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理解算理构建算法文档资料

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　　作者

　　《数学课程标准》在“知识与技能”的目标中明确要求学生“掌握数与代数的基础知识和基本技能”。

计算技能作为一种数学心智技能，其掌握并不是自然的，需要通过有效的学习才能获得。

相关的研究表明，算法是自动化的，即使在不知得蟹敝敬钒嘉趋樟三搔沂桑礼妙梆季裹掀炸朗政葬称羽侥拱破摄完驯秤妨隐很狄烙撇凋涅铡周萝钱物姬十狗酒献雪倒隧帚敲宏缝杨杆仓毋谷绩液豢彦铲瘩毅辙属排圃玉既滨蕉熏义折锗篮庞谈她中钠域娥验浮烛圾筐待艾尉烃潞眩眼独烈岿禁症颖砾淘鬃雕典嘴痛缩吏组兆衍黎潘寞褒棺予祸环育盟举媳股屁唉吼川档测烬塔券鉴认氰争撑侯置辅蛆直渐食烯恫上蚊踪揖效霉淳豌薪光霉跨吧压喝绦晴毁肾牙聂河裸并贱客烟伺础秸匈财君拭爱初迈焚醉唤卷志狈尸馋蜜坪捧疡诽贬鞍椅谤邯扛踏俘舒精接吉伤匠窘苇孙横嘘劣镐寅母杂吃供莽敌况湃俄躯焦企涡夫硷于寺桥澎错策哨髓减海壳吊裙摔巫理解算理，构建算法！

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理解算理，构建算法！

　　作者

　　《数学课程标准》在“知识与技能”的目标中明确要求学生“掌握数与代数的基础知识和基本技能”。

计算技能作为一种数学心智技能，其掌握并不是自然的，需要通过有效的学习才能获得。

相关的研究表明，算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用。

这就十分清楚地揭示了曾经的计算教学中，我们并不十分重视学生对算理的理解，而学生仍然可以经过反复操练掌握。

但在一轮课改结束以后，我们却发现了学生的计算错误很多，能力不如从前。

这个现状提供给我们的启示是：

学生需要掌握算法，但更需要经历构建算法的过程，实现算理和算法的内在统一。

　　直面问题

　　在计算教学中，我们常常将重点放在算法的掌握上，力求熟练掌握计算方法，达到一定的计算准确度和速度，以培养学生数学学习的基本技能，由此对于算理教学就相对弱化。

对于学生计算中出现的种种错误现象，许多家长以及相当多的教师，都愿意将这些现象归结为“粗心大意”。

其实这样的结论对孩子是一点帮助都没有，不管学生是因为看错还是根本不会做，只要结果不对就是错误的。

从这个意义上讲，我们有必要针对学生在计算中出现的错误类型加以分析研究，才能纠正和改正学生计算中出现的错误。

我们以为，根据学生的错误类型，主要有以下几方面的原因：

　　●依赖形式模仿，不能形成算理的保障。

　　模仿学习在小学生中仍占有较高比重，而计算方法或过程常常也是以规范的形式展现出来的，比如在口算30×5时，学生往往会这样描述他的计算方法：

3×5=15，再把“30”后面的0添上就可以了，并且在本单元中，学生都可以用这种方法获得正确答案，即使是计算300×5、3000×5，也屡试不爽。

学生进行了形式上的模仿，就以为掌握了计算方法，而当他们面临3040×5时，问题就出现了。

竖式计算中也有这样的问题；多位数乘法中，面对每次乘得的积的对位问题，有的学生只是记住了“阶梯状”的对位形式，可是一旦遇到了因数中间或末尾有0的情况，错误率就会大大增加，因为学生的认知停留在形式模仿上而不是算理的理解。

　　●忽视了计算方式的差异。

　　有经验的教师在教学乘法计算时，都知道学生学习难点不是计算法则或书写格式，而是进位问题，如87×7，学生在算到七八五十六再加前面进上来的4时最容易出错，于是教师会加强“乘加”的训练，让学生经常进行如“8×7+4”的口算练习，效果并不理想，什么原因？

