运筹学-第9章——排队论.doc

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第9章排队论

第9章排队论

（Queueingtheory）

在生产实际中和日常生活中，存在着各种各样的“服务”，往往由于拥挤而出现排队现象.排队论是专门研究排队现象的一门学科,由于排队现象往往是随机现象，故排队论也称作随机服务系统理论..

9.1排队论概述

本节将介绍排队系统的基本结构和生灭过程的知识，因为它是排队论中的一个最重要的理论基础.

在排队论中，把需求服务的对象统称为顾客，提供服务的机构统称为服务台.顾客与服务台及服务规则构成一个排队系统.顾客以不同方式，根据排队规则到达服务台后，服务台根据其服务规则进行服务.

一个排队系统是由输入过程、排队规则及服务机构.三个基本部分构成的.

9.1.1输入过程

输入过程就是指顾客到达排队系统的规律.它首先应包括顾客总体数,是有限的还是无限的,其次是顾客到达的方式是成批的还是单个的以及顾客相继到达的时间间隔的分布.常见的情况有：

（1）定长输入

顾客很有规律地到达，每隔时间就到达一位顾客.例如自动生产线上的装配件就是这样.此时第n位顾客与上一位顾客的到达时间间隔Tn服从分布：

（9-1）

（2）泊松（Poisson）输入

通常把随机时刻出现的事件组成的序列称为随机事件流，例如用N（t）表示时间内要求服务的顾客数就是一个随机事件流.如果一个随机事件流满足下面三个条件就称为泊松流或最简单流.

1）平稳性.以任何时刻s为起点，时间段出现的事件数只与时间长度t有关，而与起点s无关.若用N（t）表示时间内出现的事件数，表示事件“N（t）=k”发生的概率，则

2）无后效性.在时间内出现的k个事件与以前出现的事件数无关.它表明在互不相交的时间区间内发生的事件是相互独立的.

3）普通性.在充分短的时间内，几乎不可能发生多于一个的事件.即发生两个或更多个事件的概率是比高阶的无穷小.即

在上述三个条件下,可以推出

（9-2）

（9-2）就是泊松流（最简单流）的分布.

最简单流与负指数分布有着密切的关系.在排队系统中，有如下结论：

是服从（9-2）的泊松流等价于{Tn}相互独立并且服从参数为λ的负指数分布.

其中，N（t）表示在内到达系统的顾客数，Tn表示第n位顾客与上一位顾客的到达时间间隔.

最简单流在现实生活中常遇到,如车站候车的乘客数、上下班高峰过后通过路口的车流、人流等都是或近似最简单流.多个独立的最简单流的叠加仍是最简单流.

（3）爱尔朗（Erlang）输入

由k个相互独立且均服从参数为λ的负指数分布的随机变量之和组成的随机变量所服从的分布为k阶爱尔朗（Erlang）分布，其密度为

分布函数为

数学期望与方差分别为.

例如，在排队系统中，有k个并列的服务台，顾客到达系统的时间间隔服从参数为λ的负指数分布，若规定第个顾客进入第i服务台（i=1,2,…,k）,则各服务台从第二个顾客始获得的输入为k阶爱尔朗分布.

9.1.2排队规则

排队规则是指顾客接受服务的规则，通常有损失制、等待制和混合制.

（1）损失制

当一个顾客到达时，若没有空的服务台，则不等待而立即离去.例如电话占线.

（2）等待制

当顾客到达时，没有空的服务台，就排队等待服务.如排队购车票.在等待制中，服务次序有先到先服务（FCFS）、后到先服务（LCFS）、随机服务（RSS）、有优先权服务（PR）等方式.

（3）混合制

损失制与等待制的混合.系统容量有限，当等待的顾客数太多时，后来的顾客就自动离去.

9.1.3服务机构

服务机构包括：

服务台数，服务台的串、并联方式，服务时间分布.

以下是几种常见的服务时间分布

（1）定长分布

每位顾客的服务时间均为常数T，其分布函数为

（2）负指数分布

每位顾客的服务时间相互独立，且都服从参数为μ的负指数分布.其分布函数为

（3）爱尔朗分布

每位顾客的服务时间相互独立，均服从相同参数μ的k阶爱尔朗分布.

9.1.4生灭过程及其稳态概率

（1）生灭过程

生灭过程是排队论中常用到的一类随机过程.

设为一随机过程，N（t）的取值集为有限集I={0,1,2,…,m}或无限集I={0,1,2,3,…}称为状态集，若经过长度为的一小段时间后满足下列特性，则称为生灭过程：

1）

2）

3）

某一地区的人口的自然增减、细菌的繁殖与死亡、排队系统的顾客数量的变化都可视作一个生灭过程.

若N（t）表示时刻t某生物群体的个数，在充分短的时间里，忽略高阶无穷小后，则该群体个数j的状态转移只有三种可能：

状态转移

概率

1

j→j+1（增一个）

λjΔt

2

j→j-1（减一个）

μjΔt

3

j→j（不变）

1-（λj+μj）Δt

λj和μj称为转移强度.

若N（t）表示时刻t的某排队系统内顾客数，若“生”表示到达一个顾客，“灭”表示离去一个顾客，则N（t）可视作一个生灭过程.从而可近似认为，在充分短的时间里，该系统内的顾客数要么不变，要么增一个或减一个.

（2）瞬时概率与稳态概率

一般地，对于生灭过程{N（t）,t>0}，设时刻t处于状态j的概率为

，

现在来探讨的此概率分布应满足什么条件.

