分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修正)所满足的方程组。
五、(20分)已知总角动量,、的角量子数分别为、,的角量子数和磁量子数分别为、,当体系处在态时,问的值为多少?
R—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别S
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、旧量子论存在哪些不足?
2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”,量子力学的解释是什么?
3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗?
举例说明;
4、简述变分法的思想;
5、写出电子在表象下的三个Pauli矩阵。
二、(20分)已知一粒子在三维势场中运动,求其定态能级及波函数。
三、(20分)求线性谐振子基态的动能平均值。
四、(20分)已知,其中为三维各向同性谐振子的哈氏算符,为很小的常数,试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。
五、(20分)已知,为角动量算符,为、共同本征态,证明:
S—1—1
河北大学课程考核试卷
—学年第学期级专业(类)
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别T
(注:
考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:
(共20分,每小题4分)
1、简述波函数的Born统计解释;
2、设是定态方程的解,说明也是对应同一本征能级的解,进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数;
3、引入Dirac符号的意义何在?
4、定态微扰论的适用范围是什么?
5、简述两个角动量耦合的三角形关系。
二、(20分)一粒子在一维势场中运动,求其束缚态能级所满足的方程(>0)。
三、(20分)试求线性谐振子基态的势能平均值。
四、(20分)已知哈密顿函数,求:
(1)能量本征值;
(2)当很小时,能量修正至二级。
五、(20分)令为轨道角动量,为电子自旋角动量,如体系哈氏算符,其中、、均为常数,试求体系定态能级和波函数。
T—1—1
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- 量子力学 习题