第五章 随时间变化的电磁场.docx

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第五章随时间变化的电磁场

第五章随时间变化的电磁场

麦克斯韦方程

教学要求:

1、深刻理解并掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律。

2、深刻理解感应电场的概念,熟练掌握动生电动势和感生电动势的计算方法。

3、了解自感、互感观象及其规律,掌握自感系数、互感系数计算方法。

4、了解暂态过程中的物理特征,掌握RL、RC串联电路暂态过程的计算方法。

对RLC串联电路的暂过程能正确列出微分方程,并对其作定性分析。

5、理解磁能和磁能密度的概念,掌握自感磁能和互感能的计算方法.

6、深入理解位移电流的概念及其物理实质,会运用它讨论和求解有关的简单问题.

7、深刻领会麦克斯韦方程组及其物理意义

8、理解和掌握电磁波的基本性质、能流密度矢量的概念和求能流密度矢量的方法。

9、知道偶极子辐射场的基本情况,了解似稳电磁场和似稳电路的基本概念.

教学重点:

1、法拉第电磁感应定律

2、位移电流及其物理实质

3、麦克斯韦方程组及其物理意义

教学难点:

1、位移电流

2、电磁波的产生与辐射

§5.1电磁感应现象与磁感应定律

§5.2电磁感应现象的物理实质

§5.3互感与自感

§5.4LR电路中的暂态过程磁场的能量

§5.5位移电流及其物理实质

§5.6真空中的麦克斯韦方程组电磁波

§5.7电磁场的能量与动量

§5.8电磁波的产生辐射

§5.1电磁感应现象与磁感应定律

1、电磁感应现象

实验指出,当通过闭合导线回路所圈围面积的磁通量发生变化时,回路中将产生电流。

这种现象称为电磁感应现象,其电流称为感应电流,相应的电动势称为感应电动势。

2、楞次定律

大量实验表明:

闭合回路中感应电流的方向,总是企图使感应电流产生的磁场去阻止引起该感应电流的磁感通量的变化,这一结论成为楞次定律。

①楞次定律是判断感应电动势方向的定律,只有在纯电阻电路中,感应电流和感应电

动势的方向才是完全一致的。

②能量守恒定律要求感应电动势的方向服从楞次定律。

3、法拉第电磁感应定律

导线回路中感应电动势ε与通过回路圈围面积的磁感通量的变化率m

ddtΦ成正比。

在国

际单位制中,法拉第电磁感应定律的数学表达式为

mddt

εΦ=-

若回路由N匝导线组成,当磁场对每一匝导线回路所圈围的磁感通量都是mΦ时,则N匝回路中感应电动势为:

m

m

m

ddNd

N

dtdtdt

ψεΦΦ

=-=-

=-

式中mψ=mNΦ称为磁通匝链数。

1感应电动势的大小只取决于磁感通量的变化率m

ddt

Φ,与mΦ的大小及∆mΦ无直接

关系。

2在用ε=-m

ddtΦ确定ε的方向时,必须满足下述约定,即ε和mΦ的正方向构成右手螺旋关系（如图所示,在这种约定下,所确定的ε的方向才与楞次定律相一致。

因此,上式中的负号是楞次定律的数学表示,是楞次定律在这种正方向约定下的体现。

3当根据ε=-

m

ddtΦ中的负号来确定ε的方向时,应按以下几个步骤进行:

