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轨迹方程交轨法
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轨迹方程交轨法
第六讲:
轨迹方程.交轨法21
第六讲:
轨迹方程.交轨法
若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.
一.解析形式
例1:
(2003年新课程高考试题)己知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:
是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.
解析:
(Ⅰ)由c=(0,a),i=(1,0)
c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa)
直线OP、AP的方程分别为λy=ax、y-a=-2λax,消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a2x2,即
=1.①当a=
时,点P的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;②当a≠
时,点P的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意.
类题:
1.(2011年安徽高考试题)设直线l1:
y=k1x+1,l2:
y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(Ⅰ)证明l1与l2相交;
(Ⅱ)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数a>0,向量p=(1,0),q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为λp+q的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p+2λq的直线相交于点R,其中λ∈R.
(Ⅰ)求点R的轨迹方程;
(Ⅱ)设a=
过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求
的取值范围.
二.平几形式
例2:
(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中,y
O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,CB
10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,Bi
…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBiB1
交于点Pi(i∈N+,1≤i≤9).OA1AiAx
(Ⅰ)求证:
点Pi(i∈N+,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
(Ⅱ)过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若△OCM与△OCN的面积比为4:
1,求直线l的方程.
解析:
(Ⅰ)因Bi(10,i)
直线OBi:
y=
x;直线AiPi:
x=i
Pi(i,
)
点Pi(i∈N+,1≤i≤9)在抛物线E:
x2=10y上;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:
y=kx+10;由
x2-10kx-100=0
x1+x2=10k,x1x2=-100;因△OCM与△OCN的面积比为4:
1
|x1|=4|x2|(x1x2<0)
x1=-4x2
-3x2=10k,-4x22=-100
k=
直线l的方程:
y=
x+10.
类题:
1.(1983年全国高考副题)如图,在直角坐标系中,己知矩形OABC的边y
长OA=a,CO=b,点D在AO的延长线上,OD=a,设M、N分别是OC、BCCNB
边上的动点,使OM:
MC=BN:
NC≠0,求直线DM与AN的交点P的轨迹方MP
程,并画出图形.DOAx
22第六讲:
轨迹方程.交轨法
2.(2003年大纲卷高考试题)己知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,y
O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且
DFC
P为CE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的GPE
和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.AOBx
三.解析条件
例3:
(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A1、A2是椭圆
+
=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.
解析:
设点P1的坐标为(m,n),则有P2(m,-n),A1P1所在直线的方程为y=
(x+a),A2P2所在直线的方程为y=
(x-a),两式相乘,并利用
+
=1消去m、n有
-
=1.
类题:
1.(1990年上海高考试题)己知点P在直线x=2上移动,直线l过原点且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.
2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:
L:
y=x,设长为
的线段AB在直线L上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程).
四.曲线条件
例4:
(2012年辽宁高考试题)如图,
动圆C1:
x2+y2=t2,1 +y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1, A2分别为C2的左,右顶点. (Ⅰ)当t为何值时,矩形ABCD的面积取 得最大值并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程. 解析: (Ⅰ)设D(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 +y02=1,矩形ABCD的面积S=4x0y0 S2=16x02y02=16x02(1- )=- (x02- )2+36, 当x02= 时,S取得最大值6,此时,y02= t2=x02+y02= + =5 t= ; (Ⅱ)由A1(-3,0),A2(3,0),设A(a,b),则B(a,-b),且 +b2=1;直线AA1: y= (x+3),A2B: y=- (x-3),两式相乘得: y2= - (x2-9) y2= (x2-9)
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