一阶动态电路分析.docx
- 文档编号:8731123
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:43
- 大小:105.04KB
一阶动态电路分析.docx
《一阶动态电路分析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一阶动态电路分析.docx(43页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一阶动态电路分析
第 3 章电路的暂态分析
【教学提示】
暂态过程是电路的一种特殊过程,持续时间一般极为短暂,但在实际工作中却极为重要。
本章
介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律,重点分析了 RC 和 RL 一阶线性电路的暂态过程,由
RC 电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。
最后讨论了 RC 的实际应用电路——
积分和微分电路。
【教学要求】
Ø了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念
Ø理解电路的换路定律和时间常数的物理意义
Ø了解用经典法分析 RC 电路、RL 电路的方法
Ø掌握一阶电路暂态分析的三要素法
Ø了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件
3.1暂态分析的基本概念
暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础,理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1.稳态
在前面几章的讨论中,电路中的电压或电流,都是某一稳定值或某一稳定的时间函数,这种状
态称为电路的稳定状态,简称稳态(steady state)。
2.换路
当电路中的工作条件发生变化时,如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时,都会
引起电路工作状态的改变,就有可能过渡到另一种稳定状态。
把上述引起电路工作状态发生变化的
情况称为电路的换路(switching circuit)。
3.暂态
换路后,电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。
这种转换不是瞬间完成的,而是有一
个过渡过程,电路在过渡过程中所处的状态称为暂态(transient state)。
4.激励
激励(excitation)又称输入,是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶
跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5.响应
电路在在内部储能或者外部激励的作用下,产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因
的不同,响应又可以分为:
(1)零输入响应(zero input response):
零输入响应就是电路在无外部激励时,只是由内部
储能元件中初始储能而引起的响应。
(2)零状态响应(zero state response):
零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零
的情况下,由外部激励所引起的响应。
(3)全响应(complete response):
在换路时储能元件初始储能不为零的情况下,再加上外部
激励所引起的响应。
3.一阶电路
电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路,其 KVL 方程为一阶微分方程,
这类电路称为一阶电路,它包括 RC 电路和 RL 电路。
尽管暂态过程时间短暂,但它是客观存在的物理现象,在实际应用中极为重要。
一方面可以利
用暂态过程有利的一面,如在电子技术中利用它来产生波形(锯齿波、三角波等)。
另一方面,也
要避免它有害的一面,如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流,会损坏元器件和电气设备。
因
此研究暂态过程可以掌握它的规律,以便利用它有利的一面,避免不利的一面,意义重大。
3.2换路定律
换路定律是电路暂态分析中的主要定律,它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。
3.2.1换路定律
电路的换路是产生暂态过程的外因,而要产生暂态过程,必须有储能元件—电感或电容。
当换