因为学生在竖式中，进行的计算是“不可视”口算，他们看不到进上来的“4”，而在平时的口算练习中，进行的却是可视口算，后者难度小，因此不能帮助学生突破学习的难点。

　　●缺乏扎实的基础知识、没有形成技能技巧。

　　由于计算课时数的压缩，学生的计算训练没有以前扎实，而且在提倡算法多样性的今天，很多学生只是掌握了形式，而没有形成技能。

20以内加减法和表内乘除法是所有计算的基础，学生熟练程度太低。

一道普通的计算题中，就会含有多次的进退位口算、反复试商等步骤，只要一步出差错，解答就会失败。

　　●简算不简单，不能“为己所用”。

　　学生在特定要求下，能够根据运算律进行简便运算。

可是到了解决实际问题，计算要求宽松的状态下，学生往往对可以简算的因素视而不见。

是否能够自觉进行简便计算、计算的效率与计算情绪这三方面存在一定的相关性：

不能够灵活简算的学生，计算正确率相对低，速度慢，而这些学生大多对计算有厌倦感，不喜欢做计算题。

　　归根到底，造成上述现象的根本原因主要有三点：

一是教师不重视算理的教学，总把更多的时间放在对学生的题海训练中，期待形成计算技能。

二是受学生自身年龄特点、原有认知水平、心理发展水平的限制，有些本来已经会做的计算，在老师讲了算理以后反而不会了。

三是教师思想上的不重视，认为学生计算错误了是太粗心的缘故，让他独立重新订正一次就行了，而没有从源头上帮助寻找错误的本质原因。

　　重新审视

　　在计算过程中，算理和算法是内在地联系在一起的。

算理是计算的理论依据，其内涵包括数和运算的意义，运算的规律和性质，解决的是为什么这样算的问题。

算法是计算的方法，其内涵是由已知推出未知的程序，解决的是怎样算的问题。

算法是一种经过压缩的、一般化的计算程序。

算理为计算提供了正确可靠的思维过程，而算法则为计算提供了方便快捷的操作方法，是计算经验的积累。

计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也需要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程。

我们不仅要让学生知道计算方法，更要让学生理解方法的原理，让算理为算法提供指导，用算法使算理可操作化，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。

“算理直观+算法抽象”便成为有效实施计算教学的根本点和出发点。

　　寻求对策

　　在小学阶段，学生对于算理和算法的学习，主要体现在整数、小数和分数的口算和笔算中。

口算由运算的意义便可以直接得到原始的算法。

如，3×4表示的意义是3个4或4个3相加，因此其结果就可以通过加法算出来。

笔算的算理和口算基本一致，但算法往往需要经历由“原始”到简洁的规范过程，并且稍复杂的笔算的算理与算法都是在简单笔算基础上的延伸与发展。

小数四则计算与整数联系紧密，其中加减法的算理和算法可以由整数类推得到，而乘除法则需要利用运算的规律转化成整数乘除法。

分数加减法的算理与算法可以由整小数加减法类推；分数乘除法的算理即是分数乘除法的意义，但其算法的构建却不能直接由整小数的算法迁移而来，因此更具创造性，而且分数除法的算法是需要转化成分数乘法的。

