完整版几何概型的经典题型及答案.docx
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完整版几何概型的经典题型及答案
几何概型的常见题型及典例分析
一•几何概型的定义
1.定义:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或
体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
2.特点:
(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等.
3.计算公式:
P(A)
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
说明:
用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行度量.
4.古典概型和几何概型的区别和联系:
(1)联系:
每个基本事件发生的都是等可能的.
(2)区别:
①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的;
②两种概型的概率计算公式的含义不同.
.常见题型
(一)、与长度有关的几何概型
分析:
在区间[1,1]上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间[1,1]的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的
发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的
11]时’要使co吟的值介于
区间长度有关,符合几何概型的条件解:
在区间[1,1]上随机取一个数X,即x[
0到-之间,需使x或x
222332
22
•••1x2或-x1,区间长度为
33
由几何概型知使cos—x的值介于0到1之间的概率为
22
2
故选A.
符合条件的区间长度J1
所有结果构成的区间长度23.
例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?
思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型.
解记E:
“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”,把AB
1
等分,由于中间长度为妙3=10米,
方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地
取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.
例3、在半径为R的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R的概率思考方法:
由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)O也就是说,样本空间所对应的区域G是一维空间(即直线)上的线段MN而有利场合所对应的区域G是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。
[解法1].设EF与E1F1是长度等于R的两条弦,
直径MN垂直于EF和EiFi,与他们分别相交于K和Ki(图1-2)。
依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN有L(G)=MN=2R注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK,有
2
R-
CC2
L(Gk)KK12OK2、R
2
3R
以几何概率公式得PL(Ga)
3R
3
0
L(G)
2R
2
[解法2].如图1-1所示,设园
O的半径为R,EF为诸平行弦中的任意一
条,直径MN弦EF,它们的交点为K,则点K就是弦EF的中点。
设OK=x
则x[-R,R],所以L(G)=2R
设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”,则A的有利场合是
2R2~X^R,
于是
P(A)塞
2R
[评注]本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率.
分析:
正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.解:
记“面积介于36cm与81cm之间”为事件A,事件A的概率等价于小结:
解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系练习:
2、已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,则乘客到达站台立
即乘上车的概率是()
解析:
设乘客到达站台立即乘上车为事件A,试验的所有结果构成的区
1
域长度为10min,而构成事件A的区域长度为1min,故P(A)=五.答
案:
A
x—2
3、已知集合A{x|—1
3—x
x,则事件“x€AnB”的概率是.
解析:
由题意得A={x|—1 11 在集合A中任取一个元素x,则x€AnB的概率为P^.答案: - 66 4、小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析: 因为客车每小时一班,而小赵在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,所以 他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型.解析: 设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于 (二)、与面积有关的几何概型 内随机取一点,取到的点到0的距离大于1的概率为( A.—B.1—C.D.1- 4488 分析: 由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个,所以符合几何概型•解: 长方形面积为2,以0为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半 圆)面积为二,因此取到的点到0的距离大于1的面积为2,则取到 22 的点到0的距离大于1的概率为 例3、在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大 于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 点评: 本小题中的试验结果是区域中的部分点集,其结果是不可数的,属于几何概型中典型的面积之比。 例4、在三角形ABC中任取一点P,证明: △ABP与厶ABC的面积之比大于口的概率为42。 nn 思考方法本题的随机点是ABP的顶点P,它等可能的分布在ABC中,因此,与样本空间对应的平面区域是ABC,注意到ABP于ABC有公共边AB,所以的面积决定于顶点P离底边AB的距离。 这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。 解设ABP与ABC的面积之比为丄」,ABC的高CD为h,ABP的n 1h 高PG为hi,公共底边AB的长为c,(图2)则Sabp2chhn1Sabc1chhn2 hi 过点P作EF//AB,交CD于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF.于 sEFC SABC 由此,原题得证。 评注本题的样本空间虽然与平面区域相对应,但因三角形ABC于三角 形ABP有公共底边AB,所以,实际变化着的量只有一个(即点P于AB的距离),问题还比较简单,对于较复杂的平面区域,常常要根据题设选定两个变量,由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。 例5、将长为L的木棒随机的折成3段,求3段构成三角形的概率. 解: 设M“3段构成三角形”.xy分别 表示其中两段的长度,则第三段的长度为 Lxy. (Xy)|0xL,0yL,0xyL. 由题意,X,y,Lxy要构成三角形,须有xyLxy,即 练习 1、ABC助长方形,A吐2,BC=1,0为AB的中点•在长方形ABCD内随 机取一点,取到的点到0的距离大于1的概率为 解析: 对应长方形的面积为2X1=2,而取到的点到0的距离小于等于1 12 时,其是以O为圆心,半径为1所作的半圆,对应的面积为2xnX12 1 =1冗,那么满足条件的概率为: 1—27=1—: 答案: B 2、设一Ka<1,—1 积为1,总的事件对应面积为正方形的面积,故概率为4.答案: B 3、已知Q={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0},A={(x,y)|x<4,y>0, x—2y>0},若向区域Q上随机投一点P,则点P落入区域A的概率 区域为三角形OCD及其边界. 容易求得D(4,2)恰为直线x=4,x—2y=0,x+y=6三线的交点. 11 则可得SaAOB=2^6X6=18,Saocd=4X2=4.所以点P落在区域A的 概率为备9.答案: D xy.20 4、在区域xy'.20内任取一点P, 0 则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为() 解析: 区域为△ABC内部(含边界),则概率为 5、在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,贝U使点P到三个顶点的距 离至少有一个小于1的概率是. 解析: 以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC 相交出三个扇形(如图所示),当P落在阴影部分时符 合要求. X2 13 6、在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,J则函数f(x)=歹+ax—b在区间[—1,1]上有且仅有一个零点的概率为. 2 解析: f'(x)=^x+a,故f(x)在x€[—1,1]上单调递增,又因为函数 13 f(x)=^x+ax—b在[—1,1]上有且仅有一个零点,即有f(—1)•f (1)<0 1111 成立,即(—2—a—b)(2+a—b)<0,则(2+a+b)(2+a—b)>0,可化为 0 0 1 2+a—b>0 0 0 由线性规划知识在平 或2+a—b<0,面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概 13 型可以知道,函数f(x)=2x3+ax—b在[—1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a=0,a=1,b=0,b=1围成的正方形的面积,计算可得面积之比为6。 答案: 石 88 7、已知函数f(x)=x2—2ax+b2,a,b€R. (1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2}中任取一个 元素,求方程f(x)二0有两个不相等实根的概率; ⑵若a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率. 解: ⑴: a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2}中任一个 •••a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为12. 设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A, 当a>0,b>0时,方程f(x)二0有两个不相等实根的充要条件为a>b.当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6, 一61 •••方程f(x)=0有两个不相等实根的概率P(A)=12=-. (2) va从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成区域Q={(a,b)|0 设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的
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