路时,含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化,电感和电容中的储能也要发生变化,但能量不
能突变。
因为若能量突变,由 p =
dw
dt
= ∞ 可得功率为无穷大,而功率是有限的。
因此,能量不能突
变。
而电感的磁场能为WL =
1
2
LiL 2 ,电容中的电场能WC =
1
2
CuC 2 ,能量不能突变,这就意味着电
感中的电流和电容上的电压不能突变。
所以换路前的终了值应等于换路后的初始值,这一规律称为
电路的换路定律(switching law)。
若 t=0_表示换路前终了瞬间,t=0+表示换路后初始瞬间,则换路定律可以用公式表示为:
u(0-) u(0+)
i(0-) i(0+)
3.2.2初始值的确定
1.初始值的求解步骤
换路定律适用于换路瞬间,由它可以确定换路后 uC 或 iL 的初始值,再由这两个初始值来确定
换路后电路的其他电压或电流的初始值。
以下为求初始值的求解步骤:
CL
CL
(1)由 t = 0- 的等效电路求出 u(0-)或 i(0-)。
(2)由换路定律确定 u(0+)或 i(0+)。
CL
(3)由 t = 0+ 的等效电路,利用 u(0+)或 i(0+)求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。
2.等效电路的画法
在 t = 0- 和 t = 0+ 时,等效电路的画法应根据以下几点:
(1)换路前电容或电感上没有储能:
① t = 0- 的等效电路中,所有电量的值为 0, f (0- ) = 0 。
2Ω
u
R2
+
U2
-
-
② t = 0+ 的等效电路中,电容视为短路,电感视为开路。
C=C
这是因为 t = 0+ 时,由换路定律知 u(0-) u(0+)=0,而此时电容中有电流,所以电容视为短
L= L
路; i(0-) i(0+)=0,而此时电感两端有电压,所以电感视为开路。
(2)换路前电容或电感上有储能且已达稳态,
CL
① t = 0- 的等效电路中,电容视为开路,其电压为 u(0-);电感视为短路,其电流为 i(0-);
这是因为电容与电感的伏安关系分别为 iC = C
duc
dt
, uL = L
diL
dt
C=
,换路前达稳态时, i(0-) 0 ,
u(0-) 0 。
所以电容视为开路,其电压为 u(0-);电感视为短路,其电流为 i(0-)。
② t = 0+ 的等效电路中,电容视为一个恒压源,电压为 u(0+);电感视为一个恒流源,电流为
i(0+)。
C
这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变,所以电容视为一个恒压源,电压为 u(0+);
L
电感视为一个恒流源,电流为 i(0+)。
3.2.3稳态值的确定
换路后的电路达到新的稳态后,电压和电流的数值称为稳态值,当 t → ∞ 时,电路又达新的稳
态。
C=L=
若 t → ∞ 时电感或电容无储能,则 u(∞) 0 , i(∞) 0 ,其它电量的稳态值也为零。
C=L=C≠≠L
若 t → ∞ 时电感或电容有储能,因已达稳态,则 i(∞) 0 , u(∞) 0 而 u(∞) 0 , i(∞) 0 。
CL
所以在 t → ∞ 的等效电路中,电容视为开路,其电压为 u(∞);电感视为短路,其电流为 i(∞)。
再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。
【例 3.1】电路如图 3.2.1 所示,已知 E=12V,R1=4Ω,R2=2Ω,开关 S 断开前电路已达稳态。
求 S 断开后,
CCR1
CCR1
(1) u(0+)、 i(0+)、 u (0+)。
(2) u(∞)、 i(∞)、 u (∞)。
图 3.2.1
解:
(1)求初始值
- -
图 3.2.2
由题意知:
换路前电路已处于稳态,电容 C 视为开路,由等效电路得:
u(0-)
2
4 + 2
⨯12 = 4 V
C=C
②由换路定律得:
u(0-) u(0+)=4V
③画出 t = 0+ 时的等效电路如图 3.2.2(b)所示,此时电容视为一个电压为 4V 的恒压源,则
iC (0+ ) = -
4
2
= -2 A
2=
uR(0+) 4 V
(2)求稳态值
由题意知:
达稳态时,电容没有储能,则
u(∞) 0 V
i(∞) 0 A
uR(∞) 0 V
3.3RC 电路的暂态分析
本节将通过最简单的 RC 电路来分析其响应,也就是研究 RC 电路的充放电规律。
3.3.1RC 电路的零输入响应
1 S
2
+ uR -
R
iC
+ uR -
R
iC
C
-
+C
-
(a)(b)
图 3.3.1 RC 电路的零输入响应
在图 3.3.1 所示(a)RC 一阶电路中,换路前开关 S 合在“1”处,RC 电路与直流电源连接,
