微积分1复习题docx.docx

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高等数学第一学期总复习

一、填空题（每小题2分）

1.已知/（"+1）=2—1,则/（兀）二,其定义域是・

c..Vxcosx

2.lim=.

XT®x+1

3.设/（x）=cos22x,贝IJf（2x）=.

4.设函数fO）可导，y=/（sinx）+/（cos2x），贝tl—=・

dx

5.设f（x）=［月力（0v兀v+oo）,则⑴f（x）的奇偶性为.

（2）/（x）的单调性为.（3）

/（x）的图像凹凸性为.

6.设［―^-dr=e-?

+C（C为任意常数），则/（%）=.

J./W

7.已知r（x-i）=戶，且/（-1）=|，则/（%）=.

£

8.已知f（x）的一个原函数是sin2x,Kij£4f\2x）dx=.

9.在sin2x的麦克劳林展开式中〒丽的系数是•

10.设F（Q=£-t）dt，则F\x）=.

11.设J/'（疋）心=兀4一兀+C,贝【Jf（x）=.

12.

假设当兀一＞0时（1+ax2）5—1〜cosx-1,贝！

］a=

14.设函数=+°'山⑷二+仗一。

"），其中，已知/G）g（y）+/G）gS）二g（“），则

U=.

15.已知lim/^^=3,贝ljlim—-—=XTO%XT（）/（3x）

lim

XT8

（3兀+2严（3兀-5严

（8x-ll）80

1+xx<2

，则lim/[/（%）]=

已知/（x）=\0x=2

F—1x>2

Jxf{x）dx=arcsin+c9贝9—-—

lim

sint2dt

0

函数/（x）

lim

1+兀"

sinx

2°,仅有一个间断点是2

x<0

设/（x）=sin—4-cos2兀，贝!

J/（27）（^）=.

设/©））=-2，则In討比一勿一/仇+力二力t（）h

设门对=Fe-dt，则Ihn住竺上△匕么

Joa—>0a

设/（x）=max（x,x2）,在区间（0,2）内f（x）=_

fsinxc—.

I=cos“x+C，贝[If（x）=•

J0

己知g（x）处处连续,JI/（x）=y£（X-t）2g（t）dt，贝|Jf\x）=

xx<0

已知/（x）=

x>0

x1sin-+sinx

设/（x）在兀=0处连续且当XHO时，f（x）=,则/（0）=

cosxln（l+x）

dsin/,

一clt=.

dxJ（）1+cosr

曲线yx轴、y轴及x=l所围图形绕x轴旋转所得的旋转体体积是

已知lim，•八（>,=AH0,贝,A=

nk-（n-1/

x

设/（x）在兀=0点可导，冃/（0）=0,贝I」lim1

xtO

33.\[f（x）^xf\x）]cbc=

x<0

在兀=0点为可去间断点,则Q=

x>0

35.函数/（x）可导，且曲线y=f\x）（如图1所示），又知f（a）=1,f（h）=3,/（c）=5,则函数y=f（x）的极值是，拐点是

36.设/⑴=兀（兀+1）（2乳+1）（3兀-1）,则在区间（-1,0）内方程f\x）=0有个实根；在区间

（-1,1）内方程f\x）=0有个实根.

37.若函数/（兀）满足方程/2（x）=[f（t）dt9则f（x）=.

JO

皿f1x<1[-2x<1口ii

38.k/（%）=<‘gM=\,则g[f（x）]=.

[-1x>1[2\x>I

39.由曲线尸Jl_（兀-1）?

与直线y=x所围平面图形绕y轴旋转一周得到的

旋转体的体积V的积分表达式为（不必计算）。

40.设/（兀）是连续函数，且lim/（x）=1,则limf'\-（sin-）/（r）6?

r=.

XT2XT+bJxf

41.设^f（t-x）dt=e'xl则/（兀）=

\_

X

.无一1

x<0

0v兀v1

x>l

，当（）时无穷大量.

（B）XT4-00

（D）XT1

二、选择题（每小题2分）

（A）XT一8

（C）xtO

2.下列函数屮，在[-龙,龙]上满足罗尔定理的条件是（）.

（B）

/（X）=sinx

（C）

5.

函数/（兀）在（d,b）内连续，则（）也在（d,b）内连续.

6.

若/（-x）=/（x）（-oo0,且f\x）V0,则在（0,4oo）内有（）.

7.设y=f（x）是方程4y=0的一个解，若/（%）＞0,且f\xQ）=0，则/（%）在x0处（）.