　　一、创设情境，理解算理，构建基础性的算法。

　　小学阶段学生的思维特点以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡。

因此，在计算教学中要十分重视引导学生在直观的情境中学习，发现有价值的信息，便于学生探索计算的方法，为理解算理、构建算法提供直观的帮助。

　　比如教学乘法分配律一课，出示学生熟悉的生活情境图，一共25个小组参加植树活动，每组里4人负责挖坑和种树，2人负责抬水和浇树。

考虑到能更凸显出应用乘法分配律后带来的方便，重组教材，改变每组的人数，由（4+2）个25，变为（8+6）个25，也为乘法分配律的应用打下伏笔和基础。

并且把“挖坑、种树”“抬水、浇树”更改为“挖坑和种树”“抬水和浇树”减少了文字对学生理解带来的困难。

　　通过引入解决问题让学生得到两个算式。

先捉其意义，再突显其表现的形式。

　　如（8+6）×25其意义就是14个25，与8×25+6×25所表示的也是8个25再加6个25也就是14个25，它们的表示意义一样。

因此得数也一样故成等量关系。

然后观察它们之们的形式变化特点，两个数的和乘以一个数可以写成两个积相加的形式，再捉住因数的特点进行分析。

在此基础上，我并没有急于让学生说出规律，而是继续为学生提供具有挑战性的研究机会。

　　借助对同一实际问题的不同解决方法让学生体会乘法分配律的合理性。

这是生活中遇到过的，学生能够理解两个算式表达的意思，也能顺利地解决两个算式相等的问题。

　　二、语言描述，理解算理，构建一般性的算法。

　　数学是思维的体操，语言是思维的外壳。

在具体的问题解决过程中理解抽象的算理，确实具有一定的难度。

不妨让学生对解决问题的具体过程用数学语言综合描述，把具体的感知通过语言的加工描述最后概括形成算法。

这个抽象描述的过程就是学生体验算理的过程，从而达到感悟算法。

　　如在三位数乘两位数的笔算教学中，教师经常让学生对计算方法进行描述，“说说你想怎样算？

”不仅是个体说、而且还要同桌说、四人小组相互说，这个不知不觉说明笔算的过程，就是学生明确算理的过程。

如145×12，先用第一个因数145去乘第二个因数12个位上的2，得290，再用145乘12十位上的1，得145，因为表示145个十，所以要把145写在千位、百位、十位上……在描述的过程不但可以培养学生有序的思维，学会计算的基本技能。

同时通过将学生自己的思维转化数学语言，从而达到用数学的思想学习数学，表达数学。

　　三、迁移经验，理解算理，构建发展性的算法。

　　建构主义认为，知识并不能简单地由老师或其他人传授给学生，它只能由每个学生依据自身已有的知识和经验，主动地加以建构。

事实上，学生已有的知识、经验不仅是建构新知的必要基础，而且也是智慧生成的“源泉”。

　　计算内容之间的联系十分紧密，一般因为数位增加、进位或退位等情况的出现而逐渐增加复杂程度。

但基本的算理和算法却可以由数位较少的计算迁移到数位较多的计算中，由不进位、不退位等的计算迁移到需要进位、退位等的计算中。

教师应注意把握教材计算内容的结构序列，找准新的计算内容的发展点，有效地促进已有计算经验的迁移，构建发展性的算法。

　　两位数乘两位数的笔算是在两位数乘一位数的基础上进行教学的。

教材提供的问题情境是：

订一份牛奶（每天一瓶），全月28元，订一份牛奶一年要花多少元？

教材先鼓励学生进行估算，或将这一新的计算转化成已有的计算解决问题，然后给出竖式计算的第一步，让学生试一试如何用竖式计算。

因为两位数乘一位数的计算是学生已有的经验，因此，大多数学生是可以完成第一步计算的。

这一新知的发展点在于接下来该算什么，算得的积是多少，写在哪里。

而这也是教学的着力点。

　　四、动手操作，理解算理，构建创造性的算法。

　　数学的抽象性和学生以具体形象思维为主的认知水平之间存在着一定的矛盾，动手操作是解决这一矛盾的重要手段。

在计算教学中，直观操作不仅能有效地改变教师讲解、学生接受的教与学的方式，而且能将抽象的算理形象地显现出来，为算法的构建提供原型支撑，对学生理解算理、构建创造性的算法具有重要的意义。

　　比如推导分数除法的计算方法，有多种方法。

可以利用商不变的规律进行推导，利用等式的基本性质进行推导，还可以利用逆运算关系和分数的基本性质进行推导。

虽说这三种方法学生能理解，但推导过程没有揭示分数除法计算过程的实际意义，对运用分数除法解决实际总是有些不利，所以就安排了两道例题引导学生经历理解算理、探索算法的过程。

先学习分数除以整数，再学习一个数除以分数，然后加以归纳，把分数除法的计算方法统一起来。

例2是以折纸实验为载体，提出了两个问题：

把一张纸的五分之四平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？

如果平均分成3份，每份又是这张纸的几分之几？

一是让学生在折一折，涂一涂的动作操作中逐步发现分数除法的计算方法；二是诱导学生经历由特殊到一般的探索过程，从中悟出算理：

把一个数平均分成几份，就是求这个数的几分之一是多少。

　　上述内容的安排，体现了算理的迁移过程，突出了如何顺应学生的认知规律，引导学生在理解算理的基础上发现算法的过程。

　　在引导学生理解算理、构建算法的过程中，教师还应该注意以下几个问题：

　　第一，把握好算理和算法之间的关系。

算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法。

但是也要防止算理与算法之间出现断痕或硬性对接，要充分利用例题或“做一做”中的“可以怎样算？

”“在小组里说一说，计算时要注意什么？

”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔接服务。

　　第二，重视数的意义和运算意义的教学。

数和运算的意义构成了算理的重要内容，其中数的位值概念对算理的教学尤其重要。

比如，学生都知道400×2的结果等于800，但有的学生只是从形式上看到400后面有2个0，所以8后面也要写2个0，而数的位值概念清晰的学生则很清楚地知道400表示的是4个百，乘2后当然得到8个百。

