流体力学第五章习题.docx
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流体力学第五章习题
P125
第五章习题
5-1
流速为uo=10m/s
沿正向的平均流与位于原点的点涡叠加。
已知驻点位于(
0,5),试
求
(1)点涡的强度;
(2)点(0,5)的流速;(3)经过驻点(
0,-5)的流线方程。
平均流与位于原点的点涡叠加后的速度势为。
=v0rcos
0
此中
0为沿顺时针方向点涡涡强。
2
在极坐标下:
A
驻点为(0,5),则
vr
v0cos0v0cos
1
r
v0sin
0
v
2r
r
3,r5
2
(1)vr
v0cos(3
)
0
2
v
v0
sin(3
)
0
0
010
v0100
即点涡强强度
2
2
5
1100
(2)点(0,5)的流速
r5代入vr,v
2
vr
v0cos0
v
100
100
即v0,u20m/s
v0sin
v0
20(m/s)
2r
10
负号表示以逆时针方向为正
(3)经过驻点(0,5)的流线方程
平均流与位于原点点涡叠加后的流函数
v0r
sin
0
lnr
2
将(0,5)对应
3
r5代入上
式得:
2
驻点
10
5(-1)50ln550
50ln5
即
0
y
50lnr
50
50ln5
y
50lnr
5ln5
5
0
y
5lnr
50
5
5-2平面势流由点源和点汇叠加而成,点源位于(
-1,0),其流量为120m3/s,点
汇位于(2,0)点,其流量为
240m3/s,已知流体密度为
1.8kg/m3,流场中(0,
0)点的压力为0,试求点(0,1)和(1,1)的流速和压力。
解:
平面势流点源和点汇组成的速度势为:
-1
0
2
A(源)
B(汇)
m1ln(xxA)2
y2
m2ln(xxB)2
y2
2
2
u
m1
x
xA
m2
xxB
2
(xxA)2
y2
2
(xxB)2
y2
v
m1
y
m2
y
2
(xxA)2
y2
2
(xxB)2
y2
因:
m1
1
20
m
3
/
2
403
/
xA
1,
xB
2
sm2
m
s
u
10
x
1
20
x
2
(x1)2
y2
(x2)2
y2
则
10
y
20
x
2
v
(x1)2
y2
(x2)2
y2
(1)则点(0,1)的速度为:
u
10
0
1
20
0
2
10
1
20
2
13
(0
1)2
12
(0
2)2
12
2
5
(m/s)
(2)
v
10
1
12
20
1
12
10
1
20
2
1(m/s)
(0
1)2
(0
2)2
2
5
因为全流场中随意一点知足伯努力方程的拉格朗日形式(
p72,)即
v2
P
z
c
则(0,0
),(0,1
),(1
,1)都知足上式,因P(0,0)0
2
v(0,0)
u(0,0)
10
(0
0
1
0
20
0
2
20(m/s)
1)2
(0
2)2
0
2
P(0,0)
2
P(0,1)
(13)2
(
1)
2
v(0,0)
z(0,0)
v(0,1)
z(0,1)
P(0,1)
1
2
2
2
则
P(0,1)19.17(N/m2)
(2)(1,1)点流速与压力
u(1,1)
10
1
1
20
1
2
10
2
20
1
14
(1
1)2
12
(1
2)2
12
5
2
(m/s)
v(1,1)
10
1
12
20
1
12
10
1
20
1
8(m/s)
(1
1)2
(1
2)2
5
2
因:
v(20,0)
P(0,0)
z(0,0)
v(21,1)
P(1,1)
z(1,1)
2
2
(20)2
(14)2
(8)2
P(1,1)
1
2
2
400
260
P(1,1)
2
2
2
1
70
P(1,1)
P(1,1)
10.97(N/m
2
)
21
5-3直径为2m的圆柱体在水下深度为
H=10m以平移速度u0运动,试求
(1)A、B、C、D四
点的绝对压力
(2)若圆柱体运动的同时还遇到自己轴线以角速度
60r/min转动,试决定驻
点的地点以及
B、D两点的速度和压力。
此时若水深增至100m,求产生空泡时的速度(注:
温度为15c时,水的饱和蒸汽压力为
2.332103
N/m2。
)
P0
(1)
等效于:
平均流+偶极
y
BH
A
C
x
u0
D
偶极强度:
M2v0a2
a1m,v0u010m/s,M2v0a2
20
平均流与偶极叠加的速度势:
v0rcos
M
cos
2
r
vr
v0
cos
M
cos
v0cos
(1
a2
r
2
r
2
r
2)
v
1
v0
sin(1
a2
r
r
2)
代入r=a
的圆柱表面的速度散布为:
vr
0,v
2v0sin
B
C:
0
vAvC
0
vB
A
A:
C
vD
D
B
:
2
vB
2v0
D
:
3
vD2v0
2
从无量远流体流向:
Q
A,列出伯努力方程:
PQ
P0
hg1.013105
103
9.81
10
1.994105(帕)
注:
P0取1标准大气压
PQ
1v02
PA
1vA2
2
2
PA
PQ
1
v02
1.994
105
0.5103
102
2.494
105
249.4103(N/m2)
2
