届高考数学二轮 圆锥曲线的定义方程几何性质2专题卷全国通用.docx
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届高考数学二轮圆锥曲线的定义方程几何性质2专题卷全国通用
专题限时集训(十二)
圆锥曲线的定义、方程、几何性质
[建议A、B组各用时:
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1.(2017·昆明二模)已知点M是抛物线C:
y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为( )
A.1 B.2
C.3D.4
D [设M(x,y),由题意得x+=4,y=4.
即x=4-,y=4,又点M在抛物线C上,所以42=2p,解得p=4,故选D.]
2.(2017·黄山二模)若圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为( )
【导学号:
04024111】
A.B.
C.D.
A [不妨设渐近线为bx+ay=0.
由题意得圆心到渐近线bx+ay=0的距离d==2,
∴b2=a2,∴c2=a2,
∴e==,故选A.]
3.(2017·武汉一模)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的标准方程为( )
A.x2-=1B.x2-=1
C.x2-=1D.x2-y2=1
D [由题意知a=1,不妨设点M在第一象限,
则|AB|=|BM|=2,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴于点N,则|BN|=1,|MN|=,所以M(2,)代入双曲线方程得4-=1,解得b=1.
所以双曲线方程为x2-y2=1,故选D.]
4.(2017·九江模拟)椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
D [设P(x,y),则|OP|2=x2+y2=,
由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2,
又∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,
∴|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,
则|PF1|2+|PF2|2+8c2=4a2,
∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2+8c2=4a2,整理得x2+y2+5c2=2a2,
即+5c2=2a2,整理得=,
∴椭圆的离心率e==.故选D.]
5.(2016·唐山二模)椭圆y2+=1(0<m<1)上存在点P使得PF1⊥PF2,则m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
B [当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大,因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则∠F1PF2≥90°,所以∠F2PO≥45°(O是原点),从而≥,即1-m2≥,又0<m<1,所以0<m≤.]
二、填空题
6.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.
5 [∵双曲线的标准方程为-=1(a>0),
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=5.]
7.(2017·青岛模拟)已知抛物线C:
y2=8x,O为坐标原点,直线x=m与抛物线C交于A,B两点,若△OAB的重心为抛物线C的焦点F,则|AF|=________.
5 [因为抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),又因为点F为△OAB的重心,所以m=3,即点A的横坐标xA=3,所以|AF|=xA+=3+2=5.]
8.如图121,F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为________.
【导学号:
04024112】
图121
[因为△ABF2为等边三角形,由点A是双曲线上的一点知,|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,由点B是双曲线上一点知,|BF2|-|BF1|=2a,从而|BF2|=4a,由∠ABF2=60°得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中应用余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos120°,整理得c2=7a2,则e2=7,从而e=.]
三、解答题
9.(2017·唐山一模)在△ABC中,A(-1,0),B(1,0),若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G,H不重合).
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程.
[解]
(1)由题意可设C(x,y),则G,H,=,=(x+1,y).2分
因为H为垂心,所以·=x2-1+=0,整理可得x2+=1,
即动点C的轨迹方程为x2+=1(x·y≠0).4分
(2)显然直线AC的斜率存在,设AC的方程为y=k(x+1),C(x0,y0).
将y=k(x+1)代入x2+=1得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0,6分
解得x0=,y0=,则H.8分
原点O到直线AC的距离d=,
依题意可得=,10分
即7k4+2k2-9=0,解得k2=1,即k=1或-1,
故所求直线AC的方程为y=x+1或y=-x-1.12分
10.已知椭圆C:
x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
【导学号:
04024113】
[解]
(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1,2分
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e==.5分
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.7分
又x+2y=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=2+(y0-2)2=x+y++4=x+++4=++4(0<x≤4).9分
因为+≥4(0 所以|AB|2≥8. 故线段AB长度的最小值为2.12分 [B组 名校冲刺] 一、选择题 1.(2016·唐山二模)已知点A是抛物线C: x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且△ABO为等边三角形,则p的值是( ) A. B.2 C.6 D. D [由题意知|MA|=|OA|,所以点A的纵坐标为4,又△ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为,又点A是抛物线C上一点,所以=2p×4,解得p=.] 2.(2017·青岛二模)已知a>0,b>0,双曲线C1: -=1,圆C2: x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的渐近线与圆C2相切,则双曲线C1的离心率是( ) A.B. C.2D. A [由题意得圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=,所以圆心C2(a,0),半径r=,双曲线C1的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为双曲线的渐近线与圆C2相切,所以=,解得a2=3b2,所以双曲线的离心率e===,故选A.] 3.(2017·石家庄一模)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ为( ) A.B. C.3D.2 D [把点A代入抛物线方程,得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B.设M,则=,=.由=λ,得解得λ=2或λ=1(舍去),故选D.] 4.(2017·上饶一模)设F1,F2为椭圆C1: +=1(a1>b1>0)与双曲线C2: -=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e1=,则双曲线C2的离心率e2为( ) A.B. C.D. B [设|F1M|=m,|F2M|=n,m>n, 则m+n=2a1,m-n=2a2,m2+n2=4c2, 可得a+a=2c2, 可得+=2,又e1=, 所以e2=.故选B.] 二、填空题 5.(2017·石家庄一模)已知圆C1: x2+(y-2)2=4,抛物线C2: y2=2px(p>0),C1与C2相交于A,B两点,且|AB|=,则抛物线C2的方程为________. y2=x [由题意,知直线AB必过原点,则设AB的方程为y=kx(易知k>0),圆心C1(0,2)到直线AB的距离d===,解得k=2,由得或把代入抛物线方程,得2=2p·,解得p=,所以抛物线C2的方程为y2=x.] 6.过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为________. [设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m, ∵|AF|=3,∴点A到准线l: x=-1的距离为3, ∴2+3cosθ=3,即cosθ=,则sinθ=. ∵m=2+mcos(π-θ),∴m==, ∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=×1××=.] 三、解答题 7.如图122,椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=|BF|. 图122 (1)求椭圆C的离心率; (2)若点M在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程. 【导学号: 04024114】 [解] (1)由已知|AB|=|BF|,即=a,2分 4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2, ∴e==.4分 (2)由 (1)知a2=4b2,∴椭圆C: +=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由+=1,+=1, 可得+=0, 即+=0, 即+(y1-y2)=0,从而kPQ==2,6分 ∴直线l的方程为y-=2,即2x-y+2=0.8分 由⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0,9分 Δ=322+16×17(b2-4)>0⇔b>,x1+x2=-,x1x2=. ∵OP⊥OQ,∴·=0,即x1x2+y1y2=0, x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0,11分 从而-+4=0,解得b=1,椭圆C的方程为+y2=1.12分 8.(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明: AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. [解] 由题意知F.设l1: y=a,l2: y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.2分 (1)由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1=====-b=k2. 所以AR∥FQ.4分 (2)设l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|, S△PQF=.6分 由题设可得2×|b-a|=,8分 所以x1=0(舍去)或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,9分 由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1).10分 当AB与x轴垂直时,E与D(1,0)重合.1
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