设Aj={时刻t系统处于状态j}，Bj={时刻系统处于状态j}，

A={时刻t系统处于除状态j-1、j、j+1之外的状态}，

则Bj可以分解为四个互不相容的事件之和

由全概率公式得

而

从而当j>0时

当j=0时

进一步得

令得

，（9-3）

（9-3）的解称为生灭过程的瞬时概率，但这是一个差分微分方程组，一般很难解.

假设极限存在

在（9-3）中令得线性方程组

故

从而

（9-4）

记

则

对于概率分布，要求，从而得.综合得

，,（j>1）,（9-5）

当I是无穷集时，要求收敛.这时按（9-5）计算得的概率称为生灭过程的稳态概率，或统计平衡概率.

当N（t）表示时刻t排队系统内的顾客数时，pj就是该系统统计平衡时有j个顾客的概率.对大多数实际问题.t较大时，可以认为系统近似于统计平衡状态.

9.1.5排队系统的主要参数及记号

（1）概念与参数

队长——排队系统中全部顾客数（包括正在接受服务和等待的顾客）

等待队长——系统中等待服务的顾客数

逗留时间——顾客从到达系统至离开系统的时间

等待时间——顾客从到达系统至开始接受服务的时间

以上几个指标都是随机变量,以下说的“平均”都是指数学期望.

λ——单位时间内平均到达顾客数（称平均到达率）

1/λ——顾客平均到达时间间隔

μ——每个服务台单位时间内接受服务的顾客平均数（称单服务台平均服务率）

1/μ——每位顾客平均服务时间

S——服务台数

——排队系统的服务强度，或系统的平均利用率,该指标描述服务台的繁忙程度.

pj——在统计平衡时，系统中有j个顾客的概率，称为队长分布

L——平均队长

Lq——平均等待队长

W——平均逗留时间

Wq——平均等待时间

λe——单位时间内进入系统平均顾客数（称平均有效到达率）

在损失制和混合制系统中，到达的顾客不一定进入系统，我们把进入称为有效到达，一般地，（在等待制中，在损失制和混合制中）.

（2）排队模型的主要特性及其记号

一个排队模型包含6个主要特征：

①输入过程顾客到达时间间隔的分布

②顾客服务时间的分布

③服务台个数（多个服务台时，假设服务台是并联的，每次每个服务台只对一个顾客服务）

④系统容量

⑤顾客源数目

⑥排队规则

常用记号：

M：

负指数分布，或最简单流（Markov）

D：

定长分布（Deterministic）

Ek：

k阶Erlang分布

G：

一般独立分布（General），

FCFS：

先到先服务，

LCFS：

后到先服务

通常描述一个排队模型的类别可写出其六个主要特征，并用“/”分隔，如：

①/②/③/④/⑤/⑥

在这里只讨论先到先服务的问题，故省去⑥，当④=∞或⑤=∞时也可省略.

例如，M/M/1即表示M/M/1/∞/∞/FCFS，M/M/1/1表示M/M/1/1/∞/FCFS,一般若系统满足③=④<⑤,则属于损失制.

常见的排队系统，在达到统计平衡时，指标满足以下关系

，（9-6）

（9-6）式称为李特尔（Little）公式.

9.2常见排队模型

9.2.1M/M/S排队模型

此时假定排队系统容量无限，客源也无限，属等待制.S个服务台并联排列，各自独立地为每个顾客服务.如图9-1所示.

设顾客到达时间间隔{Tn}为参数是ë的负指数分布，服务时间{τn}为参数是μ的负指数分布.

...|4|3|2|1

1

2

…

s

进入

顾客

离去

服务台

图9-1

用N（t）表示在时刻t系统内的顾客数，则可以证明如下结论：

（1）是一个生灭过程.在忽略的情况下，在时间内，有一位顾客达到系统的概率为，系统内一个顾客得到服务后离去的概率为，因现在有S个服务台，故当系统内顾客数时，这j个顾客同时得到服务，故系统的平均服务率为，当系统内顾客数时，系统内只能有S个顾客同时得到服务，故系统的平均服务率为，故转移强度

λj=λ，j=0,1,2,…

（2）

，其中,（9-7）

故当ρ<1时，收敛.从而由（9-5）有稳态概率.

（9-8）

（9-9）

（3）平均队长

（9-10）

平均等待队长

（9-11）

利用Little公式得：

（此时是等待制λe=λ）

平均逗留时间

（9-12）

平均等待时间

（9-13）

可见还有关系：

（9-14）

其中，λ/μ为正在接受服务的顾客平均数，1/μ为每位顾客平均服务时间.

（4）特别当S=1时，

，，（9-15）

（9-16）

（9-17）

（9-18）

（9-19）

（5）当S=2时，

，，（9-20）

（9-21）

（9-22）

（9-23）

（9-24）

在使用以上公式时，要注意统一各参数的时间单位.同时，要求ρ<1,才保证稳态概率存在.

例9-1调查某天到达某邮局的顾客数和对顾客服务时间.以每5min为一个时段,统计了100个时段中顾客到达的情况如下

到达人数

0

1

2

3

4

5

6

时段数

14

27

27

18

9

4

1

以及对100位顾客的服务时间如下表，其中第一行为服务时间（单位：

s）,第三行为顾客数.

t

0~12

13~24

25~36

37~48

49~60

61~72

73~84

85~96

97~108

109~120

121~150

151~180

181~200

中值

6

18