电源通过电阻 R 对电容器充电至 U0,t=0 时换路,即将开关 S 转换到“2”处,试分析换路后 uC 、
iC 的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零,内部储能元件电容换路前有初始储能,所以该电路的响应为
零输入响应。
分析 RC 电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
换路后等效电路如图 3.3.1(b),由 KVL 可得:
uC + uR = 0
由于 uR = R i ,将 i = C
duc
dt
代入上式得微分方程:
RC
duC
dt
+ uC = 0
或
duC
dt
u
RC
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程,它的通解为:
uC = Ae pt
式中 A 和 p 是待定系数,A 为常数,p 为该微分方程特征方程的根。
将通解代入微分方程式得:
RCpAe pt + Ae pt = 0
整理后得到如下的特征方程:
RCp + 1 = 0
特征根为:
p = -
1
RC
再来求常数 A,可由初始条件确定,由题意知换路前电容电压
C=
u(0-) U 0
根据换路定律得:
C=C=
u(0+) u(0-) U 0
令 t=0 将其代入微分方程的通解得:
C=
A = u(0+) U 0
将 p 和 A 的结果代入方程的通解得:
uC = U 0e
-
t
RC
或
C
uC = u(0+)e
-
t
RC
其随时间变化的曲线如图 3.3.2(a)所示。
由图可见,它的初始值为 U,按指数规律衰减至零。
U0
0
uC
t
-
0
U0
R
iC
t
由 iC = C
duc
dt
(a) (b)
图 3.3.2 RC 电路的响应曲线
可求出 iC 的变化规律:
iC = C
duc
dt
= -
R
e
t
其随时间变化的曲线如图 3.3.2 (b)所示。
由图可见,它的初始值为 U0,按指数规律衰减至零。
通过分析 uC 、iC 的变化规律可见,电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。
当上面的暂
态过程结束时,电路处于稳定状态,这时电容端电压 uC 和电流 iC 的稳态值均为零。
暂态过程进行
的快慢,取决于电路参数 R 和 C 的乘积。
令τ = RC ,其中 R 的单位是欧姆(Ω),C 的单位是法拉(F),τ 的单位为秒(s)。
因为它
具有时间的量纲,所以称为电路的时间常数,它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定,而与
换路情况和外加电压无关。
当 t = 0 时, uC = U 0
当 t = τ 时, uC = U 0e-1 = 0.368U 0
可见时间常数τ 等于电压 uC 衰减到初始值的 33.8%所需要的时间,如图 3.3.3 所示。
S
R1
C
iC
+
uC
-
R1
+
u(C 0-)
-
U0
0.368U0
uC
0
τ
t
图 3.3.3
同样也可列出其它时刻 uC 的数值,见表 3.3.1。
表 3.3.1
τ 与 uC 的关系
t0τ
2τ
3τ
4τ
5τ
…
uC
U0 0.36
8U0
0.13
5U0
0.05
U0
0.01
8U0
0.00
67U0 …
从理论上讲,电容电压从 uC = U 0 过渡到新的稳态( uC = 0 )需要的时间为无穷大,但由上表
可以看出,一般经过 3τ ~ 5τ 的时间就可以认为零输入响应衰减到零,暂态过程结束。
【例 3.2】电路如图 3.3.4 所示,已知 R1=6Ω,R2=3Ω,C=0.01F,IS=3A,S 闭合前电路处于直
流稳态,在 t=0 时 S 闭合,求 t≥0 时 iC 、 i1 、 i2 。
由换路定律得:
u(0+) u(0-) 9 (V)
(2)换路后的电路如图(c)所示。
i1
R1
C
(c)
iC
+C
-
i2
R2
电路的时间常数 τ 为
τ = RC =
R1R2
R1 + R2
C = 2 ⨯ 0.01 = 0.02 s
则由 RC 电路的零输入响应的通解得:
uC = 9e-50t V
则:
iC = C
duc
dt
= -4.5e-50t A
i1 = -
uC
R1
= -1.5e-50t A
i2 =
uC
R2
= 3e-50t A
3.3.2RC 电路的零状态响应
S
+ uR-
t=0
R
iC
E
-
C
+C
-
图 3.3.5
t
在图 3.3.5 所示 RC 一阶电路中,换路前开关 S 断开,电容无储能。
=0 时换路,换路后 S 闭合,
RC 电路与直流电源连接,试分析换路后 uC 、 iC 的变化规律。
因为换路前电容无初始储能,即电路中储能元件的初始值为零,电路的响应是由电源激励所产
