正方形的性质与判定专题练习.docx

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正方形的性质与判定专题练习

.选择题（共11小题）

1.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中,

B.四个角都相等的四边形一定是正方形

C.平行四边形的对角线互相平分

原点，A的坐标为（1,嶺），则点C的坐标为（

D.矩形的对角线一定垂直

5-

2.）如图，点

3

E在正方形

/;尸

ABCD的对角

O

1女

线AC上，且

EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边

EF、EG分别交

BC、DC于点

M、N.若正方形ABCD

的边长为a,则重

叠部分四边形

EMCN的面积为（

C.

3.如图，F是正方形

ABCD的边CD上的一个动点，BF

的垂直平分线交对角线

AC于点E,连接BE,FE,则/EBF

的度数是（

）

O

B.50

A.45°

4.平行四边形、矩形、

菱形、正方形都具有的是（

A.对角线互相平分

对角线互相垂直

C.对角线相等

5.正方形的一条对角线长为

则这个正方形的面积是

（）A.8

6.

（2014?

福州）如图，在正方形

ABCD的外侧，作等边三

角形ADE,AC、BE相交于点

F，贝U/BFC为（

45°

B.55°

C.60°

D.75

7.

顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（

等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形

8.

F列说法中，正确的是（

9.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC,

②/ABC=90°③AC=BD,④AC丄BD四个条件中,

选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形,

现有下列四种选法，其中错误的是（

A.选①②B.选②③

10.如图，在正方形ABCD

那么/ANM等于（

11.如图，菱形ABCD

为边长的正方形ACEF

B.16

C.选①③D.选②④

中，CE=MN,/MCE=35°

中,

C.55°

/B=60

的面积为（

C.20

60°

AB=5,

则以AC

25

二.填空题（共5小题）

12.如图，在正方形ABCD的外侧,

作等边三角形ADE,

度.

贝U/AEB=

对角线互相垂直且相等

E

13.如图，已知P是正方形

ABCD对角线BD上一点,

且BP=BC，贝U/ACP度数是

度.

14.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角

形.AC为正方形ABCD的对角线，则/EAC=

度.

15.已知：

如图，菱形

ABCD中，/B=60°AB=4，则

以AC为边长的正方形

ACEF的周长为

20.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,

16•如图所示，正方形

ABCD的周长为16cm,顺次连接

正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形

EFGH的周长等于

cm,四边形EFGH的面

积等于

cm.

£__口

三.解答题（共6小题）

17.如图，正方形ABCD中,

E、F分别为BC、CD上的

点，且AE丄BF，垂足为点G.求证：

AE=BF.

18.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,

连接BP、DP,延长BC至UE，使PB=PE.求证:

连DE，BH，两线交于M.求证：

（1）BH=DE.

（2）BH丄DE.

21.已知：

如图，？

ABCD中，0是CD的中点，连接AO

并延长，交BC的延长线于点E.

（1）求证:

△AOD◎△EOC;

（2）连接AC,DE，当/B=/AEB=_

。

时，四边形ACED是正方形？

请说明理由.

22.（2014?

随州）已知：

如图，在矩形ABCD中，M、N

分别是边AD、BC

的中点.

（1）求证:

（2）填空：

当AB:

是正方形.

的中点，E、F分别是线段BM、CM

△ABMDCM;

AD=

时，四边形MENF

B

1.（2014?

南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1,£j），则点C的坐标为（）

•••点C的坐标为（-.「；，1）.

故选：

A.

点本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性

评：

质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是

解题的关键，也是本题的难点.

考全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形点：

的性质.

专几何图形问题.

题：

分过点A作AD丄x轴于D，过点C作CE丄x轴于E,

析：

根据同角的余角相等求出/OAD=/COE，再利用角角边”证明△AOD和厶OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD,CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可.

