人教课标版高中数学必修4《任意角》教学设计.docx
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人教课标版高中数学必修4《任意角》教学设计
《任意角》教学设计
一、教学目标
(一)核心素养:
通过这节课了解任意角的概念,掌握正角,负角,零度角及象限角的定义,掌握所有与
角终边相同的角(包括
角)的表示方法;培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题,培养学生运用运动变化的观点认识事物,能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力.
(二)学习目标
1.推广角的概念、引入大于
角和负角;
2.理解并掌握正角、负角、零角的定义;
3.理解任意角以及象限角的概念;
4.掌握所有与
角终边相同的角(包括
角)的表示方法;
(三)学习重点
理解任意角的概念;掌握终边相同角的表示方法.
(四)学习难点
掌握终边相同角的表示.
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)回顾初中学习的角的概念.
(2)阅读教材第2页到第5页的内容.
2.预习自测
(1)下列角中终边与330°相同的角是()
A.30°
B.-30°
C.630°
D.-630°
【知识点】终边相同的角
【解题过程】先作出330°的角的终边,在选项里面寻找预期终边相同.
【思路点拨】作图注意旋转方向
【答案】B.
(2)-1120°角所在象限是()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【知识点】终边相同的角,象限角概念
【解题过程】先作出-1120°的角的终边,在选项里面寻找其所在的象限.
【思路点拨】作图注意旋转方向
【答案】D.
(3)若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?
【知识点】时间单位的转换,表盘一圈360°
【解题过程】先算出2小时分针转过的角度,再加上40分钟所旋转的角度.
【思路点拨】作图注意旋转方向
【答案】
(二)课堂设计
1.知识回顾
本节课是章始课,需要联系和回顾的是初中学习的角的概念.
2.问题探究
探究一从生活中感受角的新定义.
●活动①生动展示旋转过程,并增强了爱国教育.
观看一段跳水运动员的视频,重点是空中转体部分,并用慢动作回放过程.提问中间提及的角度我们以前没有学习过,那么该如何定义这个新的量呢?
【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的,引出任意角的必要性
●活动②贴近自己的生活实际,再次切身体会任意角形成的过程.
思考:
你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?
假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准?
当时间校准以后,分针转了多少度?
[取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【设计意图】带着活动①的问题继续实际操作动手感受这个转动过程,继续思考任意角的定义.
这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见,我们规定:
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle).这样零角的始边与终边重合.为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“
”可简记为α.如果α是零角,那么α=0°.
如教材图1.1.3
(1)中的角是一个正角,它等于750°;图1.1.3
(2)中,正角α=210°,负角
;这样,我们就把角的概念推广到了任意角(anyangle),包括正角、负角和零角.
探究二巩固正负角的定义
●活动①巩固训练正负角的概念.
做出下列各角:
-50°,405°,210°,-200°,-450°,-950°12′.
【设计意图】仿照教材例子,继续研究给定度数的任意角的练习
●活动②过手演示,加强记忆.
将活动①中的例子让学生动手,利用手中的播时钟的方式旋转出角形成的过程.
【设计意图】通过动手练习加强从旋转的方式认识任意角的定义.
探究三探究象限角的定义.
●活动①
角是一个几何量,我们经常要将几何问题代数化,那么我们要通过怎样的工具才能将角这个几何量转化成代数信息呢?
(此处让学生互相探讨出坐标系的答案)
我们探讨出来了要将角放在坐标系中,那么该怎么放更合适呢?
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角(quadrantangle).如教材图1.1-4中的30°角、-210°角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:
如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
例1.指出下列各角:
-50°,405°,210°,-200°,-450°,-950°12′所在象限.
【知识点】象限角
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图,注意正负角的旋转方向
【思路点拨】做出坐标轴,按照正负角的定义作图.
【答案】-50°为第四象限角405°为第一象限角
210°为第三象限角-200°为第二象限角
-450°为终边在y轴负半轴的角-950°12′为第二象限角
同类型训练题:
指出下列各角:
328°,-32°,-392°所在象限.
【知识点】象限角,终边相同的角
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图,注意正负角的旋转方向
【思路点拨】做出坐标轴,按照正负角的定义作图.
【答案】以上三个角均与-32°终边相同,在第四象限.
将角按照上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系内任意一条射线OB,以他为终边的角是否唯一?
如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?
不难发现,在右图中,如果-32°的终边是OB,那么328°,-392°,……角的终边都是OB,并且与-32°角的终边相同的这些角都可以表示成-32°的角与k个(k
Z)周角的和,如
328°=-32°+360°(这里k=___1___)
-392°=-32°-360°(这里k=___-1___)
设
,则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=_0__).因此,所有与-32°角终边相同的角,连同-32°角在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任一元素显然与-32°角终边相同.
一般地,我们有:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
,
即任意一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
说明:
(1)k
Z;“+”也可以是“-”;
(2)α是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍
例2在0°~360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
【知识点】终边相同角的表示
【数学思想】类比,归纳
【解题过程】先找出一个在[0,360°]的代表角,在套用终边相同角的表示公式,理解记忆.
【思路点拨】
【答案】
是第二象限角
同类型训练题:
在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:
(1)-54°18′;
(2)395°8′;(3)-1190°30′.
【知识点】终边相同角的表示,象限角
【数学思想】类比,归纳,数形结合
【解题过程】
(1)
(2)
(3)
【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角,在套用终边相同角的表示公式,理解记忆.
【答案】
(1)是第四象限角
(2)是第一象限角
(3)是第三象限角
【设计意图】巩固终边相同角的表示方式,同时训练了象限角的概念.
●活动2
例3.写出终边在y轴上的角的集合.
