数学物理方程复习1.docx
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数学物理方程复习1
数学物理方程复习
一.三类方程及定解问题
(一)方程
1.波动方程(双曲型)
Utt=a2Uxx+f;0
U(0,t)=Φ1(t);
U(L,t)=Φ2(t);
U(x,0)=Ψ1(x);
Ut(x,0)=Ψ2(x)。
2.热传导方程(抛物型)
Ut=a2Uxx+f;0
U(0,t)=Φ1(t);
U(L,t)=Φ2(t);
U(x,0)=Ψ1(x).
3.稳态方程(椭圆型)
Uxx+Uyy=f;0
U(0,x)=Φ1(x);
U(b,x)=Φ2(x);
U(y,0)=Ψ1(y);
Ut(y,a)=Ψ2(y)。
(二)解题的步骤
1.建立数学模型,写出方程及定解条件
2.解方程
3.解的实定性问题(检验)
(三)写方程的定解条件
1.微元法:
物理定理
2.定解条件:
初始条件及边界条件
(四)解方程的方法
1.分离变量法(有界区域内)
2.行波法(针对波动方程,无界区域内)
3.积分变换法(Fourier变换Laplace变换)
Fourier变换:
针对整个空间奇:
正弦变换偶:
余弦变换
Laplace变换:
针对半空间
4.Green函数及基本解法
5.Bessel函数及Legendre函数法
例一:
在弦的横震动问题中,若弦受到一与速度成正比的阻尼,试导出弦阻尼振动方程。
解:
建立如图所示的直角坐标系,设位移函数为U(x,t),取任意一小段△x进行受力分析,由题设,单位弦所受阻力为bUt(b为常数),在振动过程中有△x所受纵向力为:
(T2COSa2-T1COSa1)横向力为:
(T2SINa2-T1SINa1-bUt(x+n△x))(0 在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t),SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度) 即(T/ρ)[Ux(x+△x,t)-Ux(x,t)]/△x-(b/ρ)Ut(x+n△x,t) 即令△x0时有: Utt+aUt=a2Uxx 例二: 设扩散物质的源强(即单位时间内单位体积所产生的扩散物质)为F(x,y,z,t),试导出扩散方程。 解: 设U(x,y,z,t)为粒子的浓度(单位体积内的粒子数),在空间内画出一个立方体,体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。 由扩散定律知: 流入X方向的流粒子数为: [qx(x,t)-qx(x+△x,t)]△t△y△z, 流入Y方向的流粒子数为: [qY(y,t)-qY(y+△y,t)]△t△x△z, 流入Z方向的流粒子数为: [qz(z,t)-qz(z+△z,t)]△t△x△y. 而源强产生的粒子数为: F(x,y,z,t)△t△x△y△z. 由质量守恒定律为: [qx(x,t)-qx(x+△x,t)]△t△y△z+[qY(y,t)-qY(y+△y,t)]△t△x△z+[qz(z,t)-qz(z+△z,t)]△t△x△y+F(x,y,z,t)△t△x△y△z= [U(x,y,z,t+△t)-U(x,y,z,t)]△t△x△y△z. 令△t△x△y△z0时有: (@是求偏导) -@qx/@x-@qy/@y-@qz/@z+F(x,y,z,t)=Ut 由自由扩展定律得: @(D@u/@x)/@x+@(D@u/@y)/@y+@(D@u/@z)/@z+F=Ut 若扩散粒子是均匀的: Ut=a2△U. 二.线性偏微分方程 (一)二阶线性偏微分方程 LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f 1.主要部分: a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy 2.判别式△=a212-a11a22 △>0双曲线方程 △=0抛物型方程 △<0椭圆方程 3.特征方程 a11(-dy/dx)2-2a12(-dy/dx)+a22=0 特征根: dy/dx=(a12±△1/2)/a11 特征曲线: y=[(a12+△1/2)/a11]x+C1 y=[(a12-△1/2)/a11]x+C2 新旧变量关系: ζ=y+λ1x,η=y+λ2x 令Q=省略 例一: 把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式,并判断类型。 