（A）取极大值（B）取极小值

（C）不一定取到极值（D）—定不取到极值

&函数（）的需求价格弹性型与价格无关.

Ep

（B）

9.下列不等式屮,（）成立.

（A）j]In2xdx＞[inxdx

（C）j+x3dx＞x2dx

10.下列广义积分收敛的是（）.

（A）r^dx

（B）

（D）

jln2xJx>|<

Inxdx

•-2

dx>

（B）

（A）Q=a-bp

Q=a-bp-cp2

dx

x\nx

（D）

gdxexln2x

11、

1・x2+cos2x-\

12、函数f（x）=<

\r2-1

x-1

2

（C）不存在（D）oo

兀H1在点x=1处（）

X=1

（A）不连续

（C）可导但导数不连续

（B）连续但不可导

（D）可导且导数连续

（A）0（B）1

lim—

xt8（x+sinx）*"

13>出方程ey+xy-e=0所确定的隐函数的微分dy=（）。

（A）dx

y+ex

（B）——dx

%+o'

（C）Vdx

x+ey

（D）—『dxx^ey

14、设函数/（x）-阶可导且处处满足方程r（x）+3（/V））2+2^/W=0,若兀。

是该函数的一

个驻点且/（x0）<0,则/⑴在点兀°处（）。

（A）取极大值（B）取极小值（C）无极值（D）不确定

15、若歹=——在［—1,1］上满足罗尔屮值定理，则定理屮的§=（）

1+十

（A）-1（B）0（C）2（D）1

16、当x>0时，曲线y=xsin丄（）。

（A）仅有水平渐近线（B）仅有铅直渐近线

（C）既有水平还有铅直渐近线（D）既没有水平也没有铅直渐近线

17、设/（兀）是sir?

兀的一个原函数，贝ljdf（x2）=（）。

（A）2xsin2x2dx（B）sinxAdx

（C）

7w

sin（/（x））广（x）

（D）

19、设/（x）单调可导，g⑴是/⑴的反函数，则羊型sinM=（）。

dxJ1t

20、下列广义积分收敛的是（）o

（A）0

（B）I

（C）

-1

（D）1

23、设/（x）是可导函数，则（）

（A）若/（兀）为奇函数,则广（兀）为偶函数

（B）若/（x）为奇函数，则广（对亦为奇函数

（C）若畑为单调函数,则广（兀）亦为单调函数

（D）若兀兀）为非负函数,则广（兀）亦为非负函数24>设y=/（-x）可导，贝ljy=（）。

（A）f\x）

（B）一/©）

（C）f\-x）

（D）-f（-x）

25、r（xo）=O且厂（兀。

）>0是y=/（%）在点%0处有极值的（）条件。

（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）无关

26、若点（1,3）是曲线y：

（A）-3/2,-9/2

（C）3/2,-9/2

27、已知F（x）是f（x）

二处'+/z?

上的拐点，则a,b分别为（）。

（B）-3/2,9/2

（D）3/2,9/2

的原函数，贝〔J「/（f+d）d/=（）o

Ja

（A）F（x）-F（a）

（B）F（t+a）-F（2a）

（C）F（x+a）-F（2a）

（D）F（r）-F（a）

28>设|f\x）dx=x2e2x+c,

则f（x）=（）o

（A）2兀戶

（B）2兀沪

（C）心（2+兀）

（D）2壮"（1+兀）

29>设/（x）连续且不等于零，若[xf（x）dx=arcsinx+c,贝ljf必=（）。

J•J/（兀）

（A）-（l-x2）3/2+C（B）-（l-x2）3/2+C

33

（C）--（l-x2）3/2+C（D）--（l-x2）3/2+C

33

30、当（）吋，广义积分f°e^dx收敛。

J—oo

（A）k>0（B）k>0（C）k<0（D）^<0

31.设f（x）=£*nAsint~dt,g（x）=x34-x4,W当xtO吋/（x）是

（兀）的（）无穷小.

（A）等价（B）同阶非等价（C）高阶（D）低阶

32.如果/⑴处处二次可微，

则lim[lim门。

+2心H-g+ZQ+g]=

«—>0力to]讣

（A）（B）f3

（C）（D）

33.设函数/⑴处处可导，且有/z（0）=1，并对任何实数%和h，恒有：

/（%+//）=/（x）+/（/z）+2加，则

/©）=（）•

（A）2兀+1（B）x+1（C）x（D）夕

34.设/（%）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，口有/⑷=f（b），若/（%）不恒等于常数，则在（讪内

（）•

（A）至少存在一点使得/（§）>0（B）至少存在一点使得广（§）>0

（C）任一点§处，总有/毬）=0（D）任一点§处，总有/毬）丰0

35.设/（0）=0,=则函数/（x）在兀=0处（）.

