数学建模期末考试重点.docx

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数学建模期末考试重点

数学建模：

一、选择题（5*3'15':

1.Matlab基本知识；

2•数组点乘、点除：

设：

a=[a1,a2,…,an],c=标量

则：

a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c]（点乘）

a./c=[a1/c,a2/c,…,an/c]（右除）a.\c=[c/a1,c/a2,…,c/an]（左除）

3.重积分：

（P9）

在Matlab中可以使用int（）函数求解积分问题，其调用的具体格式为int（fun,x,a,b）

其中x为积分变量，a,b分别是积分下限和积分上限•当a,b去取成或inf时，可以计算无穷限非正常积分•对多元函数的重积分，可先经过数学处理将重积分转化为多次积分，每次积分针对积分变量调用int（）函数处理。

矩阵的鞍点：

（P80）

二、填空题（15'：

1•第一章中Matlab基本知识；

2.产生5阶随机矩阵：

R=rand（m,n）产生6阶单位阵：

E=eye（m,n）

3.多项式的根：

（P58）当f（x）为多项式时可用：

r=roots（c）输入多项式系数c（按降幕排列），输出r为f（x）=0的全部根；c=poly（r）输入f（x）=0的全部根r,输出c为多项式系数（按降幕排列）；df=polyder（c）输入多项式系数c（按降幕排列），输出df为多项式的微分系数例求解x3-x+1=0

解输入

c=[1,0,-1,1]；

r=roots（c）可得

r=

-1.3247

0.6624+0.5623i

0.6624-0.5623i

例求解x2-ax+b=0

解输入

s=‘xA2-a*x+b';

x=solve（s,'x'）

可得

x=

[1/2*a+1/2*（aA2-4*b）A（1/2）]

[1/2*a-1/2*（aA2-4*b）A（1/2）]

..例求非线形方程组

」X=asin（x）+bcos（y）

Y=ccos（x）+dsin（y）先建立m文件myfun.m

functionq=myfun（p,a,b,c,d）x=p

（1）;

y=p

（2）;

q

（1）=-x+a*sin（x）+b*cos（y）;q

（2）=-y+c*cos（x）+d*sin（y）;

然后输入

a=0.6;b=0.3;c=0.6;d=-0.3;

xO二[0.5,0.5]';%初始值

[x,fv]=fsolve（@myfun,x0,[],a,b,c,d）或

opt=optimset（‘Maxlter',2）;

[x,fv,ef,out,jac]二fsolve（@myfun,x0,opt,a,b,c,d）

4.差分方程的解：

（P157）一阶常系数线性差分方程

（8.4）

Yn1一ay.=f（n）（a=0）（8.3）ynay“=0

迭代法：

设Yo已知，将n=0,1,23依次代入yn1=ayn中，得

Yi=ay°,y2二ay厂a2yo,ay^a3y°,lll

般地，yn=any°（n=0,1,2,3…）

容易验证：

yn=ay。

满足差分方程，因此是差分方程的解.这个解法称为迭代法一般解法：

若~n是（8.3）的一个特解

令Yn_yn-yn

yn二AYn是（8.4）的通解yn二（A为任意常数）是

（8.3）的通解为yn=ynAY

（8.4）的通解

一阶常系数线性非齐次差分方程

f（n）=c二const,y1-ay.=C

迭代法:

设给定初值y。

yi

=ay0c

y2

agic

2

ay0c（1a）

y3

ay2c

a3y0c（1a1

亠亠a2）

n

yn二ay。

c（1

n-1

当a=1时，1a

anJ

yn

n

ay0

1-a

当a=1时，1

an_1

Vac=

c

+

1-a

yn二y。

cn

n=0,1,2,3

-般解法：

设（8.5）具有~n

kns形式的特解从而

k（n1）s

-akns=c

k-ak=c—y

Yn

yn=Aay=

—n1-a

Aan

当a=1时，k=c>y；

cn

yn-A

=>

cnA

二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性齐次差分方程

Yn2

byn

Yn

-a亠ma2-4b

-a-a2-4b

a2-4b0

n

yn=C11C22

a2-4b：

0

a2-4b=0

a

其中

1

a,

2

号J4小2「「

=-b,tg-

.4b-a2

】=r（cos^isin二）‘2=r（cos^-isin二）

yn2

=Zu

f2

y；=rn（C1cosn^C2sinn71）

二阶常系数线性非齐次差分方程

二rncosn：

-isinn^

yn2ayn1byn二C

~n=knsk（n2）sak（nifbkii=cA

s=0c

f（n）二cnk（c二const）yn2ayn1byn二cnk

特解Vn=ns（B°B?

n2Bknk）

1ab=0,取s=0

1ab=0,且a—2,取s=1

1ab=0,且a一2,取s=2

5•微分方程的解：

（P45&P55）欧拉方法、龙格库塔方法三、综合题（70':

y=f（x）]