解解：

如图，过点A作AD丄x轴于D，过点C作CE丄x答：

轴于E,

•/四边形OABC是正方形，

•OA=OC,/AOC=90°

•/COE+/AOD=90°

又•//OAD+/AOD=90°

•/OAD=/COE,

在厶AOD和厶OCE中，

rZ0AD=ZC0E

«ZADO=ZOEC=90°,

b0A=0C

•△AOD◎△OCE（AAS）,

2.（2014?

山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线

AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、

EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长

为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

A22B|1|2C52D42

•—aB.—aC.—aD•—a

349^

考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

占：

八、、♦

专几何图形问题.

题：

分作EP丄BC于点P,EQ丄CD于点Q,

析：

△EPM◎△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解.

解解：

作EP丄BC于点P,EQ丄CD于点Q,

答:

•OE=AD=-・，CE=OD=1,

E

△EPM◎△EQN.

3.（2014?

台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的

一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接

BE,FE,则/EBF的度数是（）

•••四边形ABCD是正方形,

•••/BCD=90°

又•//EPM=/EQN=90°

•/PEQ=90°

•/PEM+/MEQ=90°

•••三角形FEG是直角三角形，

•/NEF=/NEQ+/MEQ=90°

•/PEM=/NEQ,

•/AC是/BCD的角平分线，/EPC=/EQC=90°

•EP=EN，四边形MCQE是正方形，

在厶EPM和厶EQN中，

fZPEM=ZNEQ

，

IZEFM=ZEQN

•△EPM△EQN（ASA）•Saeqn=Saepm,

A.45°B.50°C.60°D.不确定

考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

占：

八、、♦

专几何图形问题.

题：

分过E作HI//BC,分别交AB、CD于点H、丨，证明

析：

Rt△BHE也Rt△EIF，可得/IEF+/HEB=90°再根据BE=EF即可解题.

解解：

如图所示，过E作HI//BC,分别交AB、CD于

答：

点H、I，则/BHE=/EIF=90°,

a，

•四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积,

•••正方形ABCD的边长为a,

•AC=.'：

a,

•/EC=2AE,

EC=

A

D

I

H

v

■■■■■・■IM!

■

B

F

C

•EP=PC=^a,

•正方形

•四边形

MCQE

EMCN

的面积=

的面积

故选：

D.

：

~a，

点本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定

评：

及性质，解题的关键是作出辅助线，证出

•/E是BF的垂直平分线EM上的点，

•EF=EB,

•••E是/BCD角平分线上一点，

•E到BC和CD的距离相等，即BH=EI,

Rt△BHE和Rt△EIF中，

fBF=EB

二DE'

•Rt△BHE也Rt△EIF（HL）,

D.16

•••/HBE=/IEF,

•//HBE+/HEB=90°

•/IEF+/HEB=90°

•/BEF=90°

•/BE=EF,

•/EBF=/EFB=45°故选：

A.

点本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考

评：

查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等

的性质.

4.（2014?

郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等

考正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩点：

形的性质.

专证明题.

题：

分本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具

析：

有对角线相互平分的性质来判断.

解解：

A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正答：

方形都具有的性质；

B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；

C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；

D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质.

故选：

A.

点本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性

评：

质定理.

5.（2014?

来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正

方形的面积是（）

考正方形的性质.

占：

八、、♦

分根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算析：

即可得解.

解解：

•••正方形的一条对角线长为4,

答：

•这个正方形的面积—MX4=8.

2

故选：

A.

点本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的评：

方法是解题的关键.

6.（2014?

福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边

三角形ADE,AC、BE相交于点F,贝U/BFC为（

A.45°B.55°C.60°D.75

考正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性

点：

质.

分根据正方形的性质及全等三角形的性质求出

析：

/ABE=15°/BAC=45°再求/BFC.

解解：

•/四边形ABCD是正方形，

答：

•AB=AD

又•/△ADE是等边三角形，

•AE=AD=DE,/DAE=60°

•AD=AE

•/ABE=/AEB,/BAE=90°60°150°

•/ABE=（180°-150°吃=15°

又•//BAC=45°

•/BFC=45°+15°=60°

故选：

c.

