高考数学二模文科试题及答案.docx
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高考数学二模文科试题及答案
2018年高三二模数学(文科)试题
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
满足
,
为
的共轭复数,则
()
A.
B.
C.
D.
3.如图,当输出
时,输入的
可以是()
A.
B.
C.
D.
4.已知双曲线
:
过点
,且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线
的标准方程是()
A.
B.
C.
D.
5.要得到函数
的图象,只需把函数
的图象()
A.向左平移
个单位B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位D.向右平移
个单位
6.已知实数
,
满足
,则
的最大值是()
A.
B.
C.
D.
7.把一枚质地均匀、半径为
的圆形硬币抛掷在一个边长为
的正方形托盘上,已知硬币平放在托盘上且没有掉下去,则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为()
A.
B.
C.
D.
8.函数
的图象大致为()
A.B.C.D.
9.如图,网格纸上正方形小格的边长为
,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的最长棱的长度为()
A.
B.
C.
D.
10.已知函数
,则关于
的不等式
的解集为()
A.
B.
C.
D.
11.在锐角三角形
中,
,
,
分别为内角
,
,
的对边,已知
,
,
,则
的面积为()
A.
B.
C.
D.
12.已知点
,椭圆
的左焦点为
,过
作直线
(
的斜率存在)交椭圆于
,
两点,若直线
恰好平分
,则椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知
,
,则
.
14.已知
,
,且
,则
与
的夹角为.
15.已知函数
的导函数为
,且满足关系式
,则
的值等于.
16.如图,在三棱锥
中,
平面
,
,已知
,
,则当
最大时,三棱锥
的体积为.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.已知数列
是公差为
的等差数列,且
,
,
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前
项和.
18.如图,在直三棱柱
中,
,
,点
为
的中点,点
为
上一动点.
(1)是否存在一点
,使得线段
平面
?
若存在,指出点
的位置,若不存在,请说明理由.
(2)若点
为
的中点且
,求三棱锥
的体积.
19.某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过
站的地铁票价如下表:
乘坐站数
票价(元)
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过
站,且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付费
元,则甲、乙下车方案共有多少种?
(2)若甲、乙两人共付费
元,求甲比乙先到达目的地的概率.
20.已知抛物线
:
的焦点为
,过点
的直线
交抛物线
于
,
(
位于第一象限)两点.
(1)若直线
的斜率为
,过点
,
分别作直线
的垂线,垂足分别为
,
,求四边形
的面积;
(2)若
,求直线
的方程.
21.已知函数
.
(1)求函数
的单调区间;
(2)证明:
.
(二)选考题:
共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
中,已知直线
:
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的直角坐标方程;
(2)设点
的极坐标为
,直线
与曲线
的交点为
,
,求
的值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数
.
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)若不等式
对
恒成立,求实数
的取值范围.
答案
一、选择题
1-5:
DABCC6-10:
BBDDA11、12:
AC
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.
(1)因为
,
,
成等比数列,所以
,
又因为数列
是公差为
的等差数列,
,
,
,
所以
,
解得
,所以
.
(2)由
(1)可知
,因为
,所以
.
所以
.
18.
(1)存在点
,且
为
的中点.
证明如下:
如图,连接
,
,点
,
分别为
,
的中点,
所以
为
的一条中位线,
,
平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)如图,设点
,
分别为
,
的中点,连接
,
,
,并设
,则
,
,
,
由
,得
,解得
,
又易得
平面
,
,
.
所以三棱锥
的体积为
.
19.
(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过
站,前
站设为
,
,
,
甲、乙两人共有
,
,
,
,
,
,
,
,
种下车方案.
(2)设
站分别为
,
,
,
,
,
,
,
,
,因为甲、乙两人共付费
元,共有甲付
元,乙付
元;甲付
元,乙付
元;甲付
元,乙付
元三类情况.
由
(1)可知每类情况中有
种方案,所以甲、乙两人共付费
元共有
种方案.
而甲比乙先到达目的地的方案有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共
种,
故所求概率为
.
所以甲比乙先到达目的地的概率为
.
20.
(1)由题意可得
,又直线
的斜率为
,所以直线
的方程为
.
与抛物线方程联立得
,解之得
,
.
所以点
,
的坐标分别为
,
.
所以
,
,
,
所以四边形
的面积为
.
(2)由题意可知直线
的斜率存在,设直线
的斜率为
,则直线
:
.设
,
,
由
化简可得
,
所以
,
.
因为
,所以
,
所以
,
所以
,即
,解得
.
因为点
位于第一象限,所以
,则
.
所以
的方程为
.
21.
(1)由题意可得
,令
,得
.
当
时,
,函数
单调递增;当
时,
,函数
单调递减.
所以
的单调递增区间为
,
的单调递减区间为
.
(2)要证
成立,只需证
成立.
令
,则
,令
,则
,当
时,
,当
时,
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,
又由
(1)可得在
上
,所以
,所以命题得证.
22.
(1)把
展开得
,
两边同乘
得
①.
将
,
,
代入①即得曲线
的直角坐标方程为
②.
(2)将
代入②式,得
,
易知点
的直角坐标为
.
设这个方程的两个实数根分别为
,
,则由参数
的几何意义即得
.
23.
(1)当
时,原不等式可化为
.
若
,则
,即
,解得
;
若
,则原不等式等价于
,不成立;
若
,则
,解得
.
综上所述,原不等式的解集为:
.
(2)由不等式的性质可知
,
所以要使不等式
恒成立,则
,
所以
或
,解得
,
所以实数
的取值范围是
.
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