2最值系列之辅助圆.docx
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2最值系列之辅助圆
最值系列之辅助圆
最值问题的必要条件是至少有一个动点,因为是动态问题,所以才会有最值.在将军饮马问题中,折点P就是那个必须存在的动点.并且它的运动轨迹是一条直线,解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可.
当然,动点的运动轨迹是可以变的,比如P点轨迹也可以是一个圆,就有了第二类最值问题——辅助圆.
在这类题目中,题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆,也很少把这个圆画出来,因此,结合题目给的条件,分析出动点的轨迹图形,将是我们面临的最大的问题.
若已经确定了动点的轨迹圆,接下来求最最值的问题就会变得简单了,比如:
如下图,A为圆外一点,在圆上找一点P使得PA最小.
当然,也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的,比如:
如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为________.
一、从圆的定义构造圆
圆的定义:
平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.
构造思路:
若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是圆或圆弧.
练习:
1.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C,则A’C长度的最小值是__________.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__________.
3.如图,已知等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线,把△ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B’.当PB=6时,在直线l变化过程中,求△ACB’面积的最大值.
4.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是_________.
二、定边对直角
知识回顾:
直径所对的圆周角是直角.
构造思路:
一条定边所对的角始终为直角,则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.
图形释义:
若AB是一条定线段,且∠APB=90°,则P点轨迹是以AB为直径的圆.
练习:
1.已知正方形ABCD边长为2,E、F分别是BC、CD上的动点,且满足BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则PD的最小值为_________.
2.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是________.
3.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是_________.
4.【寻找定边】如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=5,AC=4.D是弧BC上的一个动点,连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为 .
5.【寻找定边与直角】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为_________.
6.如图,正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发,以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 .
7.如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接BE,过点A作AF⊥BE于点F,点P是AD边上另一动点,则PC+PF的最小值为________.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,D是BC上一动点,CE⊥AD于E,EF⊥AB交BC于点F,则CF的最大值是_________.
三、定边对定角
在“定边对直角”问题中,依据“直径所对的圆周角是直角”,关键性在于寻找定边、直角,而根据圆周角定理:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少,而直角则可一般为定角.例如,AB为定值,∠P为定角,则A点轨迹是一个圆.
当然,∠P度数也是特殊角,比如30°、45°、60°、120°,下分别作对应的轨迹圆.
若∠P=30°,以AB为边,同侧构造等边三角形AOB,O即为圆心.
若∠P=45°,以AB为斜边,同侧构造等腰直角三角形AOB,O即为圆心.
若∠P=60°,以AB为底,同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即为圆心.
若∠P=120°,以AB为底,异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即为圆心.
练习:
1.如图,等边△ABC边长为2,E、F分别是BC、CA上两个动点,且BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则CP的最小值为________.
2.如图,△ABC为等边三角形,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为_________.
3.如图,AB是圆O的直径,M、N是弧AB(异于A、B)上两点,C是弧MN上一动点,∠ACB的角平分线交圆O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是_______.
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