生的,所以该电路的响应为零状态响应。
分析 RC 电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
换路后,电压源通过电阻 R 向电容 C 充电,电容上的电压 uC 将从初始值逐渐过渡到某一个稳
态值。
由图中所示参考方向,根据 KVL 得:
uC + uR = E
由于 uR = R iC ,将 iC = C
duc
dt
代入上式得微分方程:
RC
duC
dt
+ uC = E
或
duC
dt
u
RC
E
RC
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程,它通解得一般形式为:
通解=齐次微分方程通解+特解
其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的 Ae pt ,特解是非齐次微分方程的一个特殊解,可以
取换路后的稳态值。
由题意可以得出,换路后的稳态值为 E,故非齐次微分方程的通解为:
uC = Ae pt + E
其中 p 为该齐次微分方程的特征根。
p = -
1
RC
积分常数 A 仍由初始值确定,将初始条件 t = 0 时, uC = 0 代入非齐次微分方程的通解,得:
A = -E
于是求得零状态响应为:
uC = -Ee
-
t
RC
+ E = E(1 - e
-
t
RC)
其中,E 为 t → ∞ 时电容两端电压 uC (∞) ,零状态响应又可写为
uC = E(1 - e
-
t
RC
) = uC (∞ )(1 - e
-
t
RC
)
则
iC = C
duc
dt
=
R
e
t
它们的变化曲线如图 3.3.6(a)、(b)所示。
uC
iC
E
0
t
E
R
0
t
(a)(b)
图 3.3.6 RC 电路的零状态响应曲线
【例 3.3】在图 3.3.5 中,已知 R=2Ω,C=4μF,E=10V,当 t=0 时,开关 S 闭合,换路前电容
初始储能为零,试求开关闭合后 uC 、 iC 的变化规律。
解:
换路前 C 无初始储能,故
C=C=
u(0+) u(0-) 0
换路后根据 KVL 得:
uC + uR = E
即
RC
duC
dt
+ uC = E
求得:
uC = E(1 - e
-
t
RC) 10 1 -
3
iC =
R
e
t
3
3.3.3RC 电路的全响应
在图 3.3.7 所示 RC 一阶电路中,换路前开关 S 合在“1”处,RC 电路与直流电源 E1 连接,而
且电路已稳定,t=0 时换路,即将开关 S 转换到“2”处,RC 电路与直流电源 E2 连接,设电容的电
压和电流方向为关联参考方向,试分析换路后 uC 、 iC 的变化规律。
1 S
+ uR-
+
E1
-
2
+
E2
-
R
C
iC
u
+C
-
图 3.3.7
由于换路前电路已稳定,电容已有储能。
换路后电路由电压源 E2 激励,所以该电路的响应为
全响应。
在 t≥0 时,由 KVL 得:
uC + uR = E2
由于 uR = R iC ,将 iC = C
duc
dt
代入上式得微分方程:
RC
duC
dt
+ uC = E2
或
duC
dt
u
RC
E2
RC
求解的步骤和零状态响应是一样的,但电路的初始条件不同,会影响常数 A 的数值。
该微分方
程的通解为:
uC = Ae
-
t
RC
+ E2
将初始条件 t = 0+ 时, uC (0+ ) = E1 代入微分方程的通解,得:
A = E1 - E2
于是求得全响应为:
uC = (E1 - E2 )e
-
t
RC
+ E2
整理得:
uC = E1e
-
t
RC
+ E2 (1 - e
-
t
RC
)
分析 uC 式可知,式中第一项 E1
t
e RC
是电路的零输入响应,第二项 E2 (1 - e
-
t
RC
) 是零状态响应。
因此,电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。
全响应=零输入响应+零状态响应
由 uC 可以求出 iC 的响应。
iC = C
duC
dt
E
R
E2
R
t
)e RC
它们的变化曲线如图 3.3.8 所示。
uC
uC
E2
E1
0
t
E1
E2
0
t
(a) E1 > E2
(b) E1 < E2
图 3.3.8 RC 电路的全响应
3.4RL 电路的暂态分析
本节将通过最简单的 RL 电路来分析其响应,也就是研究 RL 电路的充放电规律。
3.4.1RL 电路的零输入响应
在图 3.4.1 所示(a)RL 一阶电路中,t=0 时换路,将开关 S 闭合,试分析换路后 iL 、 uL 的变
化规律。
+uR -
R
iL
E
-
S
t=0
+L
-
图 3.4.1 RL 电路的零输入响应
因为换路后的电路外部激励为零,内部储能元件电感换路前有初始储能,所以该电路的响应为
