江苏九年级数学知识点总结.docx
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江苏九年级数学知识点总结
江苏九年级数学知识点总结
上册第一章、图形与证明
(二)
(一)、知识框架
等腰三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定
1.等腰三角形
线段的垂直平分线的性质和判定
角的平分线的性质和判定
。
2.直角三角形全等的判定:
HL
平行四边形的性质和判定:
4个判定定理
矩形的性质和判定
3.平行四边形
菱形的性质和判定:
3个判定定理
正方形的性质和判定:
2个判定定理
4.等腰梯形的性质和判定
注意:
(1)解决梯形问题的基本思路:
通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。
即需要掌握常作的辅助线。
(2)梯形的面积公式:
S
1
a
bhlh(l-中位线长)
2
三角形的中位线
第1
页共29页
5.中位线
梯形的中位线
(二)知识详解
2.1、等腰三角形的判定、性质及推论
性质:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
推论:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即
“三线合一”)
2.2、等边三角形的性质及判定定理
性质定理:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边
第2页共29页
三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,
有3条对称轴。
判定定理:
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都
相等的三角形是等边三角
2.3、线段的垂直平分线
形。
(1)线段垂直平分线的性质及判定
性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定:
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(2)三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相
等。
(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两
弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
2.4、角平分线
(1)角平分线的性质及判定定理
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
判定:
在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分
线上。
第3页共29页
(2)三角形三条角平分线的性质定理
性质:
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相
等。
(3)如何用尺规作图法作出角平分线
2.5、直角三角形
(1)勾股定理及其逆定理
定理:
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是
直角三角形。
(2)直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
2.6、几种特殊四边形的性质
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
菱形
对边平行,四条边
对角相等
对角线互相垂直平分,每一条对角
都相等
线平分一组对角
正方形
对边平行,四条边
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等,每一
都相等
条对角线平分一组对角
等腰梯形
两条底边平行,两
同一底上的两个
对角线相等
腰相等
角相等
2.7.几种特殊四边形的判定方法
第4页共29页
平行四边(1形)两组对边分2)别两平组行对(边分3)别一相组等对(边平行且相等(4)两条对角线互5)相两平组分对(角分别相等
矩形
(1)有三个角2是)直是角平(行四边形,并且有3)一是个角是直角(
平行四边形,并且两条对角线相等
菱形
(1)四条边都2)相是等平(行四边形,并且有3)一是组平邻边相等(行四边形,并且两条对角线互相垂直
正方形
(1)是矩形,并且有一2)组是邻菱边形相,等并(且有一个角是直角
等腰梯形
(1)是梯形,并且两2)条是腰梯相形等,(并且同一底上的两个角相等
(3)是梯形,并且对角线相等
2.8、三角形的中位线:
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
区别三角形的中位线与三角形的中线。
⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
2.9、梯形的中位线:
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意:
中位线是两腰中点的连线,而不是两底中点的连
线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
第5页共29页
第二章、数据的离散程度
(一)知识点复习
1、极差:
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。
计算公式:
极差=最大值-最
小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量,可以反映一组数据的变化范围。
一般说,极差越小,则说明数据的波动幅度越小。
2、方差
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差,记作S2。
巧用方差公式:
1
—
—
—
2]
1、基本公式:
S2=n[(X1-X)
2+(X2-X)
2++(Xn-X)
1
2
n
[(X
1
2
22
n2
—2
]
2、简化公式:
S=
+X++X)-nX
1
2222—2
也可写成:
S=n(X1+X2++Xn)-X
1
2
2
2
2
—2
]
3、简化②:
S=n[(X’1
+X’2
++X’n)-nX
1
2222—2
也可写成:
S=n(X’1+X’2++X’n)-X
3、标准差:
第6页共29页
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S。
1
2
2
x1
x
.....xnx
S=n
意义:
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征,常用来
比较两组数据的波动大小,我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均
数相等或比较接近的情况。
2、方差较大的波动较大,方差较小的波动较小。
3、方差大,标准差就大,方差小,标准差就小。
因此标准差同样反映数
据的波动大小。
注意:
对两组数据来说,极差大的那一组不一定方差大,反过来,方差大
的极差也不一定大。
第三章、二次根式
(一)、知识框架
第7页共29页
概念
性质
二
次
根
式
运算
定义:
形如:
a(a0)
最简二次根式:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开尽方的因数或因式。
(a)2
a(a
0)
a2
a(a为实数)
ab
a
b(a
0,b0)
a
a(a
0,b
0)
b
b
加减法:
先将二次根式化成最简的二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘法:
abab(a0,b0)
除法:
a
a(a0,b0)
b
b
混
合
运
算
第8页共29页
第四章、一元二次方程
(一)知识框架
一元二次方程的概念
ax2bxc0(a0)
直接配方法
一
元因式分解法
二一元二次方
次程的解法
方配方法
程
公式法
x
bb24ac
2a
ax2
bxc0(a
0),
一元二
0,方程有两个不
△
次方程
时,
一元二次方
相等的实根;△=0
的根的
程的探索
方程有两个相等的实
情况
△0时,方程无
根;
实根.
一元二
次方程
的根与
系数的
方程ax2
bxc0(a
0),的
关系
b
两根为x1,x2,则x1x2
a
c
x1x2
数量关系a
列一元二次方程
一元二次方程的应用
解应用题
等量关系
第9页共29页
(二)、知识详解
1、一元二次方程定义
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方
程。
(二)、一元二次方程的一般形式
ax2bxc0(a0),它的特征是:
等式左边是一个关于未知数x的二次多
项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一
次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
2、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。
当b0时,
xab,xab;当b<0时,方程没有实数根。
2、配方法
一般步骤:
(1)方程ax2bxc0(a0)两边同时除以a,将二次项系数化为1.