若取P0为一个工程大气压:
P0
0.981
105Pa
则
PA
246.2103(N/m2)
(与课后答案一致,暂取
P0为一个工程大气压)
P
P'
gh
P'
P
gR(静止状态,液体静力学方程)
A
B
B
A
A、B两点列伯努力方程
gzA
PA
1vA2
PB
1vB2
gzB
2
2
zA
0,zB
R,vA
0,vB
2v0
PA
PB
1
(2V0)2
gR
2
PB
PA
1
4v02
gR
2
246.2
103
1
103
4
102
103
9.81
1
2
246.21032001039.8110336.4103(N/m2)
A、D列伯努力方程
gR
PA
PD
1
(2v0)2
2
PD
gR
PA
1
(2v0)2
2
246.2
103
103
9.81
1
1
103
4
102
2
56.1
103(N/m2)
PA
PC
246.2
103(N/m2)
(2)等效于绕圆柱有环量流动
v0cos
(r
a2
)
0
r
2
0
2
a2
60r/min
60
2
/602(rad/s)
a
1m,
0
(2
)2
2
vr
v0
cos(1
a2
)
速度散布:
r
r
1
a2
0
v
r
v0sin
(1
r2)
2r
圆柱表面r=a
上速度散布为:
vr
0
v
2v0
sin
0
2r
假定无量远处
PP0',vv0由定常运动的伯努力方程的圆柱表面压力散布为:
(质量力忽视不计)
P0'
1v02
P
1v2
2
2
1
1
2
P
P0'
v02
2v0sin
0
2
2
2a
此中P0'
P0
gH
0.981
105
103
9.81
101.962105(N/m2)
vA
B
A:
v
2vsin
0
(2
)2
v
A
6.28m/s
0
B
2a
2
1
D
A
C
vD
D
vC
B:
2
vB
2v0sin
0
2
v01
(2
)2
26.28m/s
2a
2
1
C:
0
vC
2v0sin
0
6.28m/s
2a
)2
3
vC
2v0sin
0
2
v0(
1)
(2
13.72m/s
D:
2a
2
1
2
列A、B两点伯努力方程
PB
P0'
1v02
1vB2
gR
1vA2
2
2
2
1.962
105
1
103
102
1
103
26.282
103
9.81
1
1
103
6.282
2
2
2
驻点地点:
v
2v0
sin
0
0
2a
2v0sin
0
2a
)2
2
10sin
(2
2
1
2
sin0.314
20
arcsin(0.314)
当H增添到100米,vB速度>vD,应vB先产生气泡,其速为
PB
PA
1
vA2
gR
1
vB2
2
2
PB
2.332
103(N/m2)
2.332
103
gH
1
v02
1
vA2
1
vA2
gR
1vB2
2
2
2
2
2.332
9810.5v02
9.81
0.54v0
2
981
0.5v02
9.81
2v02
2v0
2
1.5v02
12.57v0
(2.332981
9.81
2
2)
0
1.5v02
12.57v0
949
0
v0
b
b2
4ac
12.57
12.572
6
949
(取正)29.68m/s
2a
3
5-4写出以下流动的复势(
1)u
U0cos
v
U0sin
;
(2)强度为
m,位于(a,0)点
的平面点源;(3)强度为
位于原点的点涡;(3)强度为M,方向为
,合于原点的平面偶
极
(1)
u0
x
v0
y
U0
cos
x
U0
sin
y
U0cos
y
U0
sin
x
u
yvx
w(z)
i
U0cos
xU0sin
y
i(U0cos
yU0sin
x)
U0
cos
(x
iy)
U0
sin
(y
ix)
U0
cos
z
(
i)U0
sin
(x
iy)
U0
cos
z
iU0
sin
z
U0
z
(cos
isin
)
U0
zei
(2)强度为m,位于(a,0)点源的复势,只要求强度为
m,位于(0,0)点的复势
m
2r
vr
vr
m,v
0
2r
vrdr
v
rd
m
dr
mlnr
2r
2
vdr
vr
rd
m
m
源强
2
d
2
w(z)
i
mlnr
i
m
mlnrlnei
mln(rei)
mlnz
2
2
2
2
2
则合于(a,0)的点源复势为
w(z)za
mln(za)
2
2
2
lnr
w(z)
i
2
i(
lnr)
2
(3)
(
i
lnr)
2
i
i
)
(lnr
2
i(lnr
ei
)
2
ilnz
位于原点点涡复势
2
位于(a,0)点涡的复势为:
w(z)za
iln(za)
2
(4)强度为M,方向为
,位于原点的平面偶极
汇
x0
2
y02
y0
(x0
x0,y0y0)
tan
x0
源
源的速度势:
m
(源位于原点)
lnr
2
汇的速度势:
mlnr
(汇位于原点)
2
点源此刻位于(
x0
)点汇位于(
)
y0,
x0x0,y0y0
求解推导以下:
点源位于(
x0,y0)点汇位于(x0
x0,y0y0)
则源和汇叠加流场的速度势为:
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