①任意规定回路的一个绕行方向为回路的正方向,当ε取正值时,表示其方向与此方向一致;当ε取负值时,表示其方向与规定的方向相反。

②用右手螺旋关系确定以回路为边界的曲面正法线矢量ˆne

的方向。

③由B

与ˆne

的夹角为锐角或钝角来确定mΦ的正负,依此确定mdΦ的正负。

④由ε=-

m

ddt

Φ知,ε的正负只由m

ddt

Φ来确定。

当m

ddt

Φ>0时,ε<0,表示ε的

方向与规定的回路正方向相反;当m

ddt

Φ<0时,ε>0,表示ε的方向与规定的回路正方

向相同。

4、用法拉第电磁感应定律求感应电动势方法

1闭合导线回路情况

①确定磁感强度（,,,Bxyzt

的分布规律及其方向。

②如果磁感强度（,,,Bxyzt

是均匀分布的,由mBSΦ=⋅计算穿过闭合导线回路的磁

感通量随时间变化的函数（mtΦ。

如果磁感强度（,,,Bxyzt

是不均匀分布的,在闭合导线

回路平面上取一面积元dS,先计算穿过面积元磁通量mdBdSΦ=⋅

然后由ms

BdS

Φ=⋅⎰计算穿过整个闭合导线回路磁通量随时间变化的函数（mtΦ。

③将（mtΦ对时间求导,求得感应电动势大小。

④利用所求结果ε的正、负或楞次定律确定感应电动势的方向。

2一段导体的情况

不闭合导线不存在磁通量的概念,但可以假象一条曲线与该段导线组成闭合回路,并且总是设法使假象的曲线段上没有感应电动势产生,则应用mddt

εΦ=-

所求得的闭合回路内

的总感应电动势就等于该段导线上的感应电动势。

5、例题

例5.1-1一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中,磁场方向与回路平面垂直,如图所示,回路的一边ab可以在另外的两条边上滑动,在滑动过程中,保持良好的电接触,若可动边的长度为l,滑动速度为v,求回路中的感应电动势。

解:

取回路面积的正法线方向与磁场的方向一致,则磁场对回路圈围面积的磁通量为

由法拉第电磁感应定律,有

因为电动势正方向由a到b,上式的负号表示滑动边中电流的方向由b到a。

例5-1-2一根无限长的直导线,其中通有变化的电流,电流以恒定的速率J0增长,一长为a宽为b的矩形导线框,与直线电流位于同一平面,平行于直导线的两条边到直导线的距离分别为R和R+b。

如图所示,试求导线框中的感应电动势。

解:

直导线中电流产生的磁场的磁感强度为

因（IIt=,故（BBt=。

磁场对导线框圈围面积中一宽为dr的狭条的磁通量为

于是

由法拉第电磁感应定律,导线框中的感应电动势为

ε的正方向为逆时针方向。

例5.1-3一长螺线管,长度l=1m,截面积S=1cm²,绕有N1=1200匝导线,通有直流电流I=2A,螺线管外绕有N2=200匝的线圈,线圈的总电阻R=100Ω,如图所示,问当螺线管中的电流反向时,通过外线圈导线截面上的总电量为多少?

解:

当螺线管中的电流反向时其磁场亦反向,于是通过线圈的磁通量发生变化,导线中产生感应电动势。

螺线管中磁场的磁感强度为

磁场对外线圈没匝的磁通量为对整个外线圈的磁通匝链数为

mBlx

Φ=mddxBlBlvdtdt

εΦ=-=-=-02IBr

μπ=02mI

dBadradrrμπΦ==00ln22RbmRaIaIdrRbrb

μμππ++Φ==⎰000lnln22aaJdRbdIRbdtbdtRμμππεΦ++=-=-=-0N

BIl

μ=1

mNBSISl

μΦ=

=

外线圈中感应电动势为外线圈中感应电流为

在dt时间内通过外线圈导线截面的电量为

通过导线截面的总电量为

§5.2电磁感应现象的物理实质

1、动生电动势

1什么是动生电动势?

组成回路的导体（整体或局部在恒定磁场中运动时,导致回路中磁通量的变化,回路中产生的电动势称为动生电动势。

2动生电动势是怎样产生的?