(2)将所得方程的常数项移到方程的右边。
(3)所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
(4)配方,化成(xa)2b
(5)开方。
当b0时,xab;当b<0时,方程没有实数根。
第10页共29页
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的
一般方法。
一元二次方程
ax2bxc0(a0)的求根公式:
x
b
b2
4ac(b2
4ac0)
2a
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方
法。
3:
一元二次方程根的判别式
根的判别式
1、定义:
一元二次方程ax2
bxc0(a
0)中,b2
4ac叫做一元二次方程
ax2
bxc0(a
0)的根的判别式。
2、性质:
当b2
4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当
b2
4ac=0
时,方程有两个相等的实数根;当b24ac<0时,方程没有实数根。
4:
一元二次方程根与系数的关系
b
如果方程ax
2
bxc0(a0)的两个实数根是
x1,x2,那么
x1x2
a,
x1x2
c
a。
应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
第11页共29页
解:
设应将每千克小型西瓜的售价降低x元
(32x)(200
x
40)24200
根据题意,得:
0.1
解得:
x1=0.2,x2=0.3答:
应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或
0.3元。
第五章、中心对称图形二(圆的有关知识)
(一)、知识框架
与
圆的定义,弧、弦等概念
圆
有
关
垂径定理及其推论
圆的对称性
的
位
置
弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论
关
基本性质
系
圆周角定理及其推论
不共线的三点确定一个圆
确定圆的条件
三角形的外接圆
点在圆上
d
r
点和圆的位置关系
点在圆外
d
r
圆
点在圆内
d
r
切
线
长
判
定
相交
d
r
理
定
直线与圆的位置关系
d
r
三
相切
性
角
形
d
r
质
的
第12页共29
相离
内
页
切
圆
第13页共29页
正多边形和圆
圆内接正多边形
正多边形的半径、边心距、
正多边形的有关计算
正多边形的内角、中心角、
外角、正多边形的周长、
正
多
圆内接正多边形
正三、六、十二边形
边
形
作法----等份圆
与
正四、八边形
圆
n
R
l
180
扇形的弧长、面积
nR2
1lR
S扇形
360
2
其中l为弧长,R为半径
侧面积
S侧
S展开的扇形
第14
页共29页
全面积
圆锥
S全
S底
S侧
轴截面
(二)知识点详解
一、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
第15页共29页
2、圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半
径的圆;
(补充)2、垂直平分线:
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的
垂直平分线
3、角的平分线:
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距
离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条
直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内;
2、点在圆上dr点B在圆上;
3、点在圆外dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点;
2、直线与圆相切dr有一个交点;
3、直线与圆相交dr有两个交点;
第16页共29页
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)
无交点
d
R
r;
外切(图2)
有一个交点
d
R
r;
相交(图3)
有两个交点
R
r
dRr;
内切(图4)
有一个交点
d
R
r;
内含(图5)
无交点
d
R
r;
五、垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两
条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
第17页共29页
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对
的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,只
要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC
弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在⊙O中,∵AB∥CD
∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所
对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称1推3定理,即上述四
个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:
①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一
第18页共29页
半。
即:
∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的
圆周角所对的弧是等弧;
即:
在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧
是半圆,所对的弦是直径。
即:
在⊙O中,∵AB是直径或∵
C90∴C90∴AB是直径
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角
形是直角三角形。
即:
在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中
线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:
在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形
第19页共29页
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙
O的切线
(2)性质定理:
切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过
切点。
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就
能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这
点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA
十一、两圆公共弦定理
第20页共29页
圆公共弦定理:
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:
O1O2垂直平分AB。
即:
∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
十二、圆内正多边形的计算
(1)正三角形:
在⊙O中△ABC是正三角形
有关计算在RtBOD中进行:
OD:
BD:
OB
1:
3:
2;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,
OE:
AE:
OA1:
1:
2:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,
AB:
OB:
OA1:
3:
2.
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
A
第21页共29页
OSl
B
l
nR
1、扇形:
(1)弧长公式:
180;
S
nR2
1lR
(2)扇形面积公式:
360
2
n:
圆心角R:
扇形多对应的圆的半径l:
扇形弧
B1
长S:
扇形面积
O
2、圆锥侧面展开图
R
C
(1)S表
A
rB
S侧
S底=Rrr2
V1r2h
(2)圆锥的体积:
3
第22页共29页
3、圆锥与圆柱的比较
名称圆柱圆锥
图形
图形的形成
由一个矩形旋转得到,如矩
由一个直角三角形
过程
形ADD’G绕直线AB旋转一
旋转得到,如Rt△
周
SOA绕直线SO旋转一
周
图形的组成
两个底面圆和一个侧面
一个底面圆和一个
侧面
面积、体积的
S侧=2πrh
S侧=πr
计算公式
S全=S侧+2S底=2πrh+2πr2
S全=S侧+S底=πr+
V=πr2h
πr2
V=πr2h
下册第六章
二次函数
1.定义:
一般地,如果yax2
bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的
二次函数.
第23页共29页
2.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.
几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
y
ax2
x
0
(y轴)
(0,0)
y
ax2
k
当a
0
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