《勾股定理》典型例题折叠问题.docx

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《勾股定理》典型例题折叠问题

《勾股定理》典型例题

折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）

A.

B.

C.

D.

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将

ABC沿AC对折至

AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：

AF=FC；

（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

如果M为CD边的中点，求证：

DE：

DM：

EM=3：

4：

5。

10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）

2-5

11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

《勾股定理》典型复习题

一、知识要点：

1、勾股定理

2、勾股定理的逆定理

3、勾股数

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：

①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：

（3，4，5 ）（5，12，13 ）（ 6，8，10 ） （ 7，24，25 ） （ 8，15，17 ）（9，12，15 ） 

4、最短距离问题：

主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：

利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：

（1）阴影部分是正方形；

（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）

A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，

求四边形ABCD的面积。

5、在直线

上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是

、

=_____________。

考点二：

在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．

2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．

4、在Rt△ABC中，∠C=90°若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

5、如果直角三角形的两直角边长分别为

，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）

A、2nB、n+1C、n2－1D、

6、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）

A.

B.

C.

7、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24

B、36

C、48

D、60

8、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A、5B、25C、7D、15

9、如图1所示，等腰

中，

，

是底边上的高，若

，求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点三：

勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17

2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）

A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7

3、下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3；

③△ABC中，a：

b：

c=3：

4：

5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．

其中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个

4、已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（　　）

A.直角三角形B.等腰三角形

5、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）

A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

6、若△ABC的三边长a,b,c满足

试判断△ABC的形状。

 考点四:

应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

某楼梯的侧面视图如图3所示，其中

米，

，

，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为       ．

考点五、利用列方程求线段的长（方程思想）

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

2、一架长

的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底

（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑

，那么梯子底端将向左滑动米

3、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

考点六：

折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点c与点E重合，折痕为AD，则CD等于（）

A.

B.

C.

D.

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

7、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

8、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

考点七：

与展开图有关的计算

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm

考点八、网格问题

1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）

A．0B．1C．2D．3

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A.直角三角形

3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（）

A．25B.12.5C.9

（图1）（图2）（图3）

4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3、

、

（在图甲中画一个即可）；

②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．