高中数学函数练习题.docx
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高中数学函数练习题.docx
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高中数学函数练习题
1、设函数f(x)=
-
,
(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)证明函数f(x)在(-∞,+∞)内是增函数;
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域.
2、已知函数f(x)=2x,g(x)=
.
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
3、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2012).
4、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2012).
5、定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0.
(1)求f
(1)和f(-1)的值;
(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(3)若x≥0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合.
6、定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y),f
(1)=2.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:
对任意x∈R,都有f(x)>0;
(3)解不等式f(3-x2)>4.
7、已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足f
(2)=1.
(1)求f
(1)、f(4)的值;
(2)求满足f(x)-f(x-3)>1的x的取值范围.
8、设函数是定义在R上的增函数,且f(x)≠0,对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
(1)求证:
f(x)>0;
(2)求证:
f(x1-x2)=
;
(3)若f
(1)=2,解不等式f(3x)>4f(x).
9、若函数y=f(x)的定义域是(1,3),则f(3-x)的定义域是_______.
10、已知
是定义在R上的偶函数,
,
是定义在R上的奇函数,且
则
.
11、定义在实数集
上的偶函数
在
上是单调增函数,则不等式
的解集是_____________.
12、已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=
,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)=________.
13、已知定义在R上的函数
是偶函数,对
时,
的值为
A.2 B.-2 C.4 D.-4
14、已知二次函数f(x)=x2-ax+4,若f(x+1)是偶函数,则实数a的值为( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
15、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)
C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)
16、函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞,1]内递减,在(1,+∞)内递增,则a的值是( )
A.1 B.3
C.5 D.-1
17、设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f
(1)=
,f(x+2)=f(x)+f
(2),则f(5)=( )
A.0 B.1
C.
D.5
18、函数
的单调递减区间为 ( )
A.
B.
C.
D.
19、若函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x-1,则当x<0时,有( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)f(-x)≤0 D.f(x)-f(-x)>0
1、
(1)由题意,得x∈R,即函数的定义域关于原点对称,
f(-x)=
-
=
-
=
=-
+
=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)∵函数f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,
∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数,
∴f(x)min=f
(1)=
,
f(x)max=f
(2)=
,
∴函数f(x)在[1,2]上的值域为[
,
].
2、解:
(1)g(x)=
+2=(
)|x|+2,
因为|x|≥0,所以0<(
)|x|≤1,即2 故g(x)的值域是(2,3]. (2)由f(x)-g(x)=0得2x- -2=0, 当x≤0时,显然不满足方程, 即只有x>0时,满足2x- -2=0, 整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2, 故2x=1± , 因为2x>0,所以2x=1+ ,即x=log2(1+ ). 3、解: (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4) =x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f (2)=0, f (1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f (1)+f (2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(2012)=0. ∴f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2012)=0. 4、解: (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4) =x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f (2)=0, f (1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f (1)+f (2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(2012)=0. ∴f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2012)=0. 5、解: (1)令x=y=1,得f (1)=f (1)+f (1). ∴f (1)=0. 令x=y=-1,得f (1)=f(-1)+f(-1). ∴f(-1)=0. (2)令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得 f(-x)=f(x)+f(-1). 又f(-1)=0,∴f(-x)=f(x), 又f(x)不恒为0,∴f(x)为偶函数. (3)由f(x+1)-f(2-x)≤0,知f(x+1)≤f(2-x). 又由 (2)知f(x)=f(|x|), ∴f(|x+1|)≤f(|2-x|). 又∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴|x+1|≤|2-x|. 故x的取值集合为 . 6、 [解析] (1)解: 对任意x,y∈R, f(x+y)=f(x)·f(y). 令x=y=0,得f(0)=f(0)·f(0), 即f(0)·[f(0)-1]=0. 令y=0,得f(x)=f(x)·f(0),对任意x∈R成立, 所以f(0)≠0,因此f(0)=1. (2)证明: 对任意x∈R, 有f(x)=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2≥0. 假设存在x0∈R,使f(x0)=0, 则对任意x>0,有 f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x-x0)·f(x0)=0. 这与已知x>0时,f(x)>1矛盾. 所以,对任意x∈R,均有f(x)>0成立. (3)解: 令x=y=1有 f(1+1)=f (1)·f (1), 所以f (2)=2×2=4. 任取x1,x2∈R,且x1 则f(x2)-f(x1) =f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)·f(x1)-f(x1) =f(x1)·[f(x2-x1)-1]. ∵x1 由已知f(x2-x1)>1, ∴f(x2-x1)-1>0. 由 (2)知x1∈R,f(x1)>0. 所以f(x2)-f(x1)>0, 即f(x1) 故函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 由f(3-x2)>4,得f(3-x2)>f (2), 即3-x2>2. 解得-1 所以,不等式的解集是(-1,1). 7、解: (1)令x=y=1,则f (1)=2f (1),∴f (1)=0. f(4)=f(2×2)=f (2)+f (2),而f (2)=1. ∴f(4)=2×1=2. (2)由f(x)-f(x-3)>1,得f(x)>f(x-3)+1, 而f(x-3)+1=f(x-3)+f (2)=f(2(x-3)), ∴f(x)>f(2(x-3)). ∵函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数. ∴ 解之得3 ∴x的取值范围是(3,6). 8、解: (1)证明: 令x1=x2= , 则f(t)=f( )·f( )=[f( )]2. ∵f( )≠0,∴f(t)>0,即f(x)>0. (2)证明: ∵f(x1)=f(x1-x2+x2) =f(x1-x2)·f(x2). ∵f(x)≠0,∴f(x1-x2)= . (3)∵f (1)=2,∴2f(x)=f (1)·f(x)=f(1+x),4f(x)=2·2f(x)=f (1)·f(x+1)=f(x+2), 则f(3x)>4f(x)即f(3x)>f(2+x). ∵f(x)是定义在R上的增函数. ∴3x>2+x,∴x>1. 故不等式f(3x)>4f(x)的解集为(1,+∞). 二、填空题 9、 (-1,0) [解析] 因为函数y=f(x)定义域是(1,3),所以要使函数y=f(3-x)有意义,应有1<3-x<3,即1<( )x<3,又因为指数函数y=( )x在R上单调递减,且( )0=1,( )-1=3,所以-1 10、1 11、 12、解析: 由f(x+2)=- ,得f(x+4)=- =f(x),那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5). 而1≤x≤2时,f(x)=x-2,∴f(1.5)=-0.5. 由上知: f(6.5)=-0.5. 答案: -0.5 三、选择题 13、B 14、解析: 由题意f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4=x2+(2-a)x+5-a为偶函数,所以2-a=0,a=2. 答案: D 15、解析: ∵f(x-4)=-f(x),∴T=8. 又f(x)是奇函数,∴f(0)=0. ∵f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)>0, ∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0. 又x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数. 同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)<0.如图. ∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0,∴f(-25)<f(80)<f(11). 答案: D 16、解析: 依题意可得对称轴x= =1,∴a=5. 答案: C 17、 [答案] C [解析] f (1)=f(-1+2)=f(-1)+f (2)= ,又f(-1)=-f (1)=- ,∴f (2)=1, ∴f(5)=f(3)+f (2)=f (1)+2f (2)= . 18、D 19、解析: f(x)为奇函数,当x<0,-x>0时, f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1, f(x)·f(-x)=-(x+1)2≤0. 答案: C
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