二次函数导学案前几节.docx

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二次函数导学案前几节

第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质

一、学习目标：

1．知道二次函数的图象是一条抛物线；

2．会画二次函数y＝ax2的图象；

3．会根据图像叙述二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．

二、探索新知：

画二次函数y＝x2的图象．

【提示：

画图象的一般步骤：

①列表；②描点③连线（用平滑曲线）．】

列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x2

…

…

描点，并连线

由图象可得二次函数y＝x2的性质：

1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．

3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．

因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．

6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．

四、知识延伸

例1在上面的直角坐标系中，画出函数y＝

x2，y＝x2，y＝2x2的图象．

解：

列表并填：

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y＝

x2

…

…

x

…

－2

－1.5

－1

－0.5

0

0.5

1

1.5

2

…

y＝2x2

…

…

归纳：

抛物线y＝

x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；

对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．

例2请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－

x2，y＝－2x2的图象．

列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x2

…

…

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y=－

x2

…

…

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y＝－2x2

…

…

归纳：

抛物线y＝－x2，y＝－

x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，

对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．

五、理一理

1．抛物线y＝ax2的性质

图象（草图）

开口

方向

顶点

对称轴

有最高或最低点

最值

a＞0

当x＝____时，y有最_______值，是______．

a＜0

当x＝____时，y有最_______值，是______．

2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______

对称，开口大小_______________．

3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；

当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；

因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．

六、课堂训练

1．填表：

开口方向

顶点

对称轴

有最高或最低点

最值

y＝

x2

当x＝____时，y有最_______值，是______．

y＝－8x2

2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．

3．二次函数y＝（m－1）x2的图象开口向下，则m____________．

4．如图，

①y＝ax2

②y＝bx2

③y＝cx2

④y＝dx2

比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．

___________________________________

七、目标检测

1．函数y＝

x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，

当x＝___________时，有最_________值是_________．

2．二次函数y＝mx

有最低点，则m＝___________．

3．二次函数y＝（k＋1）x2的图象如图所示，则k的取值

范围为___________．

4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．

第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

一、学习目标：

1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；

2．会叙述二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的平移．

二、探索新知：

在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．

解：

先列表

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x2＋1

…

…

y＝x2－1

…

…

描点并画图

观察图象得：

开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）点

最值

y＝x2

y＝x2－1

y＝x2＋1

2．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．

3．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．

四、理一理知识点

1．

y＝ax2

y＝ax2＋k

开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）点

最值

a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；

a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．

增减性

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；

抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；

把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．

3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．

五、课堂巩固训练

1．填表

函数

草图

开口方向

顶点

对称轴

最值

对称轴右侧的增减性

y＝3x2

y＝－3x2＋1

y＝－4x2－5

2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．

3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

5．抛物线y＝－

x2－2可由抛物线y＝－

x2＋3向___________平移_________个单位得到的．

6．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．

7．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．

第4课时二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质

一、学习目标：

1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；

2．会叙述二次函数y＝a（x-h）2的性质，及平移原则；

二、探索新知：

画出二次函数y＝－

x2，y＝－

（x＋1）2，y－

（x－1）2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．

先列表：

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y＝－

（x＋1）2

…

…

y＝－

（x－1）2

…

…

描点并画图．

1．观察图象，填表：

函数

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

y＝－

（x＋1）2

y＝－

（x－1）2

2．请根据图像回答问题．

①抛物线y＝－

（x＋1）2，y＝－

x2，y＝－

（x－1）2的形状大小____________．

②把抛物线y＝－

x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－

（x＋1）2；

把抛物线y＝－

x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－

（x＋1）2．

四、整理知识点

y＝ax2

y＝ax2＋k

y＝a（x-h）2

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．

五、课堂训练

图象（草图）

开口

方向

顶点

对称轴

最值

对称轴

右侧的增减性

y＝

x2

y＝－5（x＋3）2

y＝3（x－3）2

2．抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．

3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．

把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．

4．将抛物线y＝－

（x－1）x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．

5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．

六、目标检测

1．抛物线y＝2（x＋3）2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．

2．抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4（x－4）2，则

m＝__________，n＝___________．

3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．

4．若抛物线y＝m（x＋1）2过点（1，－4），则m＝_______________．

