山西省太原五中学年高一上学期段考数学试.docx

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山西省太原五中学年高一上学期段考数学试

2016-2017学年山西省太原五中高一（上）9月段考数学试卷

一、选择题

1．如图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪B）∩（∁UB）D．B∪[∁U（A∩C）]

2．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列不表示从P到Q的映射是（　　）

A．f：

x→y=

xB．f：

x→y=

C．f：

x→y=

D．f：

x→y=

3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（　　）

A．2B．1C．1或2D．1或

4．若函数f（x）对任意a＞0且a≠1，都有f（ax）=af（x），则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（　　）

A．f（x）=﹣xB．f（x）=x+1C．f（x）=|x|D．f（x）=x﹣|x|

5．已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=

（x≠0），则f（

）等于（　　）

A．15B．1C．3D．30

6．已知集合P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}，则（　　）

A．P=QB．P⊊QC．Q⊊PD．以上皆错

7．设函数f（x）=

则不等式f（x）＞f

（1）的解集是（　　）

A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）

8．已知f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，则当x＜0时，f（x）的表达式为（　　）

A．f（x）=x|x+2|B．f（x）=x|x﹣2|C．f（x）=﹣x|x+2|D．f（x）=﹣x|x﹣2|

二、填空题

9．已知函数f（x）=

在（﹣∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

10．定义A∇B={z|z=xy+

，x∈A，y∈B}，设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}，则集合（A∇B）∇C的所有元素之和为　　．

11．已知函数f（x）满足：

f（p+q）=f（p）f（q），f

（1）=2，则

+

+

+

+…+

=　　．

12．有下列五个命题：

①若A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集；

②函数y=

的定义域为{x|x≥1}；

③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；

④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线；

⑤不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}．

其中错误命题的序号是　　．

三、解答题

13．设函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5．

（Ⅰ）画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）设A={x|f（x）≥7}，求集合A；

（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，求实数k的取值范围．

14．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．

（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；

（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．

15．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，不等式x2﹣ax﹣a﹣2≤0在集合A上恒成立，求实数a的取值范围．

2016-2017学年山西省太原五中高一（上）9月段考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．如图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪B）∩（∁UB）D．B∪[∁U（A∩C）]

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．

【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．

【解答】解：

由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，

即B与[CU（A∪C）]的交集组成的集合，

即：

B∩[CU（A∪C）]．

故选A．

2．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列不表示从P到Q的映射是（　　）

A．f：

x→y=

xB．f：

x→y=

C．f：

x→y=

D．f：

x→y=

【考点】映射．

【分析】对于P集合中的任何一个元素在后Q集合中都有唯一确定的元素和它对应，这样的对应才是映射．据此对选项一一验证即得．

【解答】解：

∵0≤x≤4而y=

x∈Q，集合A中的元素在集合B中都有像，故选项A是映射．

对于选项B，y=

x∈Q，集合P中的所有元素在集合Q中都有唯一像，故选项B是映射．

对于选项C，集合P中的元素4在集合Q中没有像和它对应，故选项C不是映射．

对于选项D，y=

∈Q，集合P中的元素0在集合Q中都有唯一像，故选项D是映射．

故选C．

3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（　　）

A．2B．1C．1或2D．1或

【考点】集合关系中的参数取值问题．

【分析】先求出集合P，然后根据P∩Q≠∅，则集合P中含有集合Q的元素，从而求出m的取值．

【解答】解：

Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}={x|0＜x

，x∈Z}={1，2}

集合P={0，m}，P∩Q≠∅，集合P中含有集合Q的元素，

∴m=1或2

故选C

4．若函数f（x）对任意a＞0且a≠1，都有f（ax）=af（x），则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（　　）