点本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，

评：

本题的关键是求出/ABE=15°

7.（2014?

来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边

形是（）

A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形考正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质.

占：

八、、♦

分根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得.

析：

解解：

•/E,F是中点，

答：

•••EH//BD,

同理，EF//AC,GH//AC,FG//BD,

•EH//FG,EF//GH,

则四边形EFGH是平行四边形.

又•/AC丄BD,

•EF丄EH,

•平行四边形EFGH是矩形.

评：

质以及三角形的中位线定理是解题的关键.

8（2014?

湘西州）下列说法中，正确的是（）

A.相等的角一定是对顶角

B.四个角都相等的四边形一定是正方形

C.平行四边形的对角线互相平分

D.矩形的对角线一定垂直

考正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；点：

矩形的性质.

分根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性析：

质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.

解解：

A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分

答：

线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；

B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正

方形，故本选项错误；

C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正

确；

D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选

项错误.

故选：

C.

点本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形评：

的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键.

9.（2014?

株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，再从

1AB=BC，②/ABC=90°③AC=BD，④AC丄BD四

个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD

是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）

A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④

考正方形的判定；平行四边形的性质.

占：

八、、♦

分要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.

析：

解解：

A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，

答：

由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以

平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符

合题意；

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由

③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由

3得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由

4得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意.

故选：

B.

点本题考查了正方形的判定方法：

评：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻

边相等；

2先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角

为直角.

3还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2

进行判定.

10.（2014?

红桥区三模）如图，在正方形ABCD中，

CE=MN,/MCE=35°那么/ANM等于（）

J亞

1>

E

8

C

A.45°B.50°C.55°D.60°

考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

占：

八、、♦

分过B作BF//MN交AD于F,则/AFB=/ANM,根

析：

据正方形的性质得出/A=/EBC=90°AB=BC,

AD//BC,推出四边形BFNM是平行四边形，得出

BF=MN=CE，证Rt△ABF也RtABCE，推出/AFB=/ECB即可.

解

答：

解：

过B作BF//MN交AD于F,

贝U/AFB=/ANM,

•••四边形ABCD是正方形，

•••/A=/EBC=90°AB=BC,AD//BC,

•••FN//BM,BE//MN,

•四边形BFNM是平行四边形，

•BF=MN,

•/CE=MN,

•CE=BF,

在Rt△ABF和Rt△BCE中

lAB-BC

•Rt△ABF也Rt△BCE（HL）,

•/AFB=/ECB=35°

•/ANM=/AFB=55°故选C.

点本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的

评：

性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力.

11.（2014?

四会市一模）如图，菱形ABCD中，/B=60°

AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（）

A.9B.16C.20D.25

考菱形的性质；正方形的性质.

占：

八、、♦

分据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到

析：

AC=AB，从而求出正方形ACEF的边长，进而可求

出其面积.

解解：

•/B=60°AB=BC,

答：

•••△ABC是等边三角形，

/•AC=AB=5,

•正方形ACEF的边长为5,

•正方形ACEF的面积为25,

故选D.

点本题考查菱形与正方形的性质，属于基础题，对于此

评：

类题意含有60。

角的题目一般要考虑等边三角形的应

用.

二•填空题（共5小题）

12.（2009?

江西模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，

作等边三角形ADE，则/AEB=15度.

考正方形的性质；等边三角形的性质.

占：

八、、♦

分由等边三角形的性质可得/DAE=60°进而可得

析：

/BAE=150°又因为AB=AE，结合等腰三角形的性质，易得/AEB的大小.

解解：

△ADE是等边三角形；故/DAE=60°

答：

/BAE=90°60°=150°,

又有AB=AE，

故/AEB=30。

吃=15°

故答案为15°

点主要考查了正方形基本性质：

①两组对边分别平行；

评：

四条边都相等；相邻边互相垂直；②四个角都是90°

③对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条

对角线平分一组对角.

13.（2008?

