考研数三真题及解析.docx
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考研数三真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统
考试数学
、填空题:
本题共6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
⑴若lim罗x(cosxb)5,则a=x0ea
(2)函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]
xg(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)0,则
⑶设f(x)
2
xex,
1,x
⑷二次型f(X1,X2,X3)(X1
X2)2(X2X3)2(X3X1)2的秩为
⑸设随机变量X服从参数为入的指数分布,则P{X.DX}
⑹设总体X服从正态分布N(❻o2),总体Y服从正态分布N(陆/),X1,X2,Xn1
和Y,Y2,Yn2分别是来自总体X和丫的简单随机样本,则
n1
n2
(Xi
i1
X)
(Yj
j1
Y)
n1n22
、选择题:
本题共8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
⑺函数f(x)|x|sin(x2)2在下列哪个区间内有界()
x(x1)(x2)2
(A)(?
1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).
1
(8)设f(x)在(,)内有定义,且limf(x)a,g(x)f(:
),x0,则()
x0,x0
(A)x0必是g(x)的第一类间断点.
(B)x0必是g(x)的第二类间断点.
(C)x0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x0处的连续性与a的取值有关.
(9)设f(x)x(1x)|,则()
(A)x0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点.
(B)x0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线yf(x)的拐点.
(C)x0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.
(D)x0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.
(10)设有下列命题:
1若(u2n1u2n)收敛,则un收敛.
n1n1
2若un收敛,则un1000收敛•
n1n1
3若lim1,则un发散•
nunn1
4若(unvn)收敛,则un,vn都收敛•
n1n1n1
则以下命题中正确的是()
(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
(11)设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)0,f(b)0,贝U下列结论中错误的是()
(A)至少存在一点Xo(a,b),使得f(x0)>f(a).
(B)至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)>f(b).
(C)至少存在一点x0(a,b),使得f(勺)0.
(D)至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)=0.
(12)设n阶矩阵A与B等价,则必有()
(A)当|A|a(a0)时,|B|a.(B)当|A|a(a0)时,|B|a.
(C)当|A|0时,|B|0.(D)当|A|0时,|B|0.
(13)
b的互不
设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若&飞,&,&是非齐次线性方程组Ax
相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系()
(A)不存在.
(B)
仅含一个非零解向量
(C)含有两个线性无关的解向量•(D)含有三个线性无关的解向量
(14)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a(0,1),数u°满足P{Xua}a
若P{|X|X}a,则X等于()
(A)ua.(B)ua.(C)Uia.(D)Ula.
1-
222
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤•
(15)(本题满分8分)
.2
1COSX\求lim(一22).
x0sinxx
(16)(本题满分8分)
求(.x2y2y)d,其中D是由圆x2y24和
D
(x1)2y21所围成的平面区域(如图).
(17)(本题满分8分)
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
x
g(t)dt,x?
[a,b),a
f(t)dt
b
g(t)dt.
a
b
证明:
xf(x)dx
a
b
axg(x)dx.
(18)(本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q1005P,其中价格P(0,20),Q为需求量.
(I)求需求量对价格的弹性Ed(Ed>0);
(II)推导dRQ(1Ed)(其中R为收益),并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时,
dP
降低价格反而使收益增加•
(19)(本题满分9分)
设级数
的和函数为S(x).求:
(I)S(x)所满足的一阶微分方程;(II)
(20)(本题满分13分)
设a(1,2,0)t,a(1,a2,3a)T,
试讨论当a,b为何值时,
(I)B不能由a,a,a线性表示;
S(x)的表达式.
a(1,b2,a2b)T,卩(1,3,3)t,
(II)卩可由a,a,a唯一地线性表示,并求出表示式;
(III)卩可由a,a,a线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
(21)(本题满分13分)
设n阶矩阵
1
b
b
b
1
b
A
b
b
1
(I)求A的特征值和特征向量;(n)求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵•
(22)(本题满分13分)
设A,B为两个随机事件,且P(A)丄,P(B|A)-,P(A|B)-,令
432
求
(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(II)X与Y的相关系数Pxy;
(III)ZX2Y2的概率分布.
(23)(本题满分13分)
设随机变量X的分布函数为
其中参数a0,B1.设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,
(I)当a1时,求未知参数B的矩估计量;
(II)当a1时,求未知参数B的最大似然估计量;
(III)当B2时,求未知参数a的最大似然估计量•
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
⑴【答案】a1,b4
【详解】本题属于已知极限求参数的反问题
方法1:
根据结论:
叽辭A,⑴若…,则f(x)0;2)若f(X)。
,且A0,
则g(x)0
(cosxb)5,且limsinx(cosxb)0,所以lim(exa)0(否则
x0x■
根据上述结论
(2)给极限是0,而不是5),
因此,a=1,b=?