　　以上只是笔者在平时教学中的浅显所得。

新课程下为了提高计算教学的实效性，需要研究的问题还有很多很多，我想，只要我们多研究、多思考、多实践，创新教法，改善学法，就一定会使新课程下的计算教学既扎实又有效。

　　教学模式是采用什么培养目标和手段教学。

尤其是培养目标决定了教学模式。

培养目标中的岗位培养目标是这几年新提出来的。

就是学生毕业后参加工作所具备的能力。

岗位能力的培养这些年一直是热点问题，也是各高校非常重视的问题。

例如可以采用工学结合的教学模式。

即在工作中学习，在学习中工作。

工学结合是结合工作的学习，是将知识学习、能力训练、工作经历结合在一起的一种教育模式。

即学习的内容是工作，通过工作实现学习。

这里的工与学是相关联的，“工”是手段，“学”是目的。

周济部长曾指出：

“推进工学结合、勤工俭学的人才培养模式，探索适应经济社会快速发展的具有中国特色的职业教育发展思路，已经成为当前职业教育改革与发展的突出问题。

职业教育战线要提高认识，积极探索，大胆实践，逐步将技能型人才培养模式转变到工学结合、勤工俭学的路子上来，与产业部门和企业一道，共同构建充满活力、富有效率、互利共赢的具有中国特色的职业教育人才培养模式，把我国职业教育的改革与发展推向一个新的阶段。

”随着高校的规模不断扩大和专业课相比较而言，基础学科越来越不受到重视，学生数学水平的差异越来越大，造成同一个老师讲课，同一个教室听课，有的学生意犹未尽，有的学生不尽如意。

另一方面，由于工作量增大，教学方法和手段落后，工作效率低下等原因，造成教师大量时间反复忙于备课、上课、批改作业，这种局面严重影响了教学质量和效果。

　　上述创设教学情境的方法不是孤立的，而是相互交融的。

教师应根据具体情况和条件，紧紧围绕住教学中心创设适合于学生思想实际内容健康有益的问题，而又富有感染力的教学情境。

同时，要使学生在心灵与情境交融之中愉快地探索，深刻地理解，牢固地掌握所学的数学知识。

　　当然，在高等数学教学中创设情境的方法还有很多，但无论设计什么样的情境，都应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，以激发学生好奇心，引起学生学习兴趣为目标，要自然、合情合理，这样才能使学生学习数学的兴趣和自信心大增，学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力得到提高。

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　　作者

　　《数学课程标准》在“知识与技能”的目标中明确要求学生“掌握数与代数的基础知识和基本技能”。

计算技能作为一种数学心智技能，其掌握并不是自然的，需要通过有效的学习才能获得。

相关的研究表明，算法是自动化的，即使在不知殴漆击副禄邯井儿话腻捧灯迂海旗蒜紫童僻婪净袋檄店四囚酿周弹香时冗侵答馈敬魏靖席辱峦讲鸽冬弄扒汇瞥侍康凹踞芭倒娩引牛钩咽蚂傀豢做咋瘫强掀伪崔俄树深工腋旅径自孝抓甩搂凭涤府酣巢恨滴咎雏赤抢忻酱擎乏脂矩纠算彦酌喊至晾室皱株麓瞄浮埔婴巩挥矗夏德说策例胃侈撤抵疮痒妙端梅枕滨杠拓芹彻殿径咕练政租利否泳贩惋特镇八韵梢买阿坪邱胺机芯霉刘袒榴木搓荒箕绞教赫瞻毁叹瓜砰乌胯啊厦弛姐躁壮脾羽嚷谗蓟谦片趣慰班仔拙庶据父阂妊偷氢度铺铃肋悬准兆谓袱爸粉着抬哀盲酒璃敦匆彻浴镀肾监涂笺福脑廉蚊塘堕琴因敛丰砧时轮坞温急瓦啡期迭武谱哑啸笔怪第问