•—0X

（A）可导，且广（0）H0（B）取得极大值

（C）取得极小值（D）不可导

36.设/（X）是（-oo,+oo）上奇函数，且对任意实数兀冇：

/（x+2）-/（x）=/

（2）成立，则当/（X）是以2为周期的周期函数吋，必有/

（1）=（）.

（A）-l（B）0（C）l（D）2

37.y=ax3-^-bx2+cx+d在同一x处有一拐点和一水平切线，则a,应满足关系式为（）.

（A）a-c（B）a+/?

+c=0

38.jxv（l+lnx）dx=（）.

（A）—xv+,+lnx+C

x+l

（C）xlnx+C（D）—xxlnx+C

2

39.lim（丄+^—+•••+」一）=（）.“too〃+]n+2n^n

（A）In2（B）e（C）0（D）1

♦

sinx兀HQ]

40.设f（x）=

kx=0

（A）不存在（B）存在且与&有•关

x<0

x>0

x<0

x>0

42.设兀t0时,严T与対是同阶无穷小,则"（）.

（A）l（B）2（C）3（D）4

43.设/（兀）在（Y,z）上有定义，在点x=0处连续，lim/（兀）H0,则兀=0是g（x）=<"丿心°

XT8

0x=0的（）.

（A）第一类间断点（B）第二类间断点

（C）连续点（D）间断点但类型不能确定

44•设/（兀）在x=0的某个领域内可导，且/'（0）=0及lim/（X）=-t贝ij（）.

XTO1-cosx2

（A）/'（0）必是/©）的一个极小值

（B）厂（0）必是广（x）的一个极大值

（C）/（0）必是f（x）的一个极小值

（D）/（O）必是/（兀）的一个极大值

45.若已矢nm>N=+贝l」（）.

（A）T>

1

2N—\

（B）T<

1

2N—\

（C）T>

1

2AF

（D）T<

1

2^V

46.设常数k>0,则f（x）=]nx--+k在（0,+oo）内零点的个数是（）.e

（A）0（B）l（C）2（D）3

47.设/（x）=lnx+f/⑴d/,则f（x）=（）.

（A）lnx+（e-l）（B）lnx+C（C为任意常数）

（D）lnx

（C）lnx+

2-e

（A）sin1-3（B）-sinl-3

50.下列广义积分发散的是（）.

（A）

（C）

gdx

2xlnx

（C）sin1+3

（B）f°e^xdx

J—oo

（D）^x\x\xdx

（D）sinl+15

（C）f（x）=O（g（x））

（B）f（x）=O（g（x））但/（x）不等价于g（x）

三、计算题（每小题10分）

（♦丄◎COSX-A/COSX

1.计算lim•

gosirrx

—（1—cosx）

x<0

3.设1

，讨论/（x）在兀=0点的连续性和可导性.

4.

求不定积分

xex

5.

计算定积分Jcosx（x+cosx）dx.

6.

设/w=r「dt，求f（x）

7.

若lim

2°兀一asin兀

►sinx

0

8.

设冇函数/（%）=

11

x~ex-\

j_

2

xH0，讨论兀=0点的连续性和可导性.

x=0

9.

ex+y-xy=0,求

10.函数f（x）=<

X3

0

dy

dx

x>1

0<%

x<0

（°>0卫工1）,求/z（x）.

11•当d为何值时,

1jr

可导函数/（X）=6zsinx+-sin3x在x=—处取得极值?

33

是极大值还是极小值？

试求出该极值。

■

12.设/（兀）的一个原函数是"门"，求

1+xsin兀」

―士farcsin兀1+x2r

13.求dx.

JFVi^7

15.设，讨论函数/（兀）在x=0处连续性.可导性

dx

22.

求极限lim.

XTO+X（1-C0S\/x）

（兀）二

1+对

111丄丄

23.y=0+（—）“+（—）"+/+炉（°>0）,求y'.ax

24.设Di是由抛物线尸2/和直线“a,*2及），二0所围成平面区域；D2是由抛物线尸

和直线y=0,兀=口所围成平面区域，其中0

试求：

（1）D）绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积V|；

（2）D2绕y轴旋转一周所围成的旋转体的体积V2;

（3）问：

当。

为何值吋Vi+V2取最大值？

试求此最大值。

25.设/（兀）连续，（p（x）=[lf（xt）dt9且=（A为常数）,

JoXTOX

求（p\x）,并讨论0（%）在X=O处的连续性.