4.
上式两端求极限,alimex(5)(C0Sxb)Sinx
x0
(cosxb)sinx
lim101
x05
(也可直接推出
1
—2
21xexdx
2
1
2
0,因为21xexdx积分区间对称,被积函数是关于
2
x是奇函
因此,a=1,b=?
4.
⑵【答案】需
【详解】应先写出f(u,V)的表达式,再求偏导数
推知
f(u,V)=
u
g(v)
g(v),
所以
f1
2f
f
1
g(v)
ug(v)
uV
vu
vg(v)
g2(v)
⑶【答案】丄
2
【详解】
方法1:
作积分变换,令x11,则x:
12t:
21
数,则积分值为零)
方法2:
先写出的f(x1)表达式
X12
1
1
x1e,
X
1-
2
2即:
f(x1)
1
1,
x1
2
f(x1)
(x1)e(x1)
—
(1)22
2(x1)e()dx3
(1)dx
22
⑷【答案】2.
【详解】
nn
由二次型f(X1,X2丄,Xn)
i1j
aijXiXj
1
中,ayaji,所以二次型对应的矩阵的i行,j列元
素是Xi与Xj乘积项系数的一半,
其中i
j.
2
11
于是题中二次型的矩阵为
A1
21,由初等变换得
1
12
2(X1
jX2fX3)2
3
2(X2
22
X3)2y1
32
尹2
从而r(A)2,由二次型的矩阵的秩等于二次型的秩,知二次型的秩为2.
(X2X3)2(X3X1)2
方法2:
因为f(X1,X2,X3)(X1X2)2
11
X1产2"y2x2x3.
次型的秩r(f)=矩阵的秩r(A)=正负惯性指数之和pq,所以此二次型的秩为2.
⑸【答案】-
e
【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算
指数分布的概率密度为
f(x)e,若%°,其方差DX
于是,由一维概率计算公式,PaXb
b
fx(x)dx,a
0右x°
1
exdx=
xe
1
1
—
e
P{X、DX}=P{X丄}
⑹【答案】2.
【详解】根据公式E(XY)E(X)E(Y)和样本方差是总体方差的无偏估计量,
又X「X2,Xm和
丫1,丫2,Yn2分别是来自总体简单随机样本,X和丫都服从正态分布
1n1
即是E[——(Xi
n1i1
221"22
X)]D(X),E[(YY)]D(Y).
n1i1
n1_m_
所以有E[(XiX)2]n12,E[(YY)2]n1
i1i1
对于题给式子将分子分离出来即可出现上式,也就不难求出结果
[51)2仇1)2]2,故应填o2.
、选择题
(7)【答案】(A)
【详解】
内有界.
时f(x)连续,而
lim2f(x)
xsin(x2)lim2
x2x(x1)(x2)
limlim,
x2(x2)x2x2
所以,函数f(x)在(?
1,0)内有界,故选(A).
方法2:
因为limf(x)存在,根据函数极限的局部有界性,所以存在0,在区间[,0)上
x0
f(x)有界,又如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界,根据题设f(x)在[1,]上连续,故f(x)在区间上有界,所以f(x)在区间(1,0)上有界,选(A).
(8)【答案】(D)
【详解】考查极限limg(x)是否存在,如果存在,是否等于g(0),通过换元u-,
x0x
可将极限limg(x)转化为limf(x).
因为
limg(x)
limf
x
(-)u
x
1
limf(u)=a,又g(0)xu
x0x
所以,当a0时,limg(x)g(0),即g(x)在点x0处连续,x0
当a0时,limg(x)
x0
g(0),即x0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x0
处的连续性与a的取值有关,故选(D).
(9)【答案】C
【详解】由于是选择题,可以用图形法解决,也可用分析法讨论•
2
方法1:
由于是选择题,可以用图形法解决,令(x)x(x1),则(x)x-丄,是
24
111
以直线x-为对称轴,顶点坐标为-,-,开口向上的一条抛物线,与x轴相交的
224
两点坐标为0,0,1,0,yf(x)I(x)|的图形如图.
点x0是极小值点;又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的,右侧邻近曲线是凸的,
所以点(0,0)是拐点,选C.
