205 等腰梯形的判定含答案.docx
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205等腰梯形的判定含答案
20.5等腰梯形的判定A卷
一、选择题
1.下列结论中,正确的是()
A.等腰梯形的两个底角相等B.两个底角相等的梯形是等腰梯形
C.一组对边平行的四边形是梯形D.两条腰相等的梯形是等腰梯形
2.如图所示,等腰梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
则图中全等三角形有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
3.课外活动课上,老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为450cm,则两条对角线所用的竹条长度之和至少为()
A.30
cmB.30cmC.60cmD.60
cm
二、填空题
4.等腰梯形上底,下底和腰分别为4,10,5,则梯形的高为_____,对角线为______.
5.一个等腰梯形的上底长为5cm,下底长为12cm,一个底角为60°,则它的腰长为____cm,周长为______cm.
6.在四边形ABCD中,AD∥BC,但AD≠BC,若使它成为等腰梯形,则需要添加的条件是__________(填一个正确的条件即可).
三、解答题
7.如图所示,AD是∠BAC的平分线,DE∥AB,DE=AC,AD≠EC.
求证:
四边形ADCE是等腰梯形.
四、思考题
8.如图所示,四边形ABCD中,有AB=DC,∠B=∠C,且AD 为什么? 参考答案 一、1.D点拨: 梯形的底角分为上底上的角和下底上的角,因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角(指上底上的两个内角或下底上的两个内角),否则就会出现错误,因此A,B选项都不正确,而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行,若平行该四边形就形成了平行四边形了,因此应选D. 2.B点拨: 因为△ABC≌△DCB,△BAD≌△CDA,△AOB≌△DOC, 所以共有3对全等的三角形. 3.C点拨: 设该等腰梯形对角线长为Lcm,因为两条对角线互相垂直, 所以梯形面积为 L2=450,解得L=30, 所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60(cm). 二、4.4: 点拨: 如图所示,连结BD,过A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F. 易知△BAE≌△CDF,在四边形AEFD为矩形,所以BE=CF=3,AD=EF=4. 在Rt△CDF中,FC2+DF2=CD2,即32+DF2=52, 所以DF=4,在Rt△BFD中,BF2+DF2=BD2,即72+42=BD2,所以BD= . 5.7;31 点拨: 如图所示,过点D作DE∥AB交BC于E. 因为AD∥BC,AB∥DE,所以四边形ABED是平行四边形. 所以BE=AD=5(cm),AB=DE. 又因为AB=CD,所以DE=DC, 又因为∠C=60°,所以△DEC是等边三角形, 所以DE=DC=EC=7(cm),所以周长为5+12+7+7=31(cm). 6.AB=CD(或∠A=∠D,或∠B=∠C,或AC=BD,或∠A+∠C=180°,或∠B+∠D=180°) 三、7.证明: 因为AB∥ED,所以∠BAD=∠ADE. 又因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD,所以∠CAD=∠ADE, 所以OA=OD.又因为AC=DE,所以AC-OA=DE-OD即OC=OE,所以∠OCE=∠OEC, 又因为∠AOD=∠COE,所以∠CAD=∠OCE.所以AD∥CE, 而AD≠CE,故四边形ADCE是梯形. 又因为∠CAD=∠ADE,AD=DA,AC=DE,所以△DAC≌△ADE,所以DC=AE, 所以四边形ADCE是等腰梯形. 点拨: 证明一个四边形是等腰梯形时,应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等. 四、8.解: 四边形ABCD是等腰梯形. 理由: 延长BA,CD,相交于点E,如图所示,由∠B=∠C,可得EB=EC. 又AB=DC,所以EB-AB=EC-DC,即AE=DE,所以∠EAD=∠EDA. 因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°,∠E+∠B+∠C=180°,所以∠EAD=∠B. 故AD∥BC.又AD 又AB=DC,所以四边形ABCD是等腰梯形. 点拨: 由题意可知,只要推出AD∥BC,再由AD 20.5等腰梯形的判定B卷 一、七彩题 1.