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111随机抽样
1.(2011·宁波月考)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性是( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最大
B.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最小
C.与第几次抽样无关,每一次抽到的可能性相等
D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本有关
[答案] C
[解析] 简单随机抽样过程中,每个个体被抽到的机会均等.
2.(2011·广州期末)具有A、B、C三种性质的总体,其容量为63,将A、B、C三种性质的个体按1:
2:
4的比例进行分层抽样调查,如果抽取的样本容量为21,则A、B、C三种元素分别抽取( )
A.12,6,3 B.12,3,6
C.3,6,12D.3,12,6
[答案] C
[解析] ∵A、B、C按1:
2:
4的比例抽取的样本数为21,∴抽取A,21×
=3,抽取B,21×
=6,抽取C,21×
=12.
3.问题:
①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个,现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本;②从20名学生中选出3名参加座谈会.
方法:
Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.
其中问题与方法能配对的是( )
A.①Ⅰ,②ⅡB.①Ⅲ,②Ⅰ
C.①Ⅱ,②ⅠD.①Ⅲ,②Ⅱ
[答案] C
[解析] ①容器与抽取的样本无关,且总体数比较大,故可用系统抽样来抽取样本,②总体与样本都较少,可用随机抽样法.故选C.
4.为了了解参加一次知识竞赛的3204名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本,那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[答案] C
[解析] 因为3204=80×40+4,所以应随机剔除4个个体,故选C.
5.(2010·湖北理,6)将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003,这600名学生分住在三个营区.从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
[答案] B
[解析] 根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为
=12,故抽取的号码构成以3为首项,公差为12的等差数列.在第Ⅰ营区001~300号恰好有25组,故抽取25人,在第Ⅱ营区301~495号有195人,共有16组多3人,因为抽取的第一个数是3,所以Ⅱ营区共抽取17人,剩余50-25-17=8人需从Ⅲ营区抽取.
6.(2010·山东潍坊)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c,且a、b、c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( )
A.800B.1000C.1200D.1500
[答案] C
[解析] 因为a、b、c成等差数列,所以2b=a+c,
∴
=b,∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为1200双皮靴.
7.(2010·安徽文)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.从普遍家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是____________.
[答案] 5.7%
[解析] 普通家庭3套或3套以上住房比例为
,而高收入家庭为
.
∴该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为
=
=5.7%.
8.(2011·天津理,9)一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为________.
[答案] 12
[解析] 由于男、女运动员比例4:
3,而样本容量为21,因此每份为3人,故抽取男运动员为12人.
1.(2011·福建文,4)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6B.8C.10D.12
[答案] B
[解析] 由分层抽样的特点有30:
40=6:
x,则x=8,即在高二年级学生中应抽取8人.
2.(2010·山东日照模考)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件,根据以上信息,可得C产品的数量是( )
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量(件)
130
A.900件B.800件
C.90件D.80件
[答案] B
[解析] 设A,C产品数量分别为x件、y件,则由题意可得:
,
∴
,∴
,故选B.
3.(2010·曲阜一中)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)的同学有30人,若想在这n个人中抽取50个人,则在[50,60)之间应抽取的人数为( )
A.10B.15C.25D.30
[答案] B
[解析] 根据频率分布直方图得总人数
n=
=100,依题意知,应采取分层抽样,再根据分层抽样的特点,则在[50,60)之间应抽取的人数为50×
=15.
4.(2010·山东潍坊质检)一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:
1,用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为
,则总体中的个体数是________.
[答案] 40
[解析] 设x、y分别表示A,B两层的个体数,由题设易知B层中应抽取的个体数为2,
∴
=
,即
=
,解得y=8或y=-7(舍去),∵x:
y=4:
1,∴x=32,x+y=40.
5.(2010·广东文,17)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
[解析]
(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目,而20至40岁的58人中,只有18人收看新闻节目,故收看新闻节目的观众与年龄有关.
(2)27×
=3,∴大于40岁的观众应抽取3名.
(3)由题意知,设抽取的5名观众中,年龄在20岁至40岁的为a1,a2,大于40岁的为b1,b2,b3,从中随机取2名,基本事件有:
(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共十个,设恰有一名观众年龄在20至40岁为事件A,则A中含有基本事件6个:
(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),
∴P(A)=
=
.
6.(文)(2010·泰安模拟)某校举行了“环保知识竞赛”,为了了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分),进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:
(1)求a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;
(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.
组号
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
5
0.05
第2组
[60,70)
b
0.35
第3组
[70,80]
30
c
第4组
[80,90]
20
0.20
第5组
[90,100)
10
0.10
合计
a
1.00
[解析]
(1)a=100,b=35,c=0.30
由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:
p=0.30+0.20+0.10=0.60.
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:
×6=3人,
第4组:
×6=2人,
第5组:
×6=1人,
所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人.
设第3组的3位同学为A1、A2、A3,第4组的2位同学为B1、B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种可能抽法如下:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),
其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为
=
.
(理)(2011·北京石景山测试)为预防甲型H1N1病毒暴发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如下表:
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
z
已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?
(3)已知y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率.
[解析]
(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽取B组疫苗有效的概率约为其频率,即
=0.33,
∴x=660.
(2)C组样本个数为y+z=2000-(673+77+660+90)=500,
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,则应在C组抽取个数为
×500=90.
(3)设测试不能通过的事件为A,C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z),由
(2)知y+z=500,且y,z∈N,所有基本事件有:
(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30)共6个,
若测试不能通过,则77+90+z>2000×(1-0.9),即z>33,
事件A包含的基本事件有:
(465,35),(466,34)共2个,∴P(A)=
=
,故不能通过测试的概率为
.
7.(2011·安徽淮南一模)某中学的高二
(1)班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验,方法是先从小组里选出1名同学做试验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的试验更稳定?
并说明理由.
[解析]
(1)P=
=
,∴某同学被抽到的概率为
.
设有x名男同学,则
=
,∴x=3.
∴男、女同学的人数分别为3,1.
(2)把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b,用(x,y)记录第一次抽到学生编码为x,第二次抽到学生编码为y,则选取两名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共12种,其中有一名女同学的有6种,
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P=
=
.
(3)
1=
=71,
2=
=71,
s
=
=4,
s
=
=3.2.
第二位同学的试验更稳定.
1.(2010·四川文,4)一个单位职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12,24,15,9B.9,12,12,7
C.8,15,12,5D.8,16,10,6
[答案] D
[解析] 从各层中依次抽取的人数分别是40×
=8,40×
=16,40×
=10,40×
=6.
2.(2011·山东实验中学期末)完成下列两项调查:
①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次是( )
A.①简单随机抽样,②系统抽样
B.①分层抽样,②简单随机抽样
C.①系统抽样,②分层抽样
D.①②都用分层抽样
[答案] B
[解析] ①总体中高收入、中等收入、低收入家庭有明显差异,故用分层抽样;②总体容量与样本容量都较小,故采用简单随机抽样.
3.(2010·广东茂名市调研)某学校在校学生2000人,为了迎接“2010年广州亚运会”,学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a:
b:
c=2:
5:
3,全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取( )
A.15人B.30人C.40人D.45人
[答案] D
[解析] 由题意,全校参与跑步的人数占总人数的
,高三年级参与跑步的人数为
×2000×
=450,由分层抽样的概念知,高三年级参与跑步的学生中应抽取
×450=45人,故选D.
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