高考数学文科习题集 21.docx
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高考数学文科习题集21
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一、选择题
1.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点成中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 依题意得3cos=0,+φ=kπ+,φ=kπ-π(k∈Z),因此|φ|的最小值是.故选A.
2.(2017·长沙模拟)已知函数y=sinωx在上是增函数,则实数ω的取值范围是( )
A.B.[-3,0)
C.D.(0,3]
答案 C
解析 由于y=sinx在上是增函数,为保证y=sinωx在上是增函数,所以ω>0,
且ω≤,则0<ω≤.故选C.
3.(2017·成都调研)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2-B.0C.-1D.-1-
答案 A
解析 因为0≤x≤9,所以-≤x-≤,
所以sin∈.
所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.选A.
4.设函数f(x)=sin的最小正周期为π,且是偶函数,则( )
A.f(x)在内单调递减
B.f(x)在内单调递减
C.f(x)在内单调递增
D.f(x)在内单调递增
答案 A
解析 由条件,知ω=2.
因为f(x)是偶函数,且|φ|<,所以φ=,
这时f(x)=sin=cos2x.
因为当x∈时,2x∈(0,π),
所以f(x)在内单调递减.故选A.
5.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
答案 D
解析 由题意知,f(x)=cosx,所以它是偶函数,A错误;它的周期为2π,B错误;它的对称轴是直线x=kπ,k∈Z,C错误;它的对称中心是点,k∈Z,D正确.故选D.
6.(2017·广州综合测试)已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象的一个对称中心为,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
解析 由题意得f=sin=0,则2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又因为0<φ<,所以φ=,则f(x)=sin,则由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)=sin的单调递减区间为,k∈Z.故选D.
7.已知函数y=sin在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值是( )
A.6B.7C.8D.9
答案 C
解析 由y=sin可得T=6,则由图象可知≤t,即≤t,
∴tmin=8.故选C.
8.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.-B.-C.D.
答案 A
解析 将f(x)=sin(2x+φ)的图象左移个单位长度得y=sin=sin的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),且|φ|<,所以φ=-,即f(x)=sin,当x∈时,2x-∈,所以当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值,最小值为-.选A.
9.若函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( )
A.是增函数B.是减函数
C.可以取得最大值MD.可以取得最小值-M
答案 C
解析 T=,g(x)=Mcos(ωx+φ)=Msin=Msin,
∴g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移得到的.
由b-a=,可知,g(x)的图象由f(x)的图象向左平移得到的.
∴得到g(x)图象如图所示.选C.
10.(2018·新疆质检)已知函数f(x)=|sinx|cosx,给出下列五个结论:
①f=-;
②若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+kπ(k∈Z);
③f(x)在区间上单调递增;
④函数f(x)的周期为π;
⑤f(x)的图象关于点成中心对称.
其中正确的结论是( )
A.①⑤B.①②⑤C.②④D.②⑤
答案 A
解析 ①f=cos=×=-,∴①正确;
②若|f(x1)|=|f(x2)|,则
=,当x1=0,x2=时也成立,∴②不正确;
③∵当x∈时,
f(x)=|sinx|cosx=
∴f(x)在上不是单调函数,∴③不正确;
④∵f(x+π)≠f(x),∴函数f(x)的周期不是π,∴④不正确;
⑤∵f(x)=|sinx|cosx
=k∈Z,∴结合图象可知f(x)的图象关于点成中心对称,∴⑤正确.故选A.
二、填空题
11.设函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π),若函数f(x)+f′(x)是奇函数,则φ=________.
答案
解析 由题意得f(x)=sin(x+φ)=sinxcosφ+cosxsinφ,f′(x)=cos(x+φ),f(x)+f′(x)=sin是奇函数,因此φ+=kπ(其中k∈Z),φ=kπ-.又0<φ<π,所以φ=.
12.将函数y=sin(ωx+φ)的图象,仅向右平移,或仅向左平移,所得到的函数图象均关于原点对称,则ω=________.
答案
解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半,即有=-=2π,T=4π,即=4π,ω=.
13.(2017·绵阳模拟)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A(a,0),B(b,0)是其图象上两点,若|a-b|的最小值是1,则f=________.
答案 -2
解析 ∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,
∴φ=,f(x)=-4sinωx.
A(a,0),B(b,0)是其图象上两点,若|a-b|的最小值是1,
则·=1,∴ω=π,f(x)=-4sinπx,
则f=-4sin=-2.
14.设函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则在下面四个结论中:
①图象关于点对称;
②图象关于点对称;
③在上是增函数;
④在上是增函数.
所有正确结论的编号为________.
答案 ②④
解析 ∵y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,∴ω==2.又其图象关于直线x=对称,得+φ=+kπ(k∈Z).令k=0,得φ=.∴y=sin.当x=时,f=0,∴函数图象关于点对称.所以②正确.解不等式-+2kπ≤2x+≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以④正确.
三、解答题
15.已知函数f(x)=2sinx+1.
(1)设ω为大于0的常数,若f(ωx)在区间上单调递增,求实数ω的取值范围;
解
16.(2017·洛阳校级月考)已知函数f(x)=sin2x+acosx+a,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)如果对于区间上的任意一个x,都有f(x)≤1成立,求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,f(x)=-cos2x+cosx+2=-2+,
∵cosx∈[-1,1],
∴当cosx=,即x=2kπ±(k∈Z)时,
f(x)max=.
(2)依题意sin2x+acosx+a≤1,
即sin2x+a(cosx+1)≤1对任意x∈恒成立.
当x∈时,0≤cosx≤1,
则1≤cosx+1≤2,
∴a≤对任意x∈恒成立.
令t=cosx+1,则1≤t≤2,
∴a≤==t+-2对任意1≤t≤2恒成立,于是a≤min.
又∵t+-2≥0,当且仅当t=1,即x=时取等号,
∴a≤0.
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