奥林匹克数学竞赛试题1.docx
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奥林匹克数学竞赛试题1
奥林匹克数学竞赛试题(几何部分)
MathematicsOlympictest
(geometricpart)
1.已知在梯形ABCD中,AD//BC,/B=40°,ZC=50,点E,F,M,N
分别为四条边的中点,求证:
BC二EF+MN【简单】
AMd
2.已知在平行四边形ABC冲,对角线AC与BD相交于点QP为平行四边形ABCD外一点,且/APCMBPD=90,求证:
平行四边形
ABCD为矩形.【简单】
3.已知在三角形ABC中,AB二ACCDLAB于D,P为BC上一点,PELAB于E,PFLAC于F.求证:
PE+PF二CD【简单】
4.已知在等腰三角形ABC中,AB=ACCDLAB,AHLFH,EFLAB,求
证:
EF二CD+FH【简单】
5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形,连结AD,延
长CE交AD与F,求证:
CFLAD.【简单】
A
6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结
连结CE交AB于G,连结FG求证:
FG//CD.【简单】
AD交BE于F,
7.已知三角形ABC为正三角形,内取一点P,向三边作垂线,交AB
于D,BC于E,AC于F,求证:
PD+PE+PF三角形的高.【简单】
8.已知三角形ABC为正三角形,AD为高,取三角形外一点P,向三边
(或边的延长线)作垂线,交AB的延长线AE于M交AC的延长线
AF于N,交BC于Q,求证:
PM+PN-PQ=A【中等】
A
9.已知在矩形ABC冲,对角线AC,BD相交于QDE平分/ADC交AC
于F,若/BDE=15,求/CQE的度数.【中等】
10.已知三角形ABC是直角三角形,/BAC=90,ADLBQAE平分
/CADBF平分/ABQ交AD于G交AE于H,连结EG,求证:
EG/AC
【中等】
A
G
E
11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AE,CD取AE的中点N,取CD的中点M连结BM,BN,MN求证:
三角形BMN是等边三角形•【中等】
12.已知在正方形ABCD中,作对角线AC的平行线EG作BC=CH连
结BE延长HG交BE于F,连结CF,求证:
BC=CF.【中等】
13.已知在直角梯形ABCD中,AD//BCAD=3BC=5将腰CD绕点D
逆时针旋转90°至DE连结AE求三角形ADE的面积.【中等】
14.已知在任意四边形ABCD中,AB二CDP,Q,R分别为AD,BC,BD的中
点,/ABD=25,/BDC=65,求/PQR的度数.【中等】
15.已知在梯形ABC冲,AD//BCE为AB的中点,求证:
S三角形
CDES三角形ADES三角形BCE.【较难】
an
16.已知矩形ABCD在CD的延长线上取一点E,在BC的延长线上取
一点F,使得/DAE=/DAF,AF和CD交于G,求证:
S矩形ABCdS三
角形AEF.【较难】
17.已知在等腰直角三角形ABC中,/BAC=90,AD=AEAF丄BE交
BC于F,过F作FGLCD交BE的延长线于G,求证:
BG=AF+FG.
【很难】【提示:
过C点作AC的垂线,延长AF,交垂线于H.】
A
18.
已知在正九边形ABCDEFGH中,连结AEAE=1,求AH+AI的长.
【很难】【提示:
延长AH使HK二HG连结KG.】
/CPD=135•【超难】【提示:
过C作PC的垂线CP,使CP=CP.]
19.已知正方形ABCD^有一点
P,且PBPCPD=32:
1,求证:
20.已知在任意四边形ABCD中,点E,F分别将AD,BC分成mn两部
分,AF和BE交于P,CE和DF交于Q求证:
S四边形EPFQS三角形CDQS三角形ABP.【超难】
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