高中数学 第1章 统计 5 用样本估计总体教学案 北师大版必修3.docx
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高中数学第1章统计5用样本估计总体教学案北师大版必修3
2019-2020年高中数学第1章统计5用样本估计总体教学案北师大版必修3
1.众数、中位数、平均数
(1)众数的定义:
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个,也可以是多个.
(2)中位数的定义及求法:
把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数.
(3)平均数:
①平均数的定义:
如果有n个数x1、x2、…、xn,那么=,叫作这n个数的平均数.
②平均数的分类:
总体平均数:
总体中所有个体的平均数叫总体平均数.
样本平均数:
样本中所有个体的平均数叫样本平均数.
2.标准差、方差
(1)标准差的求法:
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.
s=.
(2)方差的求法:
标准差的平方s2叫作方差.
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本均值.
(3)方差的简化计算公式:
s2=[(x+x+…+x)-n2]
=(x+x+…+x)-2.
3.极差
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
4.数字特征的意义
平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势,极差、方差刻画了一组数据的离散程度.
[问题思考]
1.一组数据的众数一定存在吗?
若存在,众数是唯一的吗?
提示:
不一定.若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数;不是,可以是一个,也可以是多个.
2.如何确定一组数据的中位数?
提示:
(1)当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数.
(2)当数据个数为偶数时,中位数为排列在最中间的两个数的平均值.
讲一讲
1.据报道,某公司的33名职工的月工资(单位:
元)如下:
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?
(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法.
[尝试解答]
(1)平均数是=1500+
≈1500+591=2091(元).
中位数是1500元,众数是1500元.
(2)新的平均数是′=1500+
≈1500+1788=3288(元).
中位数是1500元,众数是1500元.
(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
1.众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.
2.众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.
3.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能在所给的数据中,也可能不在所给的数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述它的某种集中趋势.
练一练
1.某公司销售部有销售人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下:
销售量(件)
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数;
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件,你认为是否合理,为什么?
如不合理,请你制定一个较为合理的销售定额.
解:
(1)平均数为(1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2)=320(件),中位数为210件,众数为210件.
(2)不合理,因为15人中有13人的销售量未达到320件,也就是说,虽然320是这一组数据的平均数,但它却不能反映全体销售人员的销售水平.销售额定为210件更合理些,这是由于210既是中位数,又是众数,是大部分人都能达到的定额.
讲一讲
2.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为了检验质量,各从中抽取6件进行测量,分别记录数据为:
甲:
99 100 98 100 100 103
乙:
99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
[尝试解答]
(1)甲=(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=(99+100+102+99+100+100)=100,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又s>s,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性就越差;方差越小,数据越集中,质量越稳定.
练一练
2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:
m/s)的数据如下:
甲:
27 38 30 37 35 31
乙:
33 29 38 34 28 36
根据以上数据,试估计两人最大速度的平均数和标准差,并判断他们谁更优秀.
解:
甲=×(27+38+30+37+35+31)==33,
s=×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=,
s甲=≈3.96,
乙=×(33+29+38+34+28+36)==33,
s=×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=,
s乙=≈3.56.
由上知,甲、乙两人最大速度的平均数均为33m/s,甲的标准差为3.96m/s,乙的标准差为3.56m/s,说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同,但乙的成绩比甲的成绩更稳定,故乙比甲更优秀.
讲一讲
3.在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表:
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
[尝试解答]
(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些.
(2)甲=(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)
=×4000=80(分),
乙=(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=×4000=80(分).
s=[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,
s=[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
∵s
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中,甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于90分的有20人,乙组成绩大于等于90分的有24人,∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看,乙组的成绩较好.
要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如本讲的“满分人数”;其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结论.
练一练
3.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:
(1)请填写下表:
平均数
中位数
命中9环以上的次数(含9环)
甲
7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些?
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些?
③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力?
解:
(1)由图可知,甲打靶的成绩为:
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成绩为:
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
甲的平均数是7,中位数是7.5,命中9环及9环以上的次数是3;
乙的平均数是7,中位数是7,命中9环及9环以上的次数是1.
(2)由
(1)知,甲、乙的平均数相同.
①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好.
②甲、乙的平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好.
③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力.
【解题高手】【多解题】
一个球队所有队员的身高如下(单位:
cm):
178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184,问这个球队的队员平均身高是多少?
(精确到1cm)
[解] 法一:
利用平均数的公式计算.
=×(178+179+181+…+180+184)=×2523≈180.
法二:
建立新数据,再利用平均数简化公式计算.
取a=180,将上面各数据同时减去180,得到一组数据:
-2,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4.
′=×(-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4)=×3=≈0.2,
∴=′+a=0.2+180≈180.
法三:
利用加权平均数公式计算.
=×(185×1+184×1+183×2+182×1+181×2+180×2+179×1+178×1+176×2+175×1)=×2523≈180.
法四:
建立新数据(方法同法二),再利用加权平均数公式计算.
′=×[5×1+4×1+3×2+2×1+1×2+0×2+(-1)×1+(-2)×1+(-4)×2+(-5)×1]
=×3≈0.2.
∴=′+a=0.2+180≈180.
1.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数,中位数和众数大小关系是( )
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.众数=中位数=平均数
解析:
选D可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.
2.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则
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