专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx

专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx

《专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案

蚂蚁爬行的最短路径

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：

+5，-3，+10，-8，-9，+12，

-10．

回答下列问题：

（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；

（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．

解：

（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；

（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒

2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距

离是.

解：

如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．

AB=22125．

3．（2006?

茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正第方6体题左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A

沿其表面爬到点B的最短路程是cm

解：

由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线

是（）

A．A?

P?

BB．A?

Q?

BC．A?

R?

BD．A?

S?

B解：

根据两点之间线段最短可知选A．

故选A．

5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁

从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）

2

解：

如图，AB=1221210．故选C．

6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：

展开正方体的点M所在的面，

∵BC的中点为M，

1

所以MC=BC=1，

2

在直角三角形中AM==．

7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。

解：

将盒子展开，如图所示：

1111

AB=CD=DF+FC=EF+GF=×20+×20=20cm．

2222

故选C．

1）展开前面右面由勾股定理得AB==cm；

2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm；

所以最短路径长为5cm，用时最少：

5÷2=2.5秒．

10．（2009?

恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，

只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。

解：

将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==25．

C1处（三条棱长

11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点

如图所示），问怎样走路线最短？

最短路线长为

∴AC1=

22222

BC124212242325

A点爬到B点，

12．如图所示：

有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从

那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

解：

由题意得，

路径一：

AB==；

路径二：

AB==5；

路径三：

AB==；

∵>5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出

发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：

（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

解：

（1）AB的长就为最短路线．

然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；

若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），

或（cm）

所以蚂蚁经过的最短路程是cm．

（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，

最长路程是30cm．

14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？

解：

图1中，cm．

图2中，cm．

图3中，cm．

∴采用图3的爬法路程最短，为cm

A爬

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点

到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。

解：

第一种情况：

把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，

则所走的最短线段是=6cm；

第二种情况：

把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，

所以走的最短线段是=cm；

第三种情况：

把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，

所以走的最短线段是=2cm；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台

阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm

解：

三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，由勾股定理得：

x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．

故答案为25．

17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这

个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。

解：

将台阶展开，如下图，

因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，

所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：

蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

18．（2011?

荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点

开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．

解：

∵PA=2×（4+2）=12，QA=5

∴PQ=13．

故答案为：

13．

19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上

A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

解：

如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，

则AB的长即为A处到B处的最短路程．

解：

在Rt△ABD中，

因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．

所以AB=17cm．

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．

20．（2009?

佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

3）求点B1到最短路径的距离．

解：

（1）如图，

木柜的表面展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．

故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1．（2分）

（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，

爬过的路径的长是．（3分）

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是

．（4分）

l1>l2，故最短路径的长是．（5分）

（3）作B1E⊥AC1于E，

则?

?

为所求．（8分）

21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬

行的最短距离.

22．有一圆形油罐底面圆的周长为

故答案为：

16cm．

24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B

处吃食物，它爬行的最短路线长为

解：

AB=5212213m

6

23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高

第3题

为5，则蚂蚁爬行的最短距离为

解：

因为圆柱底面圆的周长为2π×6=12，高为5，

所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，

根据勾股定理，对角线长为=13．

故蚂蚁爬行的最短距离为13．

24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A

出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是

解：

如图所示：

故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm．

故答案为：

15．

25．（2006?

荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子表示）

解：

QA=3，PB1=2，

即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，

根据勾股定理得：

QP=

A处爬行到对面的

26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

问题：

某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

AB，即是这条最短路线图．

如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所

示的位置，连接AM，即是这条最短路线图．

∴在圆锥侧面展开图中BP=2025，第5题∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25cm．

故答案是：

25cm．

28．如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D为VB上一点，VD=．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂

蚁爬行的最短路程是（）

解：

==，

∴设弧BC所对的圆心角的度数为n，

解得n=90，

A．则蚂蚁爬行的最短路程长为

∴∠CVD=90°，

∴CD==4，

29．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点解：

连接AA′，作OC⊥AA′于C，

∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°，

∴AA′=A2C=53．

30．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是

解：

由题意知，底面圆的直径为2，

故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为

解得n=90°，

所以展开图中圆心角为90°，

根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：

16163242．

31．（2006?

南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是。

解：

由题意知底面圆的直径=2，故底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

4n

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=，

180

解得n=90°，

所以展开图中的圆心角为90°，根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为42．

32．（2009?

乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂

解：

由题意知，底面圆的直径AB=4，

故底面周长等于4π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=2n6

360

解得n=120°，

所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，

根据勾股定理求得AD=33，所以蚂蚁爬行的最短距离为33．

33．如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．解：

把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，

13

∴OC=OA=r

22

∴AC=OA2OC233r

2

∴AA′=A2C=33r，

即蚂蚁运动的最短路程是33r．

34．如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M．蚂蚁

沿怎样的路径行走最合算？

为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究．

（1）善于表现的银银首先列出了一组数据：

圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm，就这组

数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；

（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：

圆锥的锥角等于60°（如图②），请问：

蚂蚁如何行走

最合算？

（3）通过

（1）、

（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，

①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？

②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．

解：

（1）2π?

10=nπ?

40÷180°n=90°，

AM==20．

∴底面半径的长和母线但缺少母线的长．（3）为慧慧缺少条件．

（2）知道母线的长，知是SA的中点，根据三角