方法2:
写出y
f(x)的分段表达式:
f(x)
x(1x),1x0
x(1x),0x1
从而f(x)
12x,1x0
J
2,
1x0,
f(x)
12x,0x1
2,
0x1
limf(x)lim12x10,所以0x1时,f(x)单调增,
x0x0
limf(x)lim12x10,所以1x0时,f(x)单调减,
x0x0
所以x0为极小值点.
当1x0时,f(x)20,f(x)为凹函数;当1x0时,f(x)20,
f(x)为凸函数,于是(0,0)为拐点.
(10)【答案】(B)
【详解】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
①是错误的,如令un
(1)n,limun0,所以un发散,而n1
(u2n1u2n)1111L收敛.
n1
②是正确的,因为级数un1000比级数un少了前1000项,改变、增加或减少级数
n1n1
的有限项,不改变级数的敛散性,所以这两个级数同敛散.
④是错误的,如令un
1
vnn
1
—,显然,un,
nn1n
vn都发散,
1
L收敛.故选(B).
(11)【答案】(D)
【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,或应用举例法找出错误选
项.
方法1:
举例说明(D)是错误的.例:
f(x)4X2,1x1,
f
(1)2xx120,f
(1)2xx120•但在[1,1]上f(x)30.
方法2:
证明(A)、(B)、(C)正确.
由已知f(x)在[a,b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则由介值定理,至少存在一点
x0(a,b),使得f(x0)0,所以选项(C)正确;
另外,由导数的定义f(a)limf(x)f(a)0,根据极限的保号性,至少存在
xaxa
一点x0(a,b)使得f(x°)0,即f(x0)f(a),所以选项(A)正确.
Xoa
同理,f(b)limf(b)f(x)0,根据极限的保号性,至少存在一点X。
(a,b)使
Xbbx
得f(xo)f(b).所以选项(B)正确,故选(D).
(12)【答案】(D)
【详解】
方法1:
矩阵等价的充分必要条件:
矩阵A与B等价A,B是同型矩阵且有相同的秩,故由A与B等价,知A与B有相同的秩•
因此,当|A|0时,r(A)n,则有r(B)n,即|B|0,故选(D).
方法2:
矩阵等价的充分必要条件:
A与B等价存在可逆P,Q,使得PAQB.两边取
行列式,由矩阵乘积的行列式等于行列式的积,得PAQ|P||A|Q|B.P,Q可逆,
由矩阵A可逆的充分必要条件:
A0,故|P0Q0,但不知具体数值.由P||A|Q|B,知|A0时,|B不能确定.但A0有B0.故应选(D).
方法3:
由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有:
(1)A中某两行(列)互换得B,则B|A.
(2)A中某行(列)乘k(k0)得B,则|B|kA.
⑶A中某行倍加到另一行得B,则|BA.
又由A与B等价,由矩阵等价的定义:
矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称A与B等价,知|BkA.
故当A0时,BkA0,虽仍不等于0,但数值大、小、正负要改变,但|A|0,
0,故有结论:
初等变换后,矩阵的行列式的值要改变,但不改变行列式值的非
零性,即若|A|0B0,若A0B0.故应选(D).
(13)【答案】(B)
【详解】由定理:
若x「X2是Axb的解,则人x是对应齐次方程组Ax0的解,及i2,得i20是Ax0的解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件,知r(A)n.A*0,由
伴随矩阵的定义,知A中至少有一个代数余子式州0,即A中有n1子式不为零,由
秩(A)r的充要条件是A的非零子式的最高阶为r,故r(A)n1再由上面的r(A)n,得r(A)n1,故基础解系所含向量个数为n(n1)1,故选(B).
(14)【答案】(C)
【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性,对任何x0有
1PXxPXx—PXx.或直接利用图形求解.
2
即有
P{X
x}
,可见根据分位点的定义有x
u.,故应选(C).
2
方法1:
由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{Xu},于是
方法2:
图一
如图一所示题设条件•图二显示中间阴影部分面积
,P{Xx}.两端各余面积
,所以P{X
,答案应选(C).