【知识点】终边相同角的表示,轴线角.
【数学思想】类比,归纳
【解题过程】先找到y轴正半轴的角90°,再将其按照周期为180°进行逆时针旋转.
【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角,在套用终边相同角的表示公式,理解记忆.
【答案】
同类型训练题:
(1)各象限的角组成的集合.
(2)终边落在y轴右侧的角的集合.
【知识点】终边相同角的表示
【数学思想】类比,归纳
【解题过程】
(1)在[0,360°]内找到各象限的代表角范围,再加上旋转的周期360°即可.
第一象限角0°<α<90°,所以第一象限角{α∣k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z};第二象限角90°<α<180°,所以第二象限角{α∣90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z};第三象限角180°<α<270°,所以第三象限角{α∣180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z};第四象限角270°<α<360°,所以第四象限角{α∣270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
(2)在[-90°,90°]内找到各象限的代表角,终边落在y轴右侧的角的-90°<α<90°,所以{α∣-90°+k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角,再套用终边相同角的表示公式,理解记忆,蕴含了对周期的理解.
【答案】
(1)第一象限角{α∣k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二象限角{α∣90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三象限角{α∣180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四象限角{α∣270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
(2){α∣-90°+k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
例4.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【知识点】终边相同角的表示
【数学思想】类比,归纳
【解题过程】
满足-360°≤β<720°的
【思路点拨】将直线先分成两条射线,在从中总结归纳出直线的旋转的周期结论.
【答案】
同类型训练题:
若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是_____________
【知识点】终边在一条直线的角的终边
【数学思想】类比,归纳
【解题过程】首先考虑β终边相同的角的表示方法
,然后将这条射线
【思路点拨】从规律中总结,并能结合图形提炼出周期.
【答案】
【设计意图】巩固终边相同的角的表示,让学生通过类比用周期的方式理解并能将其推广应用.
●活动3(探究型例题)
例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)
(1)
(2) (3)
【知识点】正负角的概念,终边相同的角的应用
【数学思想】类比,数形结合
【解题过程】先把每条终边表示出来,然后按照逆时针的方向由小角到大角写出区域.
【思路点拨】由旋转的方式理解区域的形成过程及周期的理解.
【答案】
(1)
(2)
(3)
同类型训练题:
已知角α是第二象限角,
求:
(1)
角是第几象限的角;
(2)2α角终边的位置.
【知识点】正负角的概念,终边相同的角的应用及象限角的考察.
【数学思想】类比,数形结合
【解题过程】
在不等式两边同除2或者同乘以2即可.
【思路点拨】利用象限角的表示方法结合不等式的运算性质.
【答案】
(1)
(2)
3.课堂总结
知识梳理(以课堂内容为根据,结合教学目标的几点要求,对涉及到的知识细致梳理)
(1)任意角的概念
(2)象限角的概念
(3)终边相同角的表示方法
重难点归纳(本节课的中心知识点在此进行回顾,对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨)
(1)任意角的概念
(2)终边相同角的表示方法
(三)课后作业
基础型
1.下列说法中,正确的是( )
A.第一象限的角一定是锐角
B.锐角一定是第一象限的角
C.小于90°的角一定是锐角
D.第一象限的角一定是正角
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】排除法,举反例
【解题过程】将每一个选项的定义回顾一下.
【思路点拨】注意角的终边一定,但角的大小没有确定.
【答案】B
2.-50°的角的终边在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图注意负角是顺时针旋转
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】D
3.一角为30°,其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为.
【知识点】终边相同角的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】逆时针旋转二周增加
又增加
【思路点拨】逆时针旋转一周增加
【答案】750°
4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?
(1)420°,
(2)-75°,(3)855°,(4)-510°.
【知识点】终边相同角的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图,注意正负角的旋转方向360
【思路点拨】先找到含有的周期角的倍数
【答案】
(1)420°=1×360°+60°,第一象限角;
(2)-75°=-1×360°+285°,第四象限角;(3)855°=2×360°+135°,第二象限角;(4)-510°=-2×360°+210°,第三象限角;
5.分针一分钟转过的角度是度;时针一小时转过的角度是度;分针一昼夜转过的角度是度.
【知识点】正负角的概念
【数学思想】
【解题过程】60分钟分针转一圈,那么一分钟就是
;12小时时针一圈,
那么一小时转
以此类推.
【思路点拨】在头脑要有时钟的模型,理解好每个刻度代表多少度,并能将终边相同的角的概念利用好.
【答案】.-6,-30,-8640.
能力型
6.设
,
,那么有()
A.
B.
C.
(
)
D.
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】
【解题过程】利用不等式将每个集合的角表示出来
【思路点拨】角的终边确定,但角的大小不定.
【答案】D
自助餐
1.下列命题正确的是()
(A)终边相同的角一定相等
(B)第一象限的角都是锐角
(C)锐角都是第一象限的角
(D)小于
的角都是锐角
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】特值法举反例,排除法
【解题过程】回顾终边相同角,象限角等定义
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】C
2.若
是第一象限的角,则
是第象限角.
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】
【解题过程】由题知
两边同除以
即可.
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】一或三
3.一角为
,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__.
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】1110°
4.集合M={
=k
,k∈Z}中,各角的终边都在()
A.
轴正半轴上
B.
轴正半轴上
C.
轴或
轴上
D.
轴正半轴或
轴正半轴上
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】
【解题过程】分别给k赋值,直到旋转一个周期为止.
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】C
5.设
,
C={α|α=k180o+45o,k∈Z},
,则相等的角集合为__.
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】归纳,类比
【解题过程】作图观察角的终边的位置
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】B=D,C=E
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- 任意角 教课 高中数学 必修 任意 教学 设计