(一题多解题)如图所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=12cm,上底AD=15cm,∠BAD=120°,求下底BC的长. 二、知识交叉题 2.(科内交叉题)如图所示,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OD的中点,且EF≠AD,试判断四边形EBCF的形状,并说明你的理由. 三、实际应用题 3.如图所示,小军将两根长度相等的木条AC,BD交叉摆放,并使木条AC,BD分别与水平线所成的夹角∠1,∠2相等,然后在交点O处钉一个钉子固定,OA 请说明你的理由. 四、经典中考题 4.(连云港,)如图所示,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E,折痕为DF,连结EF并展开纸片. (1)求证: 四边形ADEF是正方形; (2)取线段AF的中点G,连结EG,结果BG=CD,试说明四边形GBCE是等腰梯形. 五、探究学习篇 1.(翻折变换题)如图20-5-8所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB,BC于点F,E,若AD=2,BC=8,求BE的长. 2.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M,N分别为AD,BC的中点,E,F分别是BM,CM的中点. (1)试说明△ABM≌△DCM; (2)四边形MENF是什么图形? 请说明理由. (3)若四边形MENF是正方形,则梯形的高与底边BC的长有何数量关系? 请说明理由. 3.阅读: 下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程.已知: 在四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.试说明四边形ABCD是等腰梯形. 解: 过点D作DE∥AB,交BC于点E,如图20-5-10所示.则∠ABE=∠1①.因为AB=DC,AC=DB,BC=CB②,所以△ABC≌△DCB,所以∠ABC=∠DCB③,所以∠1=∠DCB④,所以AB=DC=DE⑤,所以四边形ABCD是平行四边形⑥,所以AD∥BC⑦.又因为AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形⑧.因为AB=CD,所以四边形ABCD是等腰梯形⑨.阅读填空: (1)说明过程是否有错误? 错在第几步? 答: _______. (2)有人认为第⑧步是多余的,你认为呢? 为什么? 答: ___________. (3)若题目中没有AD≠BC,那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗? 为什么? 答: ___________. 参考答案 一、1.解法一: 如图1所示,过A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F, 在梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°, 因为∠BAD=120°,所以∠B=60°. 在Rt△ABE中,∠BAE=90°-∠B=30°,所以BE= AB=6cm. 因为梯形ABCD是等腰梯形,所以∠C=∠B=60°,所以CF= CD=6cm. 因为四边形AEFD是矩形,所以EF=AD=15cm,所以BC=BE+EF+CF=27cm. 图1图2图3 解法二: 如图2所示,过A作AE∥CD交BC于E点, 因为AD∥BC,所以四边形AECD是平行四边形.所以EC=AD=15cm,AE=CE. 又因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°,因为∠BAD=120°,所以∠B=60°, 因为AB=CD,所以AB=AE,所以△ABE是等边三角形, 所以BE=AB=12cm,所以BC=BE+EC=15+12=27(cm). 解法三: 如图3所示,延长BA和CD交于点P, 在梯形ABCD中,AB=CD,所以∠B=∠C, 因为AD∥BC,所以∠PAD=∠B,∠PDA=∠C,∠BAD+∠B=180°. 因为∠BAD=120°, 所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°,所以△PAD和△PBC都是等边三角形. 所以PA=AD=15cm,PB=PA+AB=12+15=27(cm),所以BC=PB=27cm. 点拨: 以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛,通过它们把梯形的问题转化为平行四边形,三角形等的问题来解决,体现了“转化”的数学思想. 二、2.解: 四边形EBCF是等腰梯形.