例二: x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0 例三: 化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。 a≠0 (二)线性偏微分方程的基本性质 1.线性迭加原理 设L为线性偏微分算子,即LU=f 若u1u2u3……un是LU=fi的解,则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。 若u1是LU=0的通解,u2是LU=f的特解,则u=u1+u2是LU=f的一般解。 2.齐次化原理(冲量原理) 原理1: 设W是方程Wtt=a2WxxW|t=τ=0Wt|t=τ=f(x,t;τ)的解,则u=∫0tW(x,t;τ)dτ是方程Utt=a2Uxx+f(x,t)U|t=0=0Ut|t=0=0的解。 原理2: W是方程Wt=a2WxxW|t=τ=0Wt|t=τ=f(x,t;τ)的解,则u=∫0tW(x,t;τ)dτ是Ut=a2Uxx+f(x,t)U|t=0=0的解。 3.特征值函数δ δ(x-x0)={0x≠0∞x=x0 ∫δ(x-x0)dx=1 性质: Φ(x)是连续函数,则∫δ(x-x0)Φ(x)=Φ(x0) 三.分离变量法 (一)齐次的泛定方程和齐次的边界条件 Utt=a2Uxx;0 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)=Φ(x); Ut(x,0)=Ψ(x)。 第二类齐次边界条件: Ux(0,t)=Ux(l,t)=0; 第一类与第二类的齐次边界条件: U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。 (二)非齐次的泛函方程的齐次边界条件 Utt=a2Uxx+f(x,t);0 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)=Φ(x); Ut(x,0)=Ψ(x)。 令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足 Wtt=a2Wxx;0 W(0,t)=W(l,t)=0; W(x,0)=Φ(x); Wt(x,0)=Ψ(x).则V满足 Vtt=a2Vxx+f(x,t);0 V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)=0;Vt(x,0)=0. 解W用分离变量法,解V用冲量原理。 (三)齐次的泛定方程,非齐次边界条件 Utt=a2Uxx;0 U(0,t)=U1(t); U(l,t)=U2(t); U(x,0)=Φ(x); Ut(x,0)=Ψ(x). 设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得: V(0,t)=V(l,t)=0,则 W(0,t)=U1(t),W(l,t)=U2(t),设W(x,t)=Ax+B,则 W(0,t)=B=U1(t),W(l,t)=Al+B=U2(t),则(省略) (四)非齐次的泛定方程,非齐次边界条件 Utt=a2Uxx+f(x,t);0 U(0,t)=U1(t); U(l,t)=U2(t); U(x,0)=Φ(x); Ut(x,0)=Ψ(x). 第一步: 把非齐次边界条件化成齐次的边界条件 第二步: 同(三) 例一: Utt=a2Uxx;U(0,t)=0=U(l,t); U(x,0)=3sinx;Ut(x,0)=0.0 例二: 在矩形区域内0 Uxx+Uyy=0;0 U(0,x)=Bsin(πx/a);U(b,x)=0; U(y,0)=Ay(b-y);Ut(y,a)=0。 解: 设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+Vyy=0, V(0,y)=V(a,y)=0,V(x,0)=Bsin(πx/a),V(x,b)=0; 同时Wxx+Wyy=0,W(0,y)=Ay(b-y),W(a,y)=0,W(0,x)=W(b,x)=0. 答案省略~ 例三: 求解方程 Utt=a2Uxx+bshx;U(0,t)=U(l,t)=0;U(0,x)=Ut(0,x)=0。 例四: 长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动,已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。 