春人教版八年级数学下册同步测试微专题五 和平行四边形的判定有关的证明.docx
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春人教版八年级数学下册同步测试微专题五和平行四边形的判定有关的证明
微专题五__与平行四边形的判定有关的证明__[学生用书B20]
(教材
P46例3)
如图1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证:
四边形BFDE是平行四边形.
图1
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,∴EO=FO.
又∵BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.
【思想方法】判定四边形是平行四边形有五种方法:
(1)定义(两组对边分别平行);
(2)两组对边分别相等;(3)一组对边平行且相等;(4)两组对角分别相等;(5)对角线互相平分,到底用哪一种方法要根据具体情况确定.本题涉及对角线的关系,故选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判断,同时本题是平行四边形的性质和判定的综合运用,先用性质得出对角线的关系,再用判定定理证出平行四边形.
如图2,在▱ABCD的对角线BD上取两点E,G,使BE=DG.在对角线AC的延长线上取两点F,H,使AH=CF.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
图2
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DG,AH=CF,∴OB-BE=OD-DG,OA+AH=OC+CF,
∴OE=OG,OH=OF,∴四边形EFGH是平行四边形.
[2018·道外区一模]如图3,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别为E,F,连接BF,CE.
(1)求证:
四边形BECF是平行四边形;
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
图3
解:
(1)证明:
∵D是BC中点,∴BD=CD,
∵BE⊥AE,CF⊥AE,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在△BED与△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴ED=FD,
∵BD=CD,∴四边形BECF是平行四边形;
(2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC.
[2018·恩施]如图4,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.求证:
AD与BE互相平分.
图4
变形3答图
证明:
如答图,连接BD,AE.
∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.
∵FB=CE,∴BC=EF.
在△ACB和△DFE中,
∴△ACB≌△DFE(ASA).∴AB=DE.
∵AB∥ED,∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AD与BE互相平分.
[2018·嘉兴秀洲中学月考]如图5①,在▱ABCD中,点E是边BC的中点,DE的延长线与AB的延长线相交于点F.
图5
(1)求证:
△CDE≌△BFE;
(2)如图②,连接BD,CF,判断四边形CDBF的形状,并说明你的理由.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠F=∠CDE,
∵点E是边BC的中点,∴BE=CE,
在△BFE和△CDE中,
∴△CDE≌△BFE(AAS);
(2)四边形CDBF是平行四边形.理由:
∵△CDE≌△BFE,∴DE=EF,
又∵BE=CE,
∴四边形CDBF是平行四边形.
如图6,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中,任意选取两个作为条件,以“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?
若是,请证明;若不是,请举出反例;
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明(命题请写成“如果…,那么…”的形式).
解:
(1)以①②作为条件的命题是真命题.
证明:
∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)假命题:
①在四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形;
②在四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.
反例:
如答图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形;
如答图②,在四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形.
[2019·九江期末]如图7,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°.
(1)求证:
AE∥BD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求证:
四边形EFCD是平行四边形.
图7
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠EAD=∠DBC,
∴∠EAD=∠ADB,
∴AE∥BD;
(2)∵AE∥BD,∴∠AED+∠BDE=180°,
∵∠AED=90°,∴∠BDE=90°.
∵CF⊥BD,∴∠EDB=∠CFD=90°,∴DE∥CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,
∵∠EAD=∠CBF,∠AED=∠BFC=90°,
∴△ADE≌△BCF,∴DE=CF,
∴四边形EFCD是平行四边形.
如图8,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,若MA=MC.
(1)求证:
CD=AN;
(2)若AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,求四边形ADCN的面积.
解:
(1)证明:
∵AB∥CN,
∴∠DAM=∠NCM.
在△AMD和△CMN中,
∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN.又∵AD∥CN,
∴四边形ADCN是平行四边形,∴CD=AN;
(2)∵AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,
∴AN=2MN=2,则AM=
=
=
,
∴S△AMN=
AM·MN=
×
×1=
.
∵四边形ADCN是平行四边形,
∴S▱ADCN=4S△AMN=4×
=2
.
[2019春·历下区期末]如图9,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b满足b=
+
+16.一动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动;动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)求B,C两点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCB是平行四边形?
并求出此时P,Q两点的坐标;
(3)当t为何值时,△PQC是以PQ为腰的等腰三角形?
并求出P,Q两点的坐标.
图9
解:
(1)∵b=
+
+16,
∴a=21,b=16,故B(21,12),C(16,0);
(2)由题意,得AP=2t,QO=t,
则PB=21-2t,QC=16-t,
∵当PB=QC时,四边形PQCB是平行四边形,
∴21-2t=16-t,解得t=5,
∴P(10,12),Q(5,0);
(3)如答图,当PQ=CQ时,过Q作QN⊥AB,
变形8答图
由题意,得122+t2=(16-t)2,解得t=
,
故P(7,12),Q
;
如答图,当PQ=PC时,过P作PM⊥x轴,
由题意,得QM=t,CM=16-2t,
则t=16-2t,解得t=
,2t=
,
故P
,Q
.
综上所述,当△PQC是以PQ为腰的等腰三角形时,P,Q的坐标分别为P(7,12),Q
或P
,Q
.
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