动生电动势是由磁场作用于运动导体中带电粒子的洛伦兹力（非静电力引起的,根据洛伦兹力公式可得出回路C中的动生电动势为

（C

vBdl

ε=

⨯⋅⎰

式中v

为导体线元dl的运动速度,B为dl所在处的磁感应强度。

回路C可以表示一段任意形状的线状导体,也可表示任意形状的线状导体回路,还可以表示大块导体中的一段线段。

①电动势的方向由vB⨯的方向决定,从负极指向正极。

②与动声电动势相联系的非静电力是由与导体的运动相联系的洛伦兹力引起的,它是总洛伦兹力的一个分力。

③在研究运动导体的电磁感应现象时,计算磁感通量的回路必须是物质（导体的回路,并必须把组成闭合回路的全部导体质元都考虑在内。

如果回路在运动过程中发生折断,使回路中折断点所描绘的轨迹以适当的方式补到回路上去,使回路闭合。

否则就会出现“通量法

则的详谬”,即

dmvBdtΦ⨯≠-⎰

。

2、感应电场及其性质

1什么是感应电场（涡旋电场

变化的磁场会在其周围激发一种电场,它的电场线是闭合的,这种电场称为感应电场,也称为涡旋电场。

2什么是感生电动势?

处于磁场中的闭合回路,由于磁场发生变化而使回路中磁通量变化,回路中产生的电动势称为感生电动势。

3感生电动势是怎样产生的?