解: 设位移分布函数为U(x,t)且满足: Utt=a2Uxx+g(x)sinwt;0 U(0,t)=U(l,t)=0; U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x). 解方程,设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且 Vtt=a2Vxx;V(0,t)=V(l,t)=0; V(0,x)=Φ(x);Vt(0,x)=Ψ(x). W满足: Wtt=a2Wxx+g(x)sinwt;0 W(0,t)=W(l,t)=0; W(0,x)=0;Wt(0,x)=0. 由冲量原理有: Ztt=a2Zxx;0 Z(0,t;τ)=Z(l,t;τ)=0; Z(0,t;τ)=0;Z(l,t;τ)=g(x)sinwt. W(x,t)=∫t0Z(x,t;τ)dτ 答案省略~ 例五: 求解矩形域上的第二类边界值问题。 Uxx+Uyy=0;0 Uy(0,x)=Φ1(x); Uy(b,x)=Φ2(x); Ux(y,0)=Ψ1(y); Ux(y,a)=Ψ2(y)。 四.行波法(无界区域内) (一)公式 1.一维波动方程 Utt=a2Uxx;-∞ U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x). 公式: U(t,x)=1/2(Φ(x+at)+Φ(x-at))+1/2a∫x+atx-atΨ(ξ)dξ 2.三维波动方程 Utt=a2△U;-∞ U(0,M)=Φ(M); Ut(0,M)=Ψ(M). 公式: U=1/4πa2[﹫[∫∫Φ(M’)/t]/﹫tds+∫∫Ψ(M’)/tds] 3.二维波动方程 Utt=a2△U;-∞ U(0,M)=Φ(M); Ut(0,M)=Ψ(M)。 U=(省略) (二)基本类型 1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内 Utt=a2Uxx;0 U(0,t)=0;(端点固定) U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x) 延拓: x≥0时,Φ(x)=Φ(x),x<0时,Φ(x)=-Φ(-x); x≥0时,Ψ(x)=Ψ(x),x<0时,Ψ(x)=-Ψ(-x)。 2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内 Utt=a2Uxx;0 Ux(0,t)=0;(端点自由) U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x) 延拓: x≥0时,Φ(x)=Φ(x),x<0时,Φ(x)=Φ(-x); x≥0时,Ψ(x)=Ψ(x),x<0时,Ψ(x)=Ψ(-x)。 3.特殊形式 Utt=a2Uxx;0 U(0,t)=U(t); U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x). 可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且V(0,t)=0,则W(0,t)=U(t),将U(x,t)=U(t)+V(x,t)代入,转化为新方程。 (方法见4.) 4.非齐次波动方程 Utt=a2Uxx+f(x,t);-∞ U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x). 可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且满足: Vtt=a2Vxx+f(x,t);-∞ V(0,x)=O;W(0,x)=Φ(x); Vt(0,x)=0.Wt(0,x)=Ψ(x). 其中V=∫0tZ(x,t;τ)dτ.Z满足: Ztt=a2Zxx; Z(0,x)=O; Zt(0,x)=f(x,t). 例一: 求解方程 Utt-a2Uxx=x+at;-∞ U(0,x)=x; Ut(0,x)=sinx. 解: 由迭加原理解此定解问题,可由达朗贝尔公式和振动的解迭加。 例二: 求解有阻尼波动方程的初值问题。 Utt-a2Uxx+2εUt+εU2=0;-∞ U(0,x)=Φ(x); Ut(0,x)=Ψ(x). 解: 设U(x,t)=e-βtV(x,t)(β>0)。 