A．f（x）=﹣xB．f（x）=x+1C．f（x）=|x|D．f（x）=x﹣|x|

【考点】函数的对应法则．

【分析】本题根据新函数定义进行验证，选出不符合条件的函数，即得到本题结论．

【解答】解：

（1）当f（x）=﹣x时，

对任意a＞0且a≠1，有：

f（ax）=﹣ax，

af（x）=a•（﹣x）=﹣ax，

∴f（ax）=af（x），

∴函数f（x）=﹣x为“穿透”函数．

（2）当f（x）=x+1时；

对任意a＞0且a≠1，

f（ax）=ax+1，

af（x）=a（x+1）=ax+a，

∴f（ax）≠af（x），

∴函数f（x）=x+1不是“穿透”函数．

（3）当f（x）=|x|时；

对任意a＞0且a≠1，

f（ax）=|ax|=a|x，|

af（x）=a|x|，

∴f（ax）=af（x），

∴函数f（x）=|x|为“穿透”函数．

（4）当f（x）=x﹣|x|时；

对任意a＞0且a≠1，

f（ax）=ax﹣|ax|=ax﹣a|x|，

af（x）=ax﹣a|x|，

∴f（ax）=af（x），

∴函数f（x）=x﹣|x|为“穿透”函数．

选项中所列函数，不是“穿透”函数的是f（x）=x+1．

故选B．

5．已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=

（x≠0），则f（

）等于（　　）

A．15B．1C．3D．30

【考点】函数的表示方法．

【分析】可令g（x）=

，得出x的值，再代入可得答案．

【解答】解：

令g（x）=

，得1﹣2x=

，解得x=

．

∴f（

）=f[g（

）]=

=

=15．

故选A．

6．已知集合P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}，则（　　）

A．P=QB．P⊊QC．Q⊊PD．以上皆错

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】讲集合P与Q分别用列举法表示出来即可

【解答】解：

法一∵P={x|x=m2+1，m∈N*}={2，5，10，17，…}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}

={x|x=（n﹣2）2+1}={1，2，5，10，17，…}，∴P⊊Q

法二∵P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2﹣4n+5，n∈N*}={x|x=（n﹣2）2+1}

对∀x∈P，则x=m2+1，m∈N+，∴x∈Q，但对于Q中元素，n=1时，x=02+1=1，1∈Q，而1∉P

∴P⊊Q

故答案选B

7．设函数f（x）=

则不等式f（x）＞f

（1）的解集是（　　）

A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】先求f

（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．

【解答】解：

f

（1）=3，当不等式f（x）＞f

（1）即：

f（x）＞3

如果x＜0则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．

如果x≥0有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1

综上不等式的解集：

（﹣3，1）∪（3，+∞）

故选A．

8．已知f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，则当x＜0时，f（x）的表达式为（　　）

A．f（x）=x|x+2|B．f（x）=x|x﹣2|C．f（x）=﹣x|x+2|D．f（x）=﹣x|x﹣2|

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】利用函数的奇偶性：

f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，取x＜0，转化为已知范围，得到所求．

【解答】解：

因为f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，

所以令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|=﹣f（x），

所以f（x）=x|x+2|；

故选A．

二、填空题

9．已知函数f（x）=

在（﹣∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】把函数f（x）=

在（﹣∞，1]上有意义转化为对于任意x∈（﹣∞，1]恒有ax+1≥0成立，然后对a分类求解得答案．

【解答】解：

∵函数f（x）=

在（﹣∞，1]上有意义，

∴ax+1≥0对任意x∈（﹣∞，1]成立，

当a=0时显然满足；

当a≠0时，则

，解得：

﹣1≤a＜0．

∴实数a的取值范围是[﹣1，0）．

综上，实数a的范围是[﹣1，0]．

10．定义A∇B={z|z=xy+

，x∈A，y∈B}，设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}，则集合（A∇B）∇C的所有元素之和为　18　．

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】先弄清楚“A∇B”这种新运算的含义，对集合中的元素逐一进行讨论，做题时一定要把元素与集合对应准确．