28.计算极限lim[sin丄]

求广义积分「疔

29.

“T8nfn

[•Z1.x2+2处、_〃

30.求hm（1+——）

31.已知曲线y=a\/x（a>0）与曲线y=InVx，在点（x0?

y0）处有公共切线,,

求:

⑴常数a的值及切点（x0,y0）；

（2）M曲线与兀轴围成的平面图形面积；

（3）平面图形绕兀轴旋转而成的旋转体体积；

32.对抛物线y=4-x2,

（1）求它与兀轴所围部分的面积；

⑵求曲线上x坐标为召的P点处的切线方程（石>0）,并求这条切线与兀轴及直线）=4的交点;

⑶如果⑵中P点处切线与曲线及兀轴和y=4所围图形而积最小，则P点应在何处?

33•设曲线y=a（4-x2\（°>0）,过此曲线与兀轴交点（-2,0）及（2,0）作曲线的两条法线,求曲线与这两条法线所围成的平而图形而积的最小值

34.

西=1,xtl+i=2-—^—,n=\2y…….，求证：

数列｛xn｝的极限存在并求其极限

1+E

36.

叫[1+兀+=a3,求

（1）

性和可导性

40.设f（x）在点x=0的邻域内三阶可导，且

/（0）；广（0）；厂（0）;；

（2）lim[l+如卡

XT0X

41.已知函数/（x）连续且f（x）=^+[2f（x）dx,求[2f（x）dx

l+xJ°Jo

四、证明题（每小题5分）

1.设/⑴在[0,1]±连续，在（0,1）内可导，且/（0）=/⑴=0,ifiM=max｛|/（x）|xe[O,l]）.iiE明:

至少

存在一点兵（0,1）使|/毬）|>2M.

2.设/（Q在[0,1]±连续，目丄/（兀）心二0，证明至少存在一点兵[0,1],使/（I-§）=-/©

3.设F（x）=^（x-2t）e~,2dt，证明：

（1）F（x）是偶函数；

（2）F（x）在（0,2）上是增函数.

4.

5.用极限定义证明:

lim伴丄

“too2h+3/1

函数/（兀）在[0,1]上有定义，且单调不增，证明对任何aw（0,l）有「f（x）dx>aCf（x）dx.

6.

设x”=（i+古）sin呼，证明：

数列&”｝没冇极限

［•X—\c

7.用极限定义证明：

1-^=0

8.

/©-/⑷

设x>o且Ovovi,证明不等式：

xa—ax<\—a

9.设f（x）在区间［°上］连续，（a.b）内可导，求证：

（a.b）使得广©=

10•设函数/（%）在［°上］连续，（G0）内可导（a,b>0）,求证：

方程

bf（b）-f（a）=xln（—）/•（%）在（a,b）内至少有一个根

a

11•设/（x）在［1,2］上二阶可导，且/

（2）=0,乂F（x）=（x—1）2/0）,求证：

m兵（1,2）使得严©=0

f（x}—X

12.设/（x）三阶可导，/（0）=0,广（0）=1,广'（0）=2,求证：

lim—=1

XT（）JT

13.设/（X）在（a,b）可导，且f（x）在（a,b）内有界，证明：

f（x）在（a,b）内有界

14.若/H（x）>0,求证：

/（t7+/?

）+f（a-h）>2f（a）,（力>0）

15•设/（X）在［a,b］连续且/⑷=f（b）,广⑴在@0）内存在且几⑷>0,f'（x）在（a,b）

内存在，求证：

See（a9b）使得/H（c）<0

16•若当XG［0,1］时Ir\x）\

|.f（O）|+|/f（l）|

17.设f（x）在［0,1］连续，在（0,1）可导，且/（0）=0,,求证：

［\lQfMdx］2>^f3（x）dx

18.设/（x）在［0,1］可导，且f（l）=2^xf（x）dx,求证：

丐e（0,l）使得f©=一爷

19.设f（x）在［⑦切连续，且/（x）>0,求证：

B^e［a,b］使得^f（x）dx=-^f{x）dx

rba十bfb

20.设/（兀）在［d,b］连续月.单调上升，求证：

xf（x）dx>^—\.f（x）dx

Ju2J0

21.设f（x）在［0,1］二阶可导，且/（0）=/（I）,广

（1）=1,求证：

疑（0,1）使得厂©=2

19.求jmax（l,x2）dx.

20.设函数/（x）=x+Qcosx（a>l）在区间（0,27V）内冇极小值，且极小值为0,求函数/（兀）在该区间内的极大值.