高中数学第四章用数学归纳法证明不等式测评新人教A版选修45.docx
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高中数学第四章用数学归纳法证明不等式测评新人教A版选修45
第四讲用数学归纳法证明不等式
测评
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A.n=1B.n=2
C.n=3D.n=4
解析由n≥3,n∈N知,应验证n=3.
答案C
2.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N+)的第
(2)步中,假设当n=k时原等式成立,则在n=k+1时需要证明的等式为( )
A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
解析用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时,
当n=1时左边所得的项是1+2=3,右边=2×12+1=3,命题成立.
假设当n=k时命题成立,即1+2+3+…+2k=2k2+k.
则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),
故从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2(k+1),
因此1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).
答案D
3.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=
n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=( )
A.k+1B.1·(k+1)+(k+1)·1
C.1+2+3+…+kD.1+2+3+…+k+(k+1)
解析依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,
则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,
∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1
=1+2+3+…+k+(k+1).
答案D
4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3B.(k+2)3
C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3
解析当n=k+1时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除”,根据归纳假设,当n=k时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除”,所以只需展开(k+3)3.
答案A
5.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是( )
A.假设当n=k时命题成立
B.假设当n=k(k∈N+)时命题成立
C.假设当n=k(k≥5)时命题成立
D.假设当n=k(k>5)时命题成立
解析由数学归纳法的步骤可知,选项C正确.
答案C
6.用数学归纳法证明“Sn=
+…+
>1(n∈N+)”时,S1等于( )
A.
B.
C.
D.
解析当n=1时,S1=
.
答案D
7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )
A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除
C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除
解析由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.
答案D
8.设0<θ<
已知a1=2cosθ,an+1=
则猜想an为( )
A.2cos
B.2cos
C.2cos
D.2sin
解析a1=2cosθ,a2=
=2cos
a3=
=2cos
猜想an=2cos
.
答案B
9.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( )
A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)
B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)
C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)
D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)
解析分别取n=1,2,3,4验证,
得f(n)=
答案A
10.用数学归纳法证明“34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除”时,若当n=k时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( )
A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1)
B.34×34k+1+52×52k
C.34k+1+52k+1
D.25(34k+1+52k+1)
解析由于34(k+1)+1+52(k+1)+1=81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1=56×34k+1+25(34k+1+52k+1),故应选A.
答案A
11.下列说法正确的是( )
A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题
B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题
C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真
D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题
解析由数学归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.
答案D
12.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有当n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
解析数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.
答案C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=
(sinα≠0,n∈N),在验证n=1时,等式右边的式子是 .
解析当n=1时,右边=
=cosα.
答案cosα
14.设f(n)=
用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设当n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· .
解析当n=k时,f(k)=
当n=k+1时,
f(k+1)=
所以f(k)应乘
.
答案
15.用数学归纳法证明
+…+
假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是 .
解析注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以当n=k+1时,应为
+…+
.
答案
+…+
16.
导学号26394070设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为 .
解析由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),可知
当n>1时,令x=
所以
>1+n·
所以
>1+n·
即(a+b)n>an+nan-1b.
当n=1时,M=N,故M≥N.
答案M≥N
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)用数学归纳法证明:
12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
证明
(1)当n=1时,
左边=12-22=-3,
右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).
当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2
=-2k2-5k-3
=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)[2(k+1)+1],
即当n=k+1时,等式成立.
由
(1)
(2)可知,对任何n∈N+,等式成立.
18.(本小题满分12分)求证:
两个连续正整数的积能被2整除.
证明设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.
(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即k·(k+1)能被2整除.
当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),
由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除,所以(k+1)(k+2)能被2整除,
故当n=k+1时命题成立.
由
(1)
(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.
19.(本小题满分12分)设函数fn(x)=
x+
x2+…+
xn-2(n∈N,n≥2),当x>-1,且x≠0时,证明:
fn(x)>0恒成立.
(x+1)n=
x0+
x+
x2+…+
xn,
m,n∈N+,且n≥m
证明要证fn(x)>0恒成立,因为x>-1,且x≠0,所以只需证
·x+
·x2+…+
xn>1+nx,
即证(1+x)n>1+nx.
(1)当n=2时,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即(1+x)k>1+kx.
当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
即当n=k+1时不等式成立.
由
(1)
(2)可知,
对任意n∈N,n≥2,(1+x)n>1+nx成立,
即fn(x)>0恒成立.
20.(本小题满分12分)已知点的序列An(xn,0),n∈N+,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,….
(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n≥3);
(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.
解
(1)当n≥3时,xn=
.
(2)a1=x2-x1=a,
a2=x3-x2=
-x2
=-
(x2-x1)=-
a,
a3=x4-x3=
-x3
=-
(x3-x2)=-
a.
由此推测an=
a(n∈N+).
用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=x2-x1=a=
a,通项公式成立.
②假设当n=k时,ak=
a成立.
当n=k+1时,
ak+1=xk+2-xk+1=
-xk+1
=-
(xk+1-xk)=-
ak=-
a
=
a,通项公式成立.
由①②知,an=
a(n∈N+)成立.
21.
导学号26394071(本小题满分12分)求证:
tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=
-n(n≥2,n∈N+).
证明
(1)当n=2时,左边=tanα·tan2α,右边=
-2=
-2=
-2=
=tanα·tan2α=左边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时等式成立,即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=
-k.
当n=k+1时,tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=
-k+tankα·tan(k+1)α
=
-k
=
[1+tan(k+1)α·tanα]-k
=
[tan(k+1)α-tanα]-k
=
-(k+1),
所以当n=k+1时等式成立.
由
(1)和
(2)知,当n≥2,n∈N+时等式恒成立.
22.
导学号26394072(本小题满分12分)设{xn}是由x1=2,xn+1=
(n∈N+)定义的数列,求证xn<
.
证明由题意可知,xk+1=
>2·
.
xn>
显然成立.
下面用数学归纳法证明xn<
.
(1)当n=1时,x1=2<
+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即xk<
.
当n=k+1时,xk+1=
.
由归纳假设,xk<
则
.
∵xk>
∴
.
∴xk+1=
.即xk+1<
.
∴当n=k+1时,不等式xn<
成立.
由
(1)
(2)可知,xn<
对一切n∈N+都成立.
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