产生感生电动势的非静电力是变化磁场产生的感应电场。

若用KE

表示感应电场,则感

12

20

mNNNISl

μΦ=22

（mm

dNdNdtdt

εΦΦ=-=-2mdNiRRdt

ε

Φ==-2mN

dqidtdR==-Φ212221（mmmmmNNqdqdRRΦΦ==-Φ=-Φ-Φ⎰⎰120

2NNISRlμ=22mNR=Φ6

1.2110C-=⨯

应电动势为

KCEdl

ε=

⋅⎰

。

①回路的积分方向为所设的ε的正方向,当ε>0时,ε的方向与积分方向相同,反之相反。

②导体随时间变化的磁场中运动时,运动导体回路C中的感应电动势为

（KC

EvBdl

ε=

+⨯⋅⎰

或者

0mmmvBdddt

dtdtε==⎡⎤ΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=-

=-+⎢⎥⎪⎪

⎝

⎭⎝⎭⎣⎦恒量③空间同时存在电荷和变化磁场时,则任一点的电场为KSEEE=+

式中KE

为感应电场,SE

为静电场。

④按照引起磁通量变化原因不同,把感应电动区分为动生电动势和感生电动势,从参考系变换的观点看,只具有相对意义。

在某些情况下,同一感应电动势,在某一参考系内看,是感生的,在另一参考系内看,却变成动生的。

但是在一般情况下,不可能通过坐标变换,将感生电动势归结为动生电动势;反之亦然。

4感应电场与变化的磁场的关系

感应电场对任意闭合路径的线积分取决于磁感强度的变化率对这一闭合路径所圈围面积的通量,即

KCSB

EdldSt∂⋅=-⋅<∂⎰

⎰

①感应电场是变化的磁场产生的。

②感应电场环流不等于零,它是有旋场。

③当0

B

t∂>∂时,KE与Bt∂∂组成左手螺旋;当Bt∂∂0<时,KE

与B

t∂∂组成右手螺旋。

3、涡电流与电磁阻尼

由于变化的磁场总是伴随着涡旋的电场,金属内部的自由电子在涡旋电场的作用下可以形成电流,即使在未构成回路的大块金属内部也会产生闭合的电流,这种电流称为涡电流。

由于涡电流的截面积很大,导体的电阻又较小,因而涡电流非常大,结果发生大量焦耳热,造成能量的损耗（涡流损耗。

减少涡流损耗的主要途径是增加铁芯的电阻。

利用涡电流的热效应制成的感应电炉,可用于真空提纯金属或加热在真空中的金属等。

利用涡电流的机械效应,可以做成电磁阻尼装置。

4、动生电动势计算方法

1直接积分法（洛伦兹力法

导线在恒定的磁场中做切割磁感线的运动,则有

（CvBdlε=⨯⋅⎰

对一段导线ab,有

（baba

vBdl

ε=

⨯⋅⎰

①确定v、B、（vB⨯的方向及v与B之间的夹角。

②在运动导线上任取线元dl,并确定dl与（vB⨯

间的夹角。

③由公式

（baba

vBdl

ε=⨯⋅⎰

列积分式,求解。

④根据（vB⨯的方向或楞次定律确定电动势的方向。

2用电磁感应定律求解（磁通量法

m

SdBdS

dtεΦ=-=-⋅⎰

①设定磁通量正方向为磁感强度B

的方向,由右手螺旋定则,确定电动势正方向。

②写出通过某一面积（或面元的磁通量与时间的函数关系（mtΦ,并对时间求导,

求出

m

ddtΦ-,得动生电动势大小。

③根据设定电动势的正方向及求得的ε的正负确定动生电动势的方向。

若ε>0,表示与设定的正方向相同,反之相反。

④对不闭合导线,可以假想一条曲线与该段导线组成闭合回路,并且总是设法使假想的

曲线段上没有动生电动势产生,则应用ε=mddt

Φ-

所求得的闭合回路的总电动势就是该段

导线上的电动势。

5、感生电动势的计算方法

1直接积分法（感应电场力法

KC

Edl

ε=

⋅⎰

①利用关系式KC

Edl⋅⎰

S

BdSt∂=-⋅∂⎰,确定感应电场KE的分布。

②设定积分方向为ε的正方向,如由ab→。

③在导体上取线元dl,并确定dl

与KE的夹角θ。

④由公式babKaEdl

ε=⋅⎰

求解。

⑤根据计算结果正负或楞次定律确定电动势方向。

当0ε>时,电动势方向由a到b;反之相反。

2用电磁感应定律求解

步骤与应用该定律求动生电动势相同（略

6、例题

例5.2-1在与磁感强度为B的均匀恒定磁场垂直的平面内,有一长为L的直导线ab,导线绕a点以匀角速ω转动,转轴与B平行,求ab上的动生电动势a,b之间的电压。

解:

（1用洛伦兹力法求解。

在ab上任取一线元dl,其ν

与B垂直,且Bν⨯与dl同向,如图（a,故

图（a

0abε>说明动生电动势由a向b,ab间的电势差为

（2用法拉第电磁感应定律求解。

设ab在dt时间内转了dθ角,则它扫过的面积为

2

12

Ldθ

如图（b,磁场对此面积的磁通为由法拉第电磁感应定律得

图（b

例5.2-2考虑一无限长的圆柱形区域,圆柱的半径为a,已知圆柱形区域内充满均匀的且随时间作低频率简谐变化的磁场,磁场与圆柱轴线平行,在圆柱形区域外,没有磁场,即

其中B0、ω和都是恒量,试求空间各处的电场强度。

解:

由于变化的磁场分布在无限长的圆柱形区域内,感应电场的分布具有圆柱对称性。

在圆柱区域内,作一半径为ra<的圆周C1,如图（a所示,感应电场对C1的环流为

即

图（a

在圆柱外作一半径为ra>的圆周C2,感应电场对C2环流为

图（b

（bbbabaaavBdlvBdlBldlεω=⨯⋅==⎰⎰⎰

2

1

2BL

ω=

21

2baabU

BLεω==212

mdBLdθ

Φ=22

1212mddBLdtdtBLθωεΦ====B（ˆcos（0areatBx≤+ω0

（ar≥11kCSBEdldS

t∂⋅=-⋅∂⎰⎰

22kBErr

tππ∂⋅=-∂011sin（22kBErBrttωωα∂=-=+∂当

a

r≤时22KCSBEdldSt

∂⋅=-⋅∂⎰⎰

2

2KBEra

tππ∂⋅=-⋅∂ra>当时22

01sin（22kaBaEBtrtrωωα∂=-=+∂

KE

的方向沿柱坐标的ˆeφ方向（顺时针方向。

任一时刻,电场强度与r的关系如图（b所

示。

例5.2-3有金属棒MN,长为L,放在例2磁场中,金属棒位于垂直于磁场的平面内,圆形区域的中心到棒的距离为h,如图（a所示,求棒的电动势。

解:

（1感应电场力法。

沿金属MN求积分得

图（a

说明电动势的方向由M指向N。

（2用法拉第电磁感应定律求解。

作辅助线OM与ON,如图（b因场强KE

与OM及ON垂直,故OM及ON段的感应电动势等于零。

可见闭合曲线OMNO的感应电动势即为MN段的电动势。

OMNO所围面积为

取电动势的参考方向为逆时针方向,于是穿过闭合曲线OMNO的磁通量为

得

表示势的方向由M指向N。

图（b

例5.2-4在电子感应加速器中,电子被磁场控制在一个环形真空的圆轨道上运动,同时受到变化磁场产生的感应电场的作用而加速,证明:

轨道平面上的平均磁感强度必须是轨道上磁感强度的两倍,才能使电子轨道半径在电子能量增加的过程中保持恒定。

解:

电子感应加速器是加速电子的设备,其结构原理如图（a所示。

N、S为两个磁极,间隙放一环形真空室,环面与磁场垂直。

磁场用低频强电流激励。

工作时感应电场使电子加速,磁场的洛伦

兹力使电子沿确定的圆周运动。

设电子轨道的半径是R,则在电子轨道上的电场强度可计算如下:

B为电子轨道平面上的平均磁感强度。

感应电场力使电子加速,根据牛顿第

二定律有

（K

dmeEdt

ν=-

NMNkMEdlε

=⋅⎰

cos2NMrdBdldtθ=⎰

02LhdB

dldt=⎰

2

hdBLdt

=0MNε>1

2

ShL=1

2

m

BShLBΦ=⋅=-10

2mddBhLdtdt

εΦ=-=>22kdBERR

dtππ⋅=-2kRdB

Edt

=-

sdBEdldSdt

⋅=-⋅⎰⎰

（22

dmRdBe

dtdt

eRBmνν==

磁场的洛伦兹力使电子作周运动,即

RB为电子轨道上的磁感强度。

经比较得

例5.2-5一非常长的同轴电缆,内圆筒的半径为R1,外圆筒的半径为R2,今在电缆中通以随时间变化的电流I,I的变化率为恒量b,试求圆筒轴线上的感应电场的强度。

解:

根据B

t∂∂的分布情况和对称性,可知轴线上感应电场的分布与无限长多层螺线管的轴线上磁场的分布相同。

在电缆外面,即2rR>处不存在电场。

作一矩形闭合路径,如图所示,计算感应电场对此路径的环流为由于

于是得

方向沿轴向下。

§5.3互感与自感

1、互感现象与互感系数

由于某个回路1C中的电流发生变化,从而在邻近的另一个回路2C中产生感应电动势的现象,称为互感现象。

所产生的感应电动势称为互感电动势。

设12ψ是回路2C的磁场对回路1C的磁通匝链数,21ψ是1C的磁场对2C的磁通匝链数。

则两个回路中的互感电动势分别为:

12212

12

ddIMdt

dtψε=-

=-

211

2121

ddIMdt

dtψε=-

=-

2

Rv

evBmR=RmveRB=1

2RBB

=21RkkRB

BEdlEldSldrtt∂∂⋅=∆=-⋅=-∆∂∂⎰⎰⎰

2IBrμπ=0022B

dIbtrdtrμμππ∂==∂21002

12ln2RkRbEdr

r

RbRμπμπ=-=-⎰

式中:

12

122MIψ=

称为回路2C对1C的互感系数,

21

21

1M

Iψ=

称为回路1C对2C的互感系数,

可以证明12M=21M=M,M称为互感系数,简称互感。

①互感系数取决于两线圈的几何形状,相对位置以及周围磁介质的性质,与回路通电与否无关。

②互感系数可正可负,当外来的磁通量与本身的磁通量符号相同,互感系数为正值,反之为负值。

2、自感现象与自感系数

由于回路中的电流发生变化,而在回路本身产生感应电动势的现象,称为自感现象。

所产生的感应电动势成为自感电动势。

设ψ是回路电流所产生的磁场对回路本身的磁通匝链数,则回路中的自感电动势为:

dIL

dtε=-

式中

LIψ

=

称为自感系数,简称自感。

①自感系数取决于线圈的大小、形状、匝数和磁介质的性质等。

②自感系数是电路“惯性”大小量度。

③对于粗导线构成的回路,当整个回路的电流为I,回路仅包含一匝线圈时,如图所

示,与磁感通量mdΦ相交链的电流I',与I'相联系的电流有'