三、解答题
(15)【详解】求
型极限的首要步骤是通分,或者同乘、除以某一式以化简
2x
lim
-sin4x
2
4x3
mo
HX
cos4x..2sin2x等2(2x)4
2lim2lim厂
6xx06xsin2x:
2xx06x3
(16)【详解】利用对称性与极坐标计算•
方法1:
令D1{(x,y)|x2
4},
D2{(x,y)|(x1)2
y21},根据二重积分的极坐标变
」1
},则:
x2
D-
y2d化为极坐标:
D1
{(x,y)|x2y24}{(x,y)|0
0r2}
所以
x2y2d
D-
iTCOs2
0
r2sin2rdr
x2y2d化为极坐标:
D2
D2
{(x,y)|(x1)2
-{(xy)q
r2cos}
所以x2y2d
D2
3
Td
2
2遇.—耳孑rdr
3
Jd
2
2cos2
r2dr
所以x2y2dx2
DDi
y2d.x2y2d
D2
区域D关于x轴对称,yd
D
中被积函数y为y的奇函数,根据区域对称性与被积
函数的奇偶性:
设f
x,y在有界闭区域D上连续,
若D关于x轴对称,fx,y对y为
奇函数,贝Ufx,y
D
d0,所以yd0
D
所以
C、X2
D
y)d、x2
D
y2d
yd
D
2).
方法
2:
(.x
D
y2y)d
y2d
yd
D
2
D上半
y2d
(17)
所以
所以
从而
16
3
16.
sin
3
-3
sin
3
16(3
2).
【详解】令
G(x)
G(a)
F(x)
f(x)g(x),
x
F(t)dt
a
a
F(t)dt
0,
G(x)
因为已知
x
f(t)dt
a
x
g(t)dt,
a
x
f(t)
a
g(t)dt
x
f(t)dt
a
x
g(t)dt0,x
a
[a,b]
b
af(t)dt
b
ag(t)dt,
a
G(b)
F(t)dt
a
b
a®
dt
b
af(t)dt
b
agtdt
b
xF(x)dxG(x)
a:
F(x)
b
xdG(x)
a
分部积分
xG(x)
b
G(x)dx
a
b
GaGb0G(x)dx,
由于G(x)0,x[a,b],故有
b
G(x)dx
a
0,
b
即xF(x)dx0
a
也即是
b
xf(x)a
bb
g(x)dxxf(x)dxxg(x)dx0
aa
b
b
因此
xf(x)dx
a
axg(x)dx.
(18)
【详解】(I)由于需求量对价格的弹性Ed>0,所以
(II)由RPQ,得
要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加,即收益为价格的减函数,兰0,即
dPP
证Q(1Ed)0Ed1,换算成P为—1,解之得:
P10,又已知P(0,20),所
20P
以20P10,此时收益随价格降低反而增加.
(19)
(I)
S(x)
x4
x6
x8
易见S(0)0,
【详解】对S(x)进行求导,可得到S(x)所满足的一阶微分方程,解方程可得S(x)的表达式.
因此S(x)满足下述一阶线性微分方程及相应的初始条件:
x2
S(x)xS(x)],S(0)0.
2
S(x)xS(x)
x
y,S(0)
3
x3
(II)S(x)xS(x)T为一阶线性非齐次微分方程,其对应的线性齐次微分方程为:
S(x)xS(x)0,
由初始条件S(0)0,得C1.
故S(x)
eT
2
x
1.
2
x2
(20)
1x12x23X3
[详解】B可否由a,a,a线性表示的问题可以转化为线性方程组
否有解的问题.
因此,设可有数X1,X2,X3,使得1X12X23X3.(*)
记A(a,a,a).对矩阵(A,B施以初等行变换,有
11
2行uuS+U行0a
00
(I)当a0时,b是任意数时,有
1111
(A,)00b1.
00b0
可知,r(A)r(代卩).由非齐次线性方程组有解的充要条件:
系数矩阵的秩等于增广矩阵
的秩,知方程组(*)无解,B不能由a,a,a线性表示.
(II)当a0,且ab时,由
可知,r(A)r(代卩)3,由非齐次线性方程组有解得充要条件:
系数矩阵的秩等于增广矩
(1)有唯一解
阵的秩,方程组(*)有解,由定理:
设A是mn矩阵,方程组Axb,则,
r(A)1r(A)
r(A)r(A)n;⑵有无穷多解r(A)r(A)n(3)无解:
可知方程组(*)有唯一解•由同解阶梯形方程求解,得:
11
X11,X2,X30.
aa
11
此时B可由a,a,a唯一地线性表示,其表示式为卩(1—)a—a2.
aa
(III)
1
1
11
1
1
(A)0
a
a1
UUuma0
1
0
0
00
0
0
11
1
0
0
1丄
1丄
a
Ulu2行
0
1
1
1
—?
a
a
00
0
0
0
0
当a0,ab0时,对矩阵(A,B)施以
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