第5课时二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质

一、学习目标：

1．会画二次函数的顶点式y＝a（x－h）2＋k的图象；

2．会叙述二次函数y＝a（x－h）2＋k的开口方向，顶点坐标，增减性；

3．会应用二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质解题．

二、探索新知：

画出函数y＝－

（x＋1）2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．

列表：

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

…

y＝－

（x＋1）2－1

…

…

由图象归纳：

函数

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

y＝－

（x＋1）2－1

2．把抛物线y＝－

x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，

就得到抛物线y＝－

（x＋1）2－1．

四、理一理知识点

y＝ax2

y＝ax2＋k

y＝a（x-h）2

y＝a（x－h）2＋k

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

2．抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．

y＝3x2

y＝－x2＋1

y＝

（x＋2）2

y＝－4（x－5）2－3

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

2．y＝6x2＋3与y＝6（x－1）2＋10_____________相同，而____________不同．

3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝

x2相同的解析式为（）

A．y＝

（x－2）2＋3B．y＝

（x＋2）2－3

C．y＝

（x＋2）2＋3D．y＝－

（x＋2）2＋3

4．二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值为__________________．

5．将抛物线y＝5（x－1）2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．

6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．

7．若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．

六、目标检测

1．

开口方向

顶点

对称轴

y＝x2＋1

y＝2（x－3）2

y＝－（x＋5）2－4

2．抛物线y＝－3（x＋4）2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．

3．将抛物线y＝2（x＋1）2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．

4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）

第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

一、学习目标：

1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；

2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；

3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．

二、探索新知：

1．求二次函数y＝

x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．

解：

将函数等号右边配方：

y＝

x2－6x＋21

y＝

x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．

2．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．

四、理一理知识点：

y＝ax2

y＝ax2＋k

y＝a（x－h）2

y＝a（x－h）2＋k

y＝ax2＋bx＋c

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

五、课堂练习

1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．

2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．

3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

六、目标检测

1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝

x2－2x－1的顶点坐标．

2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

一、学习目标：

1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；

2．知道二次函数中a，b，c以及b2－4ac对图象的影响．

二、基本知识练习

1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________．

2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．

3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式b2－4ac＝______________．

4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．

5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），b2－4ac＞0时，一元二次方程有_______________，

b2－4ac＝0时，一元二次方程有___________，b2－4ac＜0时，一元二次方程_______________．

四、知识点应用

1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物

线与x轴交点的横坐标）．

例1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵

坐标）．

例2求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

3．a、b、c以及b2－4ac对图象的影响．

（1）a决定：

开口方向、形状

（2）c决定与y轴的交点为（0，c）

（3）b与－

共同决定b的正负性

（4）b2－4ac

例3如图，由图可得：

a_______0

b_______0

c_______0

b2－4ac______0

例4已知二次函数y＝x2＋kx＋9．

①当k为何值时，对称轴为y轴；

②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；

③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．

五、课后练习

1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．

2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．

3．如图：

由图可得：

a_______0

b_______0

c_______0

b2－4ac______0

六、目标检测

1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．

2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

3．如图：

由图可得：

a_________0

b_________0

　　　　　　　c_________0

　　　　　　　b2－4ac_________0

第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法

一、学习目标：

1．会用待定系数法求二次函数的解析式；

2．实际问题中求二次函数解析式．

二、课前基本练习

1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．

2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．

3．将抛物线y＝－（x－1）2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的

解析式为____________________．

4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－

x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解

析式为________________________________．

四、例题分析

例1已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．

例2已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

例3已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．

求抛物线的解析式．

五、归纳

用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：

1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．

2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a（x－h）2＋k．

3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），

设两根式：

y＝a（x－x1）（x－x2）．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）

六、课堂训练

1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次

函数的解析式．

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与

y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

4．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．

5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？

写出函数关系式及t的取值范围．