均值不等式教案.docx
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均值不等式教案
均值不等式教案
教学设计
.2均值不等式
整体设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式.本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义,几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用.本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明,在思考与讨论过渡下,给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深学生对均值不等式的理解.教材用作差配方法证明均值不等式.作差配方法是证明不等式的基本方法,在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法.在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件,并掌握基本技能.一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积想和,拆高次,凑和为定值,则积有最大值”.
本节的《新课标》要求是:
探索并了解均值不等式的证明过程;会用均值不等式解决简单的最大问题.从历年的高考来看,均值不等式是重点考查的内容之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,大多是大小判断、求最值、求取值范围等.不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,题型广泛,涉及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,因而成为历届高考中的热点.几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影.书中练习A、B和习题都是基本题,要求全做.
鉴于均值不等式的特殊作用,因此本节设计为2课时完
成,但仅限于基本方法和基本技能的掌握,不涉及高难度的技巧.课时重在均值不等式的探究,第二课时重在均值不等式的灵活运用.且在教学中,将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来,让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2+b2>2ab的联系.
三维目标
.通过本节探究,使学生学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意义,掌握定理中的不等号“》”
取等号的条件是:
当且仅当这两个数相等.
.通过对均值不等式的不同形式应用的研究,渗透“转化”的数学思想,提高学生运算能力和逻辑推理能力.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.
.通过本节学习,使学生体会数学于生活,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度,逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯.
重点难点
教学重点:
用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索不等式a+b2>ab的证明过程;用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题.
教学难点:
用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式a+b2>ab等号成立条件的运用,应用均值不等式解决实际问题.
课时安排
课时
教学过程
第1课时
导入新
思路1.像教材那样,直接给出均值定理,然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法.因为有了上两节的不等式的探究学习,因此这样引入虽然直白却也是顺其自然.
思路2.教师自制风车,让学生把教师自制的风车转起来,这是学生小时候玩过的得意玩具;手持风车把手,来了一个360。
的旋转,不但风车转得漂亮,课堂气氛也活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐,情境引入达到高潮,此时教师再提出问题.
推进新
新知探究
提出问题
1均值定理的内容是什么?
怎样进彳丁证明?
2你能证明a2+b2>2ab呵?
3你能宾试给出均値不等式
的一个儿何□观解释吗?
4均值不等式有哪些变形式?
活动:
教师引导学生阅读均值定理的内容,或直接用多媒体给出.点拨学生利用上两节课所学知识进行证明,这点学生会很容易做到,只需作差配方即可.接着让学生明确,这个结论就是均值不等式,也叫基本不等式.其中,任意两个正实数a、b的a+b2叫做数a、b的算术平均值,数ab叫做a、b的几何平均值.均值定理可以表述为:
两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.强调这个结论的重要性,在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用,是高考的一个热点.可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件,a、b必须是正数,等号成立
当且仅当a=b,以加深学生对此结论的理解,为后面求最值
时的“一正二定三相等”打下基础.
利用不等式的性质对均值不等式两边平方,则很容易得到a2+b2>2ab.这是一个很重要的结论.一般地,如果a、b€R那么a2+b2>2ab也可让学生重新证明这个结论:
•/a2+b2-2ab=2,
当b时,有2>0.
当a=b时,有2=0,所以2>0,即卩a2+b2>2ab.
这个不等式对任意实数a,b恒成立,是一个很重要的
不等式,应用非常广泛.请同学们注意公式的结构形式,成
立的条件是a、b为实数,等号成立的条件是当且仅当a=b
时成立.“当且仅当”即指充要条件.
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究.
如图1,AB是圆的直径,点c是AB上一点,Ac=a,Be
=b.过点c作垂直于AB的弦DD,连结ADBD•你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?
图1
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形.容易
证明△Ac"ADcB.所以可得cD=ab.或由射影定理也可得到cD=ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长,a
+b2表示的是半径长.由于半弦长不大于半径,即cD小于
或等于圆的半径,用不等式表示为:
a+b2>ab.
显然,上述不等式当且仅当点c与圆心重合,即当a=b时,等号成立.
还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式.如若a、b
€R+,则ab a
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- 均值 不等式 教案
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