2.画图:

（P10）

1）.plot（x,y）:

调用格式：

plot（X,Y,S）

plot（Y）——以元素序号为横坐标，绘制折线图（演示）

plot（X,Y——y和x为同维向量，则以x为横坐标，y为纵坐标绘制实线图plot（X,Y1,S1,X,Y2,S2；…,X,Yn,Sn——同时将多条线画在一起

2）.ezplot:

MATLAB提供了一个ezplot函数绘制隐函数图形，下面介绍其用法。

（1）对于函数f=f（x）,ezplot函数的调用格式为：

ezplot（f）:

在默认区间-2n

ezplot（f,[a,b]）：

在区间a

⑵对于隐函数f=f（x,y）,ezplot函数的调用格式为：

ezplot（f）:

在默认区间-2n

ezplot（f,[xmin,xmax,ymin,ymax]）：

在区间xminvx

ezplot（f,[a,b]）：

在区间a

⑶对于参数方程x=x（t）和y=y（t）,ezplot函数的调用格式为：

ezplot（x,y）：

在默认区间0

ezplot（x,y,[tmin,tmax]）:

在区间tmin

3）.subplot:

可以在同一个画面上建立几个坐标系，用subplot命令

subplot函数的调用格式为：

subplot（m,n,p）

把一个画面分割成m*n个图形区域，p代表当前的区域号，再每个区域中分别画一个图。

3.数据处理（检验）：

（P103）

1）.方差已知，ztest

2）.方差未知，ttestt检验应用条件：

1、当样本量较小时，理论上要求样本为来自正态总体的随机样本；

2、当两小样本均数比较时，要求两总体方差相等（方差齐性：

即。

12=（T22）检验的基本步骤：

H。

：

…。

耳：

…。

（一）建立假设

其中卩0为样本所在总体均值.

（二）在无效假设成立的条件下，计算t值.

x-1

其中，n为样本含量，Sx=S/n为样本标准误.

t=°-，df=n-1

S-

x

单样本t检验

h=ttest（x,xO,alpha）

[h,sig,ci]二ttest（x,xO,alpha,tail）

输入：

x为给定数据，x0为总体均数，a为检验水平，通常为0.05,0.01，默认时为

0.05,tail取0,1,-1分别表示备择假设为均值不等于，不大于，不小于x0.（注意

此时的零假设）（缺省时为0）.

输出：

h=0不拒绝Ho；h=1拒绝Ho；sig为与t统计量有关的p值，ci为均值真值的1-alpha置信区间.

t检验

两样本均数的t检验

H。

：

亠」2；Ha:

对两个独立同方差（方差未知）正态总体的样本均值差异进行

t"

sx1-

x2

2,df=g-1）（n^1）

-X2

S<1-x>=

5-恼（比-1）£（11）

（口-1）（比-1）nn

Matlab实现：

两样本t检验

函数：

ttest2;调用格式：

建立假设；

计算均数差异标准误、t值和自由度。

h=ttest2（x,y）

[h,significance,ci]二ttest2（x,y,alpha）

[h,significance,ci]=ttest2（x,y,alpha,tail）

输入：

x,y为给定数据，tail取0,1,-1分别表示备择假设为卩严卩y,卩x<卩y,ax》ay.

输出：

h=0,不拒绝Ho;h=1拒绝Ho；sig为P值；ci为置信区间.

4.微分方程数值解：

【编程、绘图】（P45）

1）.向前欧拉公式：

而y（xnYn1,y（xnPYn，故上式可写成：

n=0,1,-（3）

yn1ynhf（Xn,yn）,

（3）式即为向前欧拉公式。

2）.改进欧拉公式：

为简化计算，且能提高精度，将梯形公式中的迭代过程简化为两步:

（1）.先用向前欧拉方法求得一个初步的近似值尹曲，称之为预报值。

电儿儿）（io）

（2）.用预报值代替梯形公式中右端的再计算得校正值儿小

h-

Ft急几+片[/（5几）+/（兀1**1）],口=。

丄…（U）

（10）科（11）组成了一个预测较正系统，这便是改进的欧拉公式.

在matlab中编制如下的函数文件gjeuler.m将其实现.function[x,y]=gjeuler（fun,xO,xf,yO,h）

n二fix（（xf-xO）/h）;

y（i）=y0;

x

（1）=x0;

x（n）=0;y（n）=0;

fori=1:

（n-1）

x（i+1）=x0+i*h;

y仁y（i）+h*feval（fun,x（i）,y（i））;

y2=y（i）+h*feval（fun,x（i+1）,y（i））;

y（i+1）=（y1+y2）2;

end

例应用改进的欧拉方法求y*一y•xt,y（o）=1

首先建立函数文件fun.m:

functionf二fun（x,y）

f=-y+x+1;

然后在主程序中输入：

[x,y]=gjeuler（'fun',0,1,1,0.1）即可.

