人教版九上数学《旋转》全章导学案.docx

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人教版九上数学《旋转》全章导学案

第二十三章　旋转

23．1　图形的旋转

（1）

1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念．

2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．

重点：

旋转及对应点的有关概念及其应用．

难点：

从生活中抽象出数学概念．

（2分钟）

请同学们完成下面各题．

（1）将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．

第

（1）小题图）　　　

第

（2）小题图）

（2）如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.

（3）①圆是轴对称图形吗？

②等腰三角形呢？

③你还能指出其他的吗？

答：

（1）①是；

（2）②是；（3）③等腰梯形、长方形、正多边形等．

点拨精讲：

（1）平移的有关概念及性质；

（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它有哪些性质；（3）什么叫轴对称图形．

一、自学指导．（10分钟）

观察：

让学生看转动的钟表和风车等．

（1）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？

（指针、风车叶片分别绕中间点旋转）

（2）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？

（形状、大小不变，位置发生变化）

问题：

（1）从3时到5时，时针转动了多少度？

（60°）

（2）风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？

（60°）

（3）以上现象有什么共同特点？

（物体绕固定点旋转）

思考：

在数学中如何定义旋转？

归纳：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（8分钟）

1．下列物体的运动不是旋转的是（　C　）

A．坐在摩天轮里的小朋友

B．正在走动的时针

C．骑自行车的人

D．正在转动的风车叶片

2．下列现象中属于旋转的有__4__个．

①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．

3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，

它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：

旋转中心是点__O__，旋转角是__∠AOD（或∠BOE），经过旋转，点A转到__D__点，点C转到__F__点，点B转到__E__点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分别与∠D，∠E，∠F__是对应角．

点拨精讲：

旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．

（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

（2）请画出旋转中心和旋转角；

（3）经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？

解：

（1）可以看做是由基本图案正方形ABCD通

过旋转而得到的；

（2）画图略；（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.

点拨精讲：

旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．

2．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，

点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，

不难知道重合部分的面积为

，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？

说明理由．

点拨精讲：

设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE′＝S△ODD′，即说明△OEE′≌△ODD′.

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．

2．旋转的对应点及其它们的应用．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

23．1　图形的旋转

（2）

1．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质．

2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．

重点：

图形的旋转的基本性质及其应用．

难点：

利用旋转的性质解决相关问题．

一、自学指导．（10分钟）

动手操作：

在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．

（分组讨论）根据图回答下面问题：

（一组推荐一人上台说明）

1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？

2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？

3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？

点拨精讲：

（1）OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等．

（2）∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．

（3）△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等．

归纳：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（6分钟）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝

，△ABF是△ADE的旋转图形．

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）AF的长度是多少？

（4）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？

分析：

由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以△AEF是等腰直角三角形．

解：

（1）旋转中心是A点；

（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的，

∴B是D的对应点，

∴∠DAB＝90°就是旋转角；

（3）∵AD＝1，DE＝

，

∴AE＝

＝

.

∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，

∴AF＝

；

（4）∵∠EAF＝90°（与旋转角相等）且AF＝AE，

∴△EAF是等腰直角三角形．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，

画出旋转后的图形．

点拨精讲：

关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置．

2．已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形．

作法：

1.连接OA；

2．在逆时针方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA；

3．连接OB；

4．在逆时针方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB；

5．连接A′B′.

∴线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段．

点拨精讲：

作图应满足三要素：

旋转中心、旋转角、旋转方向．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）

1．如图，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.

（1）此图能否旋转某一部分得到一个正方形？

（2）若能，指出由哪一部分旋转而得到的？

并说明理由．

（3）它的旋转角多大？

并指出它们的对应点．

解：

（1）能；

（2）由△BCQ绕B点旋转得到．理由：

连接AB，易证四边形ABCD为正方形．再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.

（3）90°.点C对应点A，点Q对应点P.

2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．

解：

（1）连接CD；

（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；

（3）在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；

（4）连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．

点拨精讲：

绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．

3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．

解：

∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，

∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM为旋转角且为90°，

∴△ADM是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABK旋转而成的．

∴BK＝DM.

点拨精讲：

要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．问题：

对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？

2．本节课要掌握：

（1）旋转的基本性质．

（2）旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

23．1　图形的旋转（3）

1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．

2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．

重点：

用旋转的有关知识画图．

难点：

根据需要设计美丽图案．

一、自学指导．（15分钟）

1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．

点拨精讲：

要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：

①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.

探究：

从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：

旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．

把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．

1．旋转中心不变，改变旋转角．

2．旋转角不变，改变旋转中心．

我们可以设计成如下图美丽的图案．

归纳：

旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（2分钟）

如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（6分钟）

1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.

2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．

解：

依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．

所以PP′＝

＝

＝3

.