I

I匝,故磁感通量mdΦ对回路的总磁通匝链数的贡献为

mm

IdIψ'=

Φ

3、互感系数和自感系数计算方法

1计算互感系数

①在有互感作用的两线圈回路中,假设某一回路中通过电流为1I。

②根据电流1I及有关定律,确定磁场B

的分布。

③求出该磁场在另一线圈中穿过的磁通匝链数为21ψ。

④由公式

21

MI

ψ=

求出互感系数。

⑤如果一线圈回路中电流变化率1

dIdt和另一线圈回路中的互感电动势21ε已知,或者通

过其他条件能将1

dIdt及21ε求出,则用公式

21

/IMdIdtε=-

求出互感系数。

2计算自感系数

①假设线圈回路通有电流I。

②根据电流I及有关定律,确定磁场B

的分布。

③求出该磁场在线圈自身回路中穿过的磁通匝链数ψ。

④由公式

21

MI

ψ=

求出自感系数。

⑤如果回路中电流变化率dI

dt和自感电动势ε已知,或者通过其它条件中将dI

dt及ε求

出,则用公式

/LdIdtε

=

求出自感系数。

4、例题

例5.3-1计算一长螺线管的自感系数

解:

设一长螺线管的长度为l,绕有N匝导线,螺线管的半径r比其长度小得多,想象在螺线管中通有电流I,如果忽略端部效应,则管内磁场的磁感强度为

磁场对螺线管每匝线圈的磁感通量为

磁通匝链数为

自感系数为

式中n为螺线管上单位长度的匝数,V为螺线管的体积。

例5.3-2求两同轴螺线管之间的互感

解:

设一长螺线管,长为1l、半径为r1（lr>>,单位长度上有1

n

匝导线,在螺线管外部再紧绕一螺线管,长为2l、单位长度有2n匝导线,如图所示。

假定在螺线管1中通以电流1I,

则磁场为

对螺线管2每一匝的磁感通量为

螺线管1的磁场对螺线管2的磁通匝链数为

互感系数式中2V是螺线管2的体积。

例5.3-3计算耦合系数

解:

设有两个线圈。

如图所示,线圈1C中的电流1I的磁场对线圈1C本身的磁感通量为

0NBIl

μ=2

0mNBSIrl

μπΦ=⋅=2

2

mmNNIrl

ψμπ=Φ=222

00mLnlrnVI

ψμπμ===101

BnIμ=21102121rInSBπμ==Φ1

22210212221Irlnnlnπμ=Φ=ψ2

210222101

2121

V

nnrlnnIMμ=πμ=ψ=111LIΦ

=

对线圈2C的磁感通量21Φ与1Φ成正比,即

线圈2C中的电流2I对线圈2C本身的磁感通量为

对线圈1C的磁感通量为

由此得注意到,及1k和2k必同号,得

其中

称为两个线圈的耦合系数。

例5.3-4计算两个串联线圈的自感系数

图（a图（b

解:

设有两个线圈,自感系数分别为1L和2L,它们被串联放置。

1两个线圈顺接串联时,如图（a所示。

设线圈1的磁场对本身的磁通匝链数11ψ和线圈2的磁场对线圈1的磁通匝链数12ψ,则通过线圈1的磁通匝链数为

同理,通过线圈2的

因为12III==,当把两个串联线圈看成一个线圈时磁场对串联线圈的总

的磁通匝链数为两个线圈串联后的自感系数为

2两个线圈反接串联时,如图（b所示。

两个线圈产生的磁场彼此减弱。

通过线圈1的磁

通匝链数为

通过线圈2的磁通匝链数