理由如下: 因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,AD=BC. 又因为AO=OC,OB=OD,所以OA=OD=OC=OB. 又因为E,F分别是OA,OD的中点,所以OE=OF,所以∠OEF=∠OFE. 因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB. 又因为∠EOF=∠BOC,所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB,即2∠OFE=2∠OBC, 所以∠OFE=∠OBC,所以EF∥BC. 因为EF≠AD,所以EF≠BC.所以四边形EBCF是梯形. 因为OE=OF,OB=OC,∠EOB=∠FOC,所以△OEB≌△OFC,所以BE=CF, 所以四边形EBCF是等腰梯形. 点拨: 本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题.要说明一个四边形为等腰梯形,需先说明这个四边形为梯形(这一条很容易被忽略),再说明这个梯形为等腰梯形. 三、3.解: 小军得到的四边形ABCD是等腰梯形,理由如下: 如图所示,延长DA,CB交于点E,因为AC=BD,∠1=∠2,CD=DC. 所以△ADC≌△BCD(S.A.S.),所以AD=BC,∠ADC=∠BCD.所以ED=EC, 所以ED-AD=EC-BC,即EA=EB.所以∠3=∠4, 因为∠3+∠4+∠E=180°,∠ADC+∠BCD+∠E=180°, 所以∠3= ,∠ADC= ,所以∠3=∠ADC.所以AB∥CD, 又因为OA 所以四边形ABCD是等腰梯形. 点拨: 要想使四边形ABCD是等腰梯形,关键是求得AB∥DC和AD=BC,可通过同位角相等和三角形全等分别求出. 四、4.证明: 如图所示, (1)因为∠A=90°,AB∥DC,所以∠ADE=90°. 由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合,知AD=DE,∠DEF=90°. 所以四边形ADEF是矩形,且邻边AD,DE相等. 所以四边形ADEF是正方形. (2)因为CE∥BG,且CE≠BG,所以四边形GBCE是梯形,因为四边形ADEF是正方形, 所以AD=FE,∠A=∠GFE=90°,又点G为AF的中点,所以AG=FG,连结DG. 在△AGD与△FGE中,因为AD=FE,∠A=∠GFE,AG=FG,所以△AGD≌△FGE, 所以∠DGA=∠EGB.因为BG=CD,BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形. 所以DG∥CD.所以∠DGA=∠B.所以∠EGB=∠B.所以四边形GBCE是等腰梯形. 五、探究学习 1.解: 因为△BFE与△DFE关于EF对称,所以△BFE≌△DFE.所以BE=DE. 又因为∠DBC=45°,所以∠EBD=∠EDB=45°,所以∠BED=90°. 过A作AH⊥BC于H,如图所示.因为AD∥BC,所以∠BED=∠ADE=90°. 又因为∠AHE=90°,所以四边形ADEH是矩形.所以AD=HE,AH=DE. 在Rt△ABH和Rt△DCE中,因为AB=DC,AH=DE,所以Rt△ABH≌Rt△DCE,所以BH=EC. 所以EC= ×(BC-AD)= ×(8-2)=3,所以BE=BC-EC=8-3=5. 点拨: 要求BE的长,因为BC已知,只需求EC的长,由已知条件可得∠DEC=90°,故联系梯形常作辅助线,易求EC的长. 2.解: (1)因为四边形ABCD为等腰梯形,所以AB=CD,∠A=∠D. 因为M是AD的中点,所以AM=DM,所以△ABM≌△DCM. (2)四边形MENF是菱形.理由: 由△ABM≌△DCM,得MB=MC. 连结MN,因为N是BC的中点,所以MN⊥BC, 而E,F分别是MB,MC的中点, 所以ME= MB,MF= MC,NE= MB,NF= MC(直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半),所以ME=MF=NF=NE,所以四边形MENF是菱形.(3)梯形的高等于底边BC的长的一半;理由: 因为四边形MENF是正方形,所以∠BMC=90°. 由 (2)知MN是梯形的高,因为N是中点,所以MN= BC. 点拨: 在 (2)的解答过程中,易只判断出是平行四边形的情况,出现说理不彻底不全面的错误,这也是解此类题的难点. 3.解: (1)没有错误; (2)第⑧步不是多余的,因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义;(3)不一定,因为当AD=BC时,四边形ABCD是矩形. 点拨: 做这种阅读材料的题时,一定要耐心,仔细地一步步读题.
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