解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）

如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．

解：

△ACE旋转后能与△DCB完全重合．

旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针

方向．（也可看作△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE）

学生总结本堂课的收获与困惑．（3分钟）

1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．

2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

23．2　中心对称

23.2.1　中心对称

1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念．

2.掌握中心对称的基本性质．

重点：

中心对称的性质及初步应用．

难点：

中心对称与旋转之间的关系．

一、自学指导．（10分钟）

自学1：

中心对称，对称中心，对称点等概念：

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（centralsymmetry）；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．

自学2：

中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（8分钟）

1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．

（1）这两个图形是中心对称图形吗？

如果是，对称中心是哪一点？

如果不是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A，B，C，D关于中心对称的对称点是哪些点．

解：

（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．

（2）A，B，C，D关于中心D的对称点是A′，B′，C′，D′，这里的D′与D重合．

2．如图，已知AD是△ABC的中线，作出以点D为对称中心，

与△ABD成中心对称的三角形．

分析：

因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C，B为一对对应点，因此，只要再作出A关于D的对应点即可．

解：

（1）延长AD，且使AD＝DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），A点关于中心D的对称点为A′.

（2）连接A′B′，A′C′.则△A′B′D为所求作的三角形，如图所示．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（5分钟）

如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）

点拨精讲：

（1）画法总结；

（2）性质归纳．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）

1．如图，等边△ABC内有一点O，试说明：

OA＋OB＞OC.

解：

如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B的位置，则

△AOC≌△AO′B.

∴AO＝AO′，OC＝O′B.

又∵∠OAO′＝60°，

∴△AO′O为等边三角形．∴AO＝OO′.

在△BOO′中，OO′＋OB＞BO′，

即OA＋OB＞OC.

点拨精讲：

要证明OA＋OB＞OC，必然把OA，OB，OC转化在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA，OB，OC转化在一个三角形内．

2．教材第66页练习．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．中心对称及对称中心的概念；

2．关于中心对称的两个图形的性质．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

23．2.2　中心对称图形

1.掌握中心对称图形的定义．

2.准确判断某图形是否为中心对称图形．

重点：

中心对称图形的判断．

难点：

两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．

一、自学指导．（7分钟）

自学：

自学课本P66～67的内容．

探究：

中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（3分钟）

将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？

议一议．

解：

J.

点拨精讲：

这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？

对称中心是什么？

（出示课件图片）

（1）平行四边形　

（2）矩形　（3）菱形　（4）正方形

（5）正三角形　（6）线段　（7）角　（8）等腰梯形

解：

常见的中心对称图形：

线段（线段中点）、平行四边形（对角线交点）、矩形、菱形、正方形、圆（圆心）等．

2．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．

解：

区别：

中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．

联系：

如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（15分钟）

1．英文大写字母中有哪些中心对称图形？

答：

（H，I，N，O，S，X，Z）．

2．说一说：

在生活中你还见过哪些中心对称图形？

学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．

3．想一想：

你学过的几何图形具有怎样的对称性？

点拨精讲：

边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

4．课本第67页小练习2.

点拨精讲：

怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：

将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．

5．如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一

条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？

点拨精讲：

由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．中心对称图形的定义．

2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

23．2.3　关于原点对称的点的坐标

掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题．

重点：

关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用．

难点：

关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

一、自学指导．（10分钟）

自学：

自学课本P68的内容．

思考：

关于原点作中心对称时，

（1）它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？

纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？

（2）坐标与坐标之间符号又有什么特点？

点拨精讲：

（1）横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；

（2）坐标符号相反，即P（x，y）关于原点O的对称点为P′（－x，－y）．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（8分钟）

1．如图，在直角坐标系中，已知A（－3，1），B（－4，0），C（0，3），D（2，2），E（3，－2），F（－2，－2），作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

解：

A，B，C，D，E，F点关于原点O对称点分别为A′（3，－1），B′（4，0），C′（0，－3），D′（－2，－2），E′（－3，2），F′（2，2）．

这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数．

2．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形．

解：

△ABC的三个顶点A（－2，2），B（－4，－1），C（1，1）关于原点的对称点分别为A′（2，－2），B′（4，1），C′（－1，－1），依次连接A′B′，B′C′，A′C′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′，如右图所示．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.

（1）在图中画出直线A1B1.

（2）求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式．

（3）是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y＝kx＋b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等），它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．

点拨精讲：

（1）只需画出A，B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1，B1，连接A1B1.

（2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y＝

代入求k.

（3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明．这一条直线是存在的，因为A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的坐标作A1，B1关于原点的对称点A2，B2，连接

A2B2的直线就是我们所求的直线．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（7分钟）

1．已知△ABC，A（1，2），B（－1，3），C（－2，4），利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．

点拨精讲：

先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.

2．教材P69的第1，2，3题．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

本节课应掌握：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（－x，－y），及利用这些特点解决一些实际问题．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

23．3　课题学习　图案设计

1．认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用．

2.利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案．

重点：

设计图案．

难点：

如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．

一、自学指导．（10分钟）

自学：

自学教材P72内容，思考下列问题．

（1）我们学过哪些图形变换？

它们分别有何特征？

（2）下列图形之间的变换分别属于什么变换？

探究：

（1）观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？

（2）观察三种图形变换的过程，回答问题：

①平移、旋转和轴对称变换的基本特征；

②归纳三种图形变换的共性．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（8分钟）

1．分析图案的形成过程要注意些什么？

分析图案的形成过程，应注意运用__平移、__轴对称__、__旋转__进行描述，只要合理就行．

2．图案设计的关键是什么？

选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（7分钟）

用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？

点拨精讲：

将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