代入原等式有: Ut=e-βtVt-βt,Utt=e-βt(Vtt-2βVt+β2V),Uxx=Vxxe-βt,再代入原方程: Vtt-a2Vxx+2(ε-β)Vt+(ε2-2εβ+β2)V=0; 要使Vt,V的系数为0,则β=ε,则有: Vtt=a2Vxx;V(0,x)=Φ(x);Vt(0,x)=Ψ(x)+εΦ(x). 则由达朗贝尔公式即可得出结果。 例三: 求解下列初值问题: Utt=a2△U;U(0,x)=yz;Ut(0,x)=xz+x.-∞ 解: 令Φ(M)=yz;Ψ(M)=xz+x.经过球坐标变换后有: Φ(M‘)=y‘z‘=(y+rsinθsinφ)(z+rcosθ); Ψ(M‘)=x‘z‘+x‘=(x+rsinθcosφ)(z+rcosθ)+(x+rsinθcosφ); 因为at=r;则: ∫∫Φ(M‘)/atds=∫02π∫0πΦ(M‘)rsinθdθdr;① ∫∫Ψ(M‘)/atds=∫02π∫0πΨ(M‘)rsinθdθdφ;② 又因为: ∫02πsinθdθ=∫02πcosθdθ=0; ∫0πcosθdθ=∫0πsinθcosθdθ=0; 所以有: ①=4πayz;②=4πatxz. 因此U(x,t)=(tx+y)z. 例四: 求解下列问题: Utt=a2(Uxx+Uyy);-∞ U(0,x,y)=x2(x+y); Ut(0,x,y)=0. 解: 由二维的波动方程即可求出。 五.积分变换法 (一)Fourier变换法 1.概念 若f(x)定义在(-∞,+∞),F[f(x)]=f(λ)=∫-∞+∞f(x)e-iλxdx; 逆变换: f(x)=1/2π∫-∞+∞f(λ)eiλxdλ。 2.基本性质: 线性,卷积,乘积,微分,象导数,积分,延迟,位移…… 4.利用Fourier变换解微分方程 (二)Laplace变换法 1.概念 若f(x)定义在[0,+∞),L[f(x)]=f(p)=∫0+∞f(x)e-pxdx; 逆变换: f(x)=1/2πi∫σ-i∞σ+i∞f(p)epxdp L-1[f(x)]=∑Res[f(t)est,sk] 2.存在条件 3.基本性质 4.利用Laplace变换解微分方程 例一: 求函数f(x)=1-x2|x|<1且f(x)=0|x|>0的Fourier变换。 例二: 设a是正数: 1证明e-a|x|=∫-∞+∞1/π*a/(a2+ζ2)*eiζxdζ 2由①结果推导c(λ)使得: a/(a2+x2)=∫-∞+∞c(λ)eiλxdλ。 证明: 设e-a|x|=1/2π∫-∞+∞F[e-a|x|]eiλxdλ则: F[e-a|x|]=∫-∞+∞e-a|x|e-iλxdx =∫-∞+∞e-a|x|cosλxdx-i∫-∞+∞e-a|x|sinλxdx=2∫0+∞e-a|x|cosλxdx =2Re{∫0+∞e-(a+iλ)xdx}=2Re{1/a+iλ}=2a/(a2+λ2),即证。 ②由c(λ)满足a/(a2+x2)=∫-∞+∞c(λ)eiλxdλ, 有c(λ)=1/2πF[a/(a2+x2)]=1/2π∫-∞+∞a/(a2+x2)e-iλxdx =1/2e-a|λ|.即证。 例三: 求解上半平面Dirichlet问题: △U=0; U(x,0)=f(x); Limx->0,y->0U=0. 解: 作Fourier变换: F[U]=∫-∞+∞U(x,y)e-iλxdx;F[f(x)]=f(λ),对原方程两边作变换: U’yy-λ2U’=0;U’(λ,0)=f(λ);limy->∞U’=0. 解方程得: U’(λ,y)=A(λ)eλy+B(λ)e-λy;由条件可知: 当λ>0,A(λ)=0,当λ<0,B(λ)=0, 因此有U’(λ,y)=c(λ)e-|λ|y,代入可知c(λ)=f(λ), 因此U’(λ,y)=f(λ)e-|λ|y,再做逆变换: U(x,y)=F-1[f(λ)e-|λ|y]=4/π∫-∞+∞f(ζ)/(x-ζ)2+y2dζ. 例四.设L[f(x)]=F[p],证像函数的微分性质的微分性质L[tnf(x)]=(-1)ndnF[p]/dpn. 证: 由F[p]=∫-∞+∞f(t)e-ptdt=dF[p]/dp= {∫0+∞f(t)e-ptdt}/dp=L[-tf(t)]. 例五.求解一维无界空间的运输方程,设初始浓度或温度已知,即 Ut-a2Uxx=f(x,t);-∞ U(0,x)=Φ(x); 例六.求解一端固定的半无界弦线的自由振动。 Utt-a2Uxx=0;0 U(a,t)=0;② U(0,x)=Φ(x);③ Ut(0,x)=Ψ(x).