【解答】解：

∵x∈A，y∈B

∴当x=0，y=1或2时z=xy+

=0；

当x=2，y=1时z=xy+

=4；

当x=2，y=2时z=xy+

=5；

∴A∇B={0，4，5}

∵x∈A∇B，y∈C

∴当x=0，y=1时z=xy+

=0；

当x=4，y=1时z=xy+

=8；

当x=5，y=1时z=xy+

=10；

∴（A∇B）∇C={0，8，10}．

则集合（A∇B）∇C的所有元素之和为18．

11．已知函数f（x）满足：

f（p+q）=f（p）f（q），f

（1）=2，则

+

+

+

+…+

=　4026　．

【考点】数列与函数的综合．

【分析】函数f（x）满足：

f（p+q）=f（p）f（q），f

（1）=2，可得

=f

（1）=2，代入即可得出．

【解答】解：

∵函数f（x）满足：

f（p+q）=f（p）f（q），f

（1）=2，

∴f（n+1）=f（n）•f

（1），可得

=f

（1）=2，

则

+

+

+

+…+

=2×2013=4026．

故答案为：

4026．

12．有下列五个命题：

①若A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集；

②函数y=

的定义域为{x|x≥1}；

③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；

④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线；

⑤不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}．

其中错误命题的序号是　①②③④　．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】①A={0}，B={1}，A∩B=Φ，但A、B均非空，可判断①；

②由

得：

x≥1或x=0，可判断②；

③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}={1}有1个元素，可判断③；

④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线上一群孤立的点，可判断④；

⑤（x2﹣4）（x﹣6）2≤0⇒x2﹣4≤0或x=6，于是可得不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}，从而可判断⑤．

【解答】解：

①若A∩B=Φ，则A，B之中至少有一个为空集，错误，如A={0}，B={1}，A∩B=Φ，但A、B均非空；

②由

得：

x≥1或x=0，所以，函数y=

的定义域为{x|x≥1或x=0}，故②错误；

③由x2﹣2x+1=0得：

x1=x2=0，故集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}={1}有1个元素，故③错误；

④函数y=2x（x∈Z）的图象是一直线上一群孤立的点，故④错误；

⑤因为（x2﹣4）（x﹣6）2≤0，所以x2﹣4≤0或x=6，解得﹣2≤x≤2或x=6，

所以不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或x=6}，故⑤正确．

综上所述，其中错误命题的序号是①②③④，

故答案为：

①②③④．

三、解答题

13．设函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5．

（Ⅰ）画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）设A={x|f（x）≥7}，求集合A；

（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，求实数k的取值范围．

【考点】函数图象的作法；函数的零点与方程根的关系；一元二次不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5=

，画出y=f（x）的图象，如图．

（Ⅱ）由f（x）≥7可得即①

，或②

．分别求得①、②的解集额，再取并集，即得所求．

（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，即函数f（x）的图象和直线y=k+1有两个不同的交点，结合函数f（x）的图象可得k的范围．

【解答】解：

（Ⅰ）∵函数f（x）=x2﹣4|x|﹣5=

，画出y=f（x）的图象，如图：

（Ⅱ）由f（x）≥7可得x2﹣4|x|﹣5≥7，

即①

，或②

．

解①得x≥6，解②可得x≤﹣6，

故A={x|f（x）≥7}=（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．

（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，即函数f（x）的图象和直线y=k+1有两个不同的交点，

由于当x=±2时，函数f（x）取得最小值为﹣9，

结合函数f（x）的图象可得k+1=﹣9，或k+1＞﹣5，

解得k=﹣10，或k＞﹣6，

即k的范围为{﹣10}∪（﹣6，+∞）．

14．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．

（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；

（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．

【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．

【分析】（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；

（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．

【解答】解：

（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，

解得：

﹣2≤x≤4．

∴A={x|﹣2≤x≤4}．

∁RA={x|x＜﹣2或x＞4}；

（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．

∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．

由（﹣1，1）⊆A，得

，解得a

．

∴实数a的取值范围是

．

15．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，不等式x2﹣ax﹣a﹣2≤0在集合A上恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】解法1，求出集合A，设f（x）=x2﹣ax﹣a﹣2，利用二次函数的图象与性质，得出

，求出a的取值范围；

解法2，求出集合A、B，由A⊆B，得

；从而求出a的取值范围．

【解答】解法一：

集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，…

设f（x）=x2﹣ax﹣a﹣2，

由f（x）的图象知：

当方程x2﹣ax﹣a﹣2=0的小根x1≤﹣1，大根x2≥2时，即可满足题意；…

∴

，即

，

解得a≥

；

∴实数a的取值范围是

．…

解法二：

集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，

B=[

，

]；

∵A⊆B，

∴

；

解得a≥

；

∴a的取值范围是{a|a≥

}．

2017年1月1日