佛山）如图，已知P是正方形ABCD对角线

BD上一点，且BP=BC，贝U/ACP度数是22.5度.

丿

B

C

考正方形的性质.

点：

八、、♦

专计算题.

题：

分根据正方形的性质可得到/DBC=/BCA=45。

又知

析：

BP=BC，从而可求得/BCP的度数，从而就可求得

/ACP的度数.

解解：

•/ABCD是正方形，

答：

•/DBC=/BCA=45°

•/BP=BC，

•/BCP=/BPC气（180°-45°=67.5°

•/ACP度数是67.5°-45°22.5°

点此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平

评：

分每一组对角.

14.（2007?

吉林）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则/EAC=

105度.

考正方形的性质；等边三角形的性质.

占：

八、、♦

专计算题.

题：

分因为正方形的对角线互相平分，且每个内角是90°

析：

故/CAD=45°又因为等边三角形三个角相等，均为

60°所以

/DAE=60°/EAC=/CAD+/DAE=60°45°=105°.

解解：

•••△ADE为等边三角形，

答：

•••/EAD=60°

•••四边形ABCD为正方形，

•/DAC=45°

•/EAC=/EAD+/DAC=105°

故答案为：

105.

点解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方评：

形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方

形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和

准确率.

15.（2006?

昆明）已知：

如图，菱形ABCD中，/B=60°

考菱形的性质；正方形的性质.

占：

八、、♦

题：

分根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到

析：

AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可.

解解：

•/B=60°AB=BC

答：

•△ABC是等边三角形

•AC=AB=4

•正方形ACEF的周长=4>4=16.

16故答案为16.

点本题考查菱形与正方形的性质.

评：

16.（2005?

常州）如图所示，正方形ABCD的周长为16cm,顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长等于扳-cm，四边形EFGH的面积等于8cm.

考正方形的性质；三角形中位线定理.

占：

八、、♦

分根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据

析：

中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其周

长及面积.

解解：

正方形ABCD的周长为16cm,则它的边长为4,答：

对角线是4芒，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为血，所以四边形EFGH的周长等于鉅.由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于&

评：

算，中位线性质是本题的关键.

三.解答题（共6小题）

17.（2014?

泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为

BC、CD上的点，且AE丄BF，垂足为点G.

求证：

AE=BF.

点本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形

评：

的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角

形的判定与性质.

18.（2014?

广安）如图，在正方形ABCD中，P是对角线

AC上的一点，连接BP、DP,延长BC到E，使PB=PE.求证：

/PDC=/PEC.

考

全等三角形的判定与性质；

正方形的性质.

占：

八、、♦

专

证明题.

题:

分

根据正方形的性质，可得

/ABC与/C的关系，AB

析:

与BC的关系，根据两直线垂直，可得/AGB的度

数，根据直角三角形锐角的关系，可得/ABG与

/BAG的关系，根据同角的余角相等，可得/BAG与/CBF的关系，根据ASA，可得△ABE◎△BCF,根据全等三角形的性质，可得答案.

解证明：

•/正方形ABCD,

答：

•/ABC=/C,AB=BC.

•/AE丄BF,

•/AGB=/BAG+/ABG=90°

•//ABG+/CBF=90°

•/BAG=/CBF.

在厶ABE和厶BCF中，

rZBAE^ZCBF

ZABE=ZBCF

•△ABE◎△BCF（ASA）,

考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

占：

八、、♦

专证明题.

题：

分根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平

析：

分一组对角可得/BCP=/DCP，再利用边角边”证明△BCP和厶DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得/PDC=/PBC，再根据等边对等角可得

/PBC=/PEC，从而得证.

解证明：

在正方形ABCD中，BC=CD,/BCP=/DCP,答：

在厶BCP和厶DCP中，

[

BC=CB

ZBCP=ZDCP,

PC二PC

•△BCP◎△DCP（SAS）,

•/PDC=/PBC,

•/PB=PE,

•/PBC=/PEC,

•/PDC=/PEC.

点本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性

评：

质，等