3）.龙格一库塔方法：

龙格—库塔方法的基本思想就是：

在[xn,xn+1]内多取几个点，将它们的导数加权后代替f（x,y（x））,设法构造出精度更高的计算公式。

高阶微分方程需要先降阶为一阶微分方程组:

解析解

desolve（'eqi1','eqi2‘,…，，x，）

求常微分方程（组）的解析解。

例3计算y'y+2x,y（0）=1,

2、取t°=0,tf=1，输入命令

[x,y]=ode23（'fun1',0,1,1,0）

解：

1、建立m-文件fun1.m如下：

functiondot1=fun1（x,y）;

dot1=y+2*x;

注：

1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成，返回的值应为列向量。

2、使用Matlab求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.d^x“工、dx介

例、求解

—十-f1-x*）—+x=0at1dt

x（0）-l;x'（0）=0

解：

令

则微分方程变为一阶微分方程组；

二（1-甘加-卩

|球0）“小⑼“

1、建立m-文件vdp1.m如下：

functiondy=vdp1（t,y）dy=zeros（2,1）;dy

（1）=y

（2）;

dy

（2）=（1-y

（1）八2）*y

（2）-y

（1）;

5.优化问题：

【线性规划】（P129）用MATLAB优化工具箱解线性规划：

1、模型：

minz=cX

s.t.AX乞b

命令：

x=linprog（c,A,b）

2、模型：

minz=cX

s.t.AX乞b

AeqX=beq

命令：

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）

注意：

若没有不等式：

AX"存在，则令A=[]，b=[].

3、模型：

minz=cX

s.t.AX乞b

AeqX=beq

VLB

命令：

[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLBVUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLBVUB,X0

二次规划（QP）

miDf（x）=+ex

57.Ax

当H为对称阵,称二次规划当H正定时,称凸二次规划

[Xffval,exitflagfoutput,lambda]=

1inprog（cfAlfblfA2fb2fvlfv2fxOfoptions）lambda~lagqange乘子，其维数等于约束条件个数，非零向量对应于起作用约束

lambdaineqlin

lambdaeqlin

lambdaupper

等式约束Ax=b下的Lagrange乘子法

L函数+ex+（Ax—b）.2eR1'

lambdalower

最优解方程Hx+c丁+ATA=O

Ax—Z?

=0

解二次规划的有效集方法

堆本思想：

对「不筹式约束的二次规划，亦某口J行点

处将不起作用约束去曲，起作用约束视为等式约束*,

通过求解等式约束的一次规划来改进可行点七絆味为⑴継优鮒则它畝

（2）侦优解

叫他十加+険吋⑴冷畑+肚⑵原理■制

（1）的可礪隔2）的KM冃M曲幼⑴M叮珂E的是的第洌■I■乘子非负’则它魄

（1）僦优他

1、Matlab求解二次规划（QP）

标准型为：

MinZ=丄XtHX+ctX

2

s.t.AX<=bAeqX=beq

VLBwXwVUB

用MATLAB软件求解，其输入格式如下：

1.x=quadprog（H,CAb）;

2.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq）;

3.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）;

4.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0）;

5.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,XO,options）;

6.[x,fval]=quaprog（...）;

7.[x,fval,exitflag]=quaprog（...）;

8.[x,fval,exitflag,output]=quaprog（...）;

2、一般非线性规划

标准型为：

minF（X）

s.tAX<=bG（X）

Ceq（X）=OVLBXVUB

其中X为n维变元向量，G（X）与Ceq（X均匀为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同•用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：

1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:

functionf二fun（X）;

f=F（X）;

2.若约束条件中有非线性约束:

G（X）<0或Ceq（X）=0,

则建立M文件nonlcon.m定义函数G（X）与Ceq（X）:

function[G,Ceq]二nonlcon（X）

G=...

Ceq=...

3.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：

（1）x=fmincon（‘fun',X0,A,b）

（2）x=fmincon（‘fun',X0,A,b,Aeq,beq）

（3）x=fmincon（‘fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）

⑷x=fmincon（‘fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon'）

（5）x=fmincon（‘fun',X0,A,b,Aeqbeq,VLB,VUB,'nonIcon',options）

（6）[x,fval]=fmincon（...）

（7）[x,fval,exitflag]=fmincon（...）

（8）[x,fval,exitflag,output]=fmincon（...）

6.拟合：

（P100）

多项式拟合、线性拟合、输出函数：

ployfit

例：

求y=aebx时，Iny=Ina+bx,lny与x成线性

x=[…••]•；y=[]；z=Iny;c=ployfit（x,z,1）

则a=ec⑴,b=c

（2）

7.层次分析：

（P66）

成对比较矩阵，看出哪个因素最重要