零输入响应。
分析 RL 电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
设电感的电压和电流关联参考,换路后,由 KVL 可得:
uL + uR = 0
由于 uR = R iL ,将 uL = L
diL
dt
代入上式得微分方程:
L diL
R dt
+ iL = 0
或
diL
dt
+
R
L
iL = 0
此方程与电容放电的微分方程形式相同,参照其解法可求得结果 iL ,进而求得 uL 。
iL =
E
R
e
t
τ
其中,
E
R
为 t→∞时通过电感的电流 iL (∞) ,零状态响应又可写为
iL =
E
R
e
-
t
τ
L
= i(∞)e
-
t
τ
则
-
uL = L
diL
dt
t
= -Ee τ
τ =
式中
L
R
它也具有时间的量纲,是 RL 电路的时间常数。
τ 越大, iL 和 uL 衰减的越慢。
它们随时间变化的曲线如图 3.4.2 所示。
E
R
iL
0
uL
t
0
t
-E
(a)(b)
图 3.4.2 RL 电路的响应曲线
可见,电感电流与电容电压的衰减规律是一样的,都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。
而电感电压在换路瞬间会发生突变,由零突变到 RI S ,然后再按指数规律逐渐衰减到零。
过渡过程
的快慢,取决于电路的时间常数τ =
L
R
。
RL 串联电路实际上是线圈的电路模型,如电动机的绕组、仪表的线圈等。
在使用的时候常会
遇到线圈从电源断开的问题,如图 3.4.3 所示电路,S 断开前电路已处于稳态。
如果突然断开开关
S,这时电感中电流的变化率
diL
dt
很大,将使线圈两端产生很大的自感电动势 eL = -L
diL
dt
。
由于开
关两触头间的间隙很小,高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花,触头被烧坏。
为防止开断线圈电路时所产生的高压,常在电感线圈两端并联一个二极管。
开关 S 断开前,二
极管反向截止;开关 S 断开时,二极管导通,电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电,这样
就避免了产生高压。
S
t=0
R
E
-
L
图 3.4.3
3.4.2RL 电路的零状态响应
在图 3.4.4 所示 RL 一阶电路中,换路前电感无储能。
t=0 时换路,S 闭合,RL 电路与直流电源
连接,试分析换路后 iL 、 uL 的变化规律。
S
+ uR-
t=0
R
iL
E
+
uL
-
图 3.4.4 RL 电路的零状态响应
因为换路前电感无初始储能,即电路中储能元件的初始值为零,电路的响应是由电源激励所产
生的,所以该电路的响应为零状态响应。
分析 RL 电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
设电感的电压和电流方向关联参考,换路后,由 KVL 可得:
uL + uR = E
由于 uR = R iL ,将 uL = L
diL
dt
代入上式得微分方程:
L diL
R dt
+ iL = E
或
diL
dt
+
R
L
iL =
R
L
E
此方程与电容充电的微分方程形式相同,参照电容充电的解法可求得结果 iL ,进而求得 uL 。
iL =
E
R
-
R
e
t
其中,
E
R
为 t → ∞ 时通过电感的电流 iL (∞) ,因此零状态响应又可写为
iL =
E
R
t t
(1 - e τ ) = iL (∞)(1 - e τ )
-
则
uL = L
它们随时间变化的曲线如图 3.4.5 所示。
diL
dt
t
= Ee τ
iL
uL
E
R
0
t
E
0
t
(a)(b)
图 3.4.5 RL 电路的零状态响应曲线
可见,电感电流与电容电压的增长规律是一样的,都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。
电感电压在换路瞬间会发生突变,由零突变到 E,然后再按指数规律逐渐衰减到零。
过渡过程的快
慢,也取决于电路的时间常数τ =
L
R
。
3.4.3RL 电路的全响应
在图 3.4.6 所示 RL 一阶电路中,换路前开关 S 合在 a 处,RL 电路与直流电压源 E1 连接,而且
电路已稳定,t=0 时换路,即将开关 S 转换到“b”处,RL 电路与直流电压源 E2 连接,试分析换路
后 uL 、 iL 的变化规律。
1 S
+uR -
+
E1
-
2
+
E2
-
R
L
iL
+
uL
-
图 3.4.6 RL
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一阶 动态 电路 分析