广东省新高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》专题高考中的三角函数与解三角形问题.docx
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广东省新高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》专题高考中的三角函数与解三角形问题
2021年广东省新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》
高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题
题型一 三角函数的图象和性质
例1(2016·山东)设f(x)=2
sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g
的值.
解
(1)由f(x)=2
sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2
sin2x-(1-2sinxcosx)
=
(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-
cos2x+
-1
=2sin
+
-1.
由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z),
得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)
.
(2)由
(1)知f(x)=2sin
+
-1,
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin
+
-1的图象,
再把得到的图象向左平移
个单位长度,
得到y=2sinx+
-1的图象,
即g(x)=2sinx+
-1.
所以g
=2sin
+
-1=
.
思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sint的图象求解.
跟踪训练1已知函数f(x)=5sinxcosx-5
cos2x+
(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解
(1)因为f(x)=
sin2x-
(1+cos2x)+
=5
=5sin
,
所以函数的最小正周期T=
=π.
(2)由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z),
得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
由2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z),
得kπ+
≤x≤kπ+
(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
(3)由2x-
=kπ+
(k∈Z),得x=
+
(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=
+
(k∈Z).
由2x-
=kπ(k∈Z),得x=
+
(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为
(k∈Z).
题型二 解三角形
例2△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+
cosA=0,a=2
,b=2.
(1)求角A和边长c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解
(1)∵sinA+
cosA=0,
∴tanA=-
,
又0 , 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA, 即28=4+c2-2×2c× , 即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故c=4. (2)∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴16=28+4-2×2 ×2×cosC, ∴cosC= ,∴CD= = = ,∴CD= BC, ∴S△ABC= AB·AC·sin∠BAC= ×4×2× =2 , ∴S△ABD= S△ABC= . 思维升华根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍. 跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中,∠A=60°,c= a. (1)求sinC的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c= a, 所以由正弦定理得sinC= = × = . (2)因为a=7,所以c= ×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 72=b2+32-2b×3× , 解得b=8或b=-5(舍去). 所以△ABC的面积S= bcsinA= ×8×3× =6 . 题型三 三角函数和解三角形的综合应用 例3(2018·南通考试)如图,某机械厂欲从AB=2米,AD=2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件,裁剪要求如下: 点E,F分别在边BC,AD上,且EB=EF,AF 平方米). (1)求f(θ)关于θ的函数关系式,求出定义域; (2)当BE,AF的长为何值时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,并求出最小值. 解 (1)过点F作FM⊥BE,垂足为M. 在Rt△FME中,MF=2,∠EMF= ,∠FEM=θ, 所以EF= ,ME= , 故AF=BM=EF-EM= - , 所以f(θ)= (AF+BE)×AB = × ×2= - , 由题意可知,AF , 且当点E重合于点C时,EF=EB=2 ,FM=2,θ= , 所以函数f(θ)= - 的定义域为 . (2)由 (1)可知, f(θ)= - = - =2 - =3tan + ≥2 =2 , 当且仅当3tan = 时,等号成立, 又θ∈ , ∈ , 故当tan = ,即 = ,θ= 时,四边形ABEF的面积最小, 此时BE= = ,AF= - = ,f(θ)= - =2 . 答 当BE,AF的长度分别为 米, 米时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,最小值为2 平方米. 思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化,结合三角函数的性质,要注意角的范围对变形过程的影响. 跟踪训练3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB-bcosC=ccosB. (1)判断△ABC的形状; (2)若f(x)= cos2x- cosx+ ,求f(A)的取值范围. 解 (1)因为asinB-bcosC=ccosB, 由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB. 即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB, 所以sin(C+B)=sinAsinB. 因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sinA=sinAsinB, 又sinA≠0,所以sinB=1,B= , 所以△ABC为直角三角形. (2)因为f(x)= cos2x- cosx+ =cos2x- cosx= 2- , 所以f(A)= 2- , 因为△ABC是直角三角形, 所以0 ,且0 所以当cosA= 时,f(A)有最小值- . 所以f(A)的取值范围是 . 1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图. (1)求函数f(x)的解析式. (2)求函数f(x)在区间 上的最值,并求出相应的x值. 解 (1)由题干图象可知|A|=2, 又A>0,故A=2. 周期T= × = × =π, 又T= =π,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ), 由题干图象知f =2sin =2, ∴ +φ= +2kπ,k∈Z,φ=- +2kπ,k∈Z, 又|φ|< ,∴φ=- ,故f(x)=2sin . (2)∵x∈ ,∴2x- ∈ , ∴sin ∈ ,2sin ∈[-1,2]. 当2x- = ,即x= 时,f(x)取得最大值, f(x)max=f =2. 当2x- =- ,即x=0时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(0)=-1. 2.(2018·天津联考)设函数f(x)=2tan ·cos2 -2cos2 +1. (1)求f(x)的定义域及最小正周期. (2)求f(x)在[-π,0]上的最值. 解 (1)f(x)=2sin cos -cos =sin -cos =sin - cos + sin = sin . 由 ≠ +kπ(k∈Z), 得f(x)的定义域为{x|x≠2π+4kπ(k∈Z)}, 故f(x)的最小正周期为T= =4π. (2)∵-π≤x≤0,∴- ≤ - ≤- . ∴当 - ∈ , 即x∈ 时,f(x)单调递减, 当 - ∈ , 即x∈ 时,f(x)单调递增, ∴f(x)min=f =- , 又f(0)=- ,f(-π)=- , ∴f(x)max=f(0)=- . 3.已知函数f(x)=sin +sin -2cos2 ,x∈R(其中ω>0). (1)求函数f(x)的值域; (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为 ,求函数y=f(x)的单调递增区间. 解 (1)f(x)= sinωx+ cosωx+ sinωx- cosωx-(cosωx+1) =2 -1=2sin -1. 由-1≤sin ≤1,得-3≤2sin -1≤1, 所以函数f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,所以 =π,即ω=2. 所以f(x)=2sin -1, 再由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 解得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 所以函数y=f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 4.已知点P( ,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x)= · . (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值. 解 (1)由已知,得 =( ,1), =( -cosx,1-sinx), 所以f(x)= · =3- cosx+1-sinx =4-2sin , 所以函数f(x)的最小正周期为2π. (2)因为f(A)=4,所以sin =0,
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