④ 解: 对方程①~④做Fourier的正弦变换: FS[U(s,t)]=∫0+∞U(x,t)sinλxdx=U’(λ,x); FS[Φ(x)]=∫0+∞Φ(x)sinλxdx=Φ’(λ); FS[Ψ(x)]=∫0+∞Ψ(x)sinλxdx=Ψ’(x). 则方程为: d2U’/dt2+a2λ2U’=0;⑤ U’(λ,0)=Φ’(λ);⑥ U’t(λ,0)=Ψ’(x).⑦ 解⑤~⑦得: U’(λ,x)=Φ’(λ)cosλat+1/λaΨ’(x)sinλat. 再做逆变换: U(x,t)=F-1S[U’(λ,x)] =F-1S[Φ’(λ)cosλat]+F-1S[1/λaΨ’(x)sinλat]. 答案略。 例七.求下列函数的Laplace变换。 (1)eat (2)sinkt(3)sin(t-2π/3)(4)coskt 例八.求零阶Bessel方程: x2y’’+xy’+x2y=0,y(0)=1,y’(0)=0. 解: 作Laplace变换: L[y]=∫0+∞y(x)e-pxdx=y’; L[xy]=-dy’/dp; L[tnf(t)]=(-1)ndnF(p)/dpn; L[y’(0)]=py’-y(0)=py’-1; L[x2y’’]=-[pndy’/dp+2py’-1]. 代入即有: y(p)=1/p(1+1/p2)-1/2. 再做逆变换有: y(x)=c∑(-1)n/22n(n! )2*x2n. 六.Green函数及基本解 一.Green公式 1.基本公式 (1)Gauss公式 ∫∫∫Ω▽Adv=∮∮Ads=∮∮Ands (2)Green公式 令A=U▽VU,V∈C2(Ω)∩(Ω)…… (3)Green第二公式 (4)Green第三公式 2.基本解 基本解的概念(保证严格单调,有任意解) 1).椭圆形方程 a.一维△U=δ(M-M0)的解,成为基本解。 b.三维基本解V=1/4π*1/r c.二维基本解V=1/2π*ln1/r 2).双曲线方程 Utt=a2△U;-∞ U(0,M)=0; Ut(0,M)=δ(M). 三维: V(M,t)=1/4πarδ(r-at); 二维: V(M,t)=1/2πarδ(r-at); 一维: V(M,t)=1/2Πh(a2t2-x2)=1/2a|x|≤at;=0|x|>at. 性质: Utt=LU+f(M,t);-∞ U(0,M)=Φ(M); Ut(0,M)=Ψ(M). 若f,Φ,Ψ是连续函数,则U(M,t)=…… 3).热传导方程 Ut=LU;-∞ U(0,M)=δ(M);的解为基本解。 三维基本解: 二维基本解 一维基本解 3.特殊区域内的Green函数的求法,使用Green函数表达椭圆型方程的解 (1)Green函数的概念及性质 定义: 满足△G=-δ(M-M0),G|aΩ=0称为格林函数 性质: a.Green函数与所给区域Ω和边界有关 b.Green函数界有对称性 (2)特殊区域内的Green函数 a.圆内的Green函数 b.球内的Green函数 c.半空间上的Green函数 d.半平面内的Green函数 e.第一象限的Green函数 例一.求解1/4平面的Dirichlet问题 △U=0;x,y>0. U(0,y)=f(y); U(0,x)=0。 解: 二维Dirichlet问题利用二维Dirichlet问题的积分公式。 例二.求解下列边界问题 △U=f(x,y);x∈R,y>0. U(0,x)=Φ(x)。 解: 利用二维Dirichlet问题积分公式代入有: U(x,y)= ∫0+∞∫-∞+∞f(x0,y0)G(x,y,x0,y0)dx0dy0-∫-∞+∞Φ(x0)@G/@n|y0dx0 其中G=1/2πln1/r-1/2πln1/r1 @G/@n|y0=-y0/π*(1/(x-x0)2+y02) 代入有: U(x,y)=(答案略) 七.Bessel函数 (一)Bessel方程及方程的解 (二)Bessel函数及性质 1.Bessel函数及表现形式 2.Bessel函数的母函数 3.Bessel函数的递推关系 (三)Bessel函数的正交性及广义的傅氏级数 1.Bessel函数的正交性 2.Bessel函数的模 3.Bessel函数的傅氏级数 例一.计算I=∫x4J1(x)dx. 法一.由公式d[xmJm(x)]/dx=xmJm-1(x)有: I=∫x2(x2J1(x))dx=∫x2[dx2J2(x)/dx]dx =x4J2(x)-2∫x3J2(x)dx =x4J2(x)-2∫[dx3J3(x)/dx]dx =x4J2(x)-2x3J3(x)
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