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对称矩阵的标准形
§6对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.
证:
设是A的任意一个特征值,则有非零向量
X2
IXn丿
/
X1
X2
其中Xi为Xi的共轭复数,
凶丿
又由A实对称,有A=a,a=a,
-航工()0©)書(A©戶『A卜
=乔:
©=(;oE)-ToE匕
考察等式,s讥羔。
讥由于匕是非零复向量,必有
E:
=X1X,+X2X2+11(+XnXn工0
>0-R.
引理2设A是实对称矩阵,在n维欧氏空间Rn上定义一个线性变换b如下:
b(a)=At,\/a亡Rn
则对任意a邛Rn,有
9(a),丹=(。
9))»
证:
取Rn的一组标准正交基,
0
0
1
川I,%=
0
引=
+
+
名2=
■
r
I-
■
4
4
<0>
则b在基知,£2,川,®下的矩阵为A,即
=为名1+X2si1x竝待邃2,n名X,
b(引,$2川i,Sn)=(◎,£2,iII,En)A
任取a=
X2
*
「
y2
■
*
Ixn丿
lyn丿
-Rn,
即a
=%勺+y2®+…+丫启三g,®,…,En)Y,
于是
CT(Ct)=crg,名2,IIMn)X=g,g2,lll,%)AX,
b(P)=◎(%,◎IIMn)Y=g,S,Hl3n)AY,
又名1,咕川鸟是标准正交基,
/.(b(a)P)=(AX)Y=(XA'W=XAY
=X'(AY)=(Sb(P))
又注意到在Rn中a=X,P=Y,
即有PYAQ)=("(a))=(cr(a),P)
二、对称变换
1定义
设b为欧氏空间V中的线性变换,如果满足
(cr(a),P)=(ot,b(鬥),\/a,P亡V,
则称b为对称变换.
2.基本性质1)n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是
相互确定的:
1实对称矩阵可确定一个对称变换.
事实上,设A€RnYA^A,名1,%川,耳为V的一组标准正交基.定
义V的线性变换b:
bg,S2,lli,%)=(卸,名2,川,%)A
则b即为V的对称变换.
2对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.
事实上,设b为n维欧氏空间V上的对称变换,茸名2,川,塔为V的一组标准正交基,A=(aij戶Rn^为b在这组基下的矩阵,即
b2i,S2,IIMn名2,川屛)A
bg)=£1潭1+&2飞+川+an^n
n
=无ak戸水i=1,21,1n,
k#
工曰fn)n
于疋(CTe),引)=£aki名k,引aki(Wk,Ej)
=aji(Ej,Ej)=aji
fn、
(Ej,b(£())=Ej,SaMk(=2akj(弟环)
Vk生丿
=aij(坷倚)=aij
由CT是对称变换,有(CT(勺)gj)=(gj,b(£j))
即aij=ajii,>1,21,n,
所以A为对称矩阵.
2)(引理3)对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间.
证明:
设b是对称变换,W为口的不变子空间.
对pa<:
W丄,要证Rot卢W丄,即证b(ot卢W
任取P<^W,由W是b子空间,有b(P卢W.
因此(b(a),B=(p(b)汗0
即b(aUW,cr(a)丄W丄.
故W丄也为b的不变子空间.
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1.(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.
证:
设实对称矩阵A为Rn上对称变换b的在标准正交基下的矩阵,
屮是A的两个不同特征值,0沖分别是属于屮的特征向量.
贝J,ab(,P
由(cr(TP)=(邙,cr(P))
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1.(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.
证:
设实对称矩阵A为Rn上对称变换b的在标准正交基下的矩阵,
是A的两个不同特征值,J,P分别是属于A卍的特征向量.
b(a)=A供A,ab(P)=Apa=AP,
(cr(G),P)=(G,cr(P))
即a,P正交.
2.(定理7)对A忘Rn3A^A,总有正交矩阵T,使
TAT=T」AT=diag(Zi,k2,|护n).
证:
设A为Rn上对称变换b在标准正交基下的矩阵.由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系,只需证b有n个特征向量作成的标准正交基即可.
对Rn的维数n用归纳法.
n=1时,结论是显然的.
假设n-1时结论成立,对Rn,设其上的对称变换b有一单位特征向量%,其相应的特征值为,即
b(叫)=中1,
设子空间LpiPW,显然W是b子空间,则W丄也是b子空间,且
W©M=R,dim^=n—1
又对yaP壬w+有
(b|w丄W)卩)=(b(a)P)=(0b,(鬥炉bW丄(P))
所以bw丄是w丄上的对称变换.
由归纳假设知CT|w丄有n—1个特征向量a2,(/3,川,£构成W丄的一组标准
正交基.
从而802,4,川,Gn就是Rn的一组标准正交基,又都是Rn的特征向量.即结论成立.
3.实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
设A€Rn刈,a'=A
(i)求出A的所有不同的特征值:
几1幺2,川,几「忘R,
r
其重数ni,n2,川,nr必满足送山=n;
i吕
(ii)对每个人,解齐次线性方程组
(ZE-A)X=0
它是A的属于特征值人的特征子空间叫的一组基.把它们按schmidt
正交化过程化成V扎的一组标准正交基5卫2,川,%.
31n1,211,n川川0訓|)2,n•蹴是V的一组标准正交基.
厲11卫2川1,%1,川川,%叫川「希的分量依次作矩阵T的第1,2,…n列,则T是正交矩阵,且使tAt-T^AT为对角形.
例1.设
f1
-1-11
f
1-
1
1
-1
11-
1
0
0
0
T
-1
1
11-
1
1
i
0
0
0
11
-1-11
1
1
0
0
0丿
(E—A)X
E-A=
1
0
0
0
求一正交矩阵T使TAT成对角形.
解:
先求A的特征值.
A-1
A-1
..2
1一人
1
1
—扎—1
A-1
0
Z-1
3
=-(—1)
1
0
1
0
A-1
兀-1
0
1
1
3
=仏一1)(A+3)
A的特征值为打=1(三重)23.
得其基础解
%=(1,100)
“^2=(101,0)
%=(—1,0,0,1)
把它正交化,得
/11
1,-丄,1,0
122
P=a("2,卩1)卩=1
2一2—(p1,p1)「-
—(P1,卩1厂—(02,02)2k3
再单位化,得
p1
这是特征值Zi=1(三重)的三个单位正交特征向量,也即是特征子空
间V的一组标准正交基.
Aj
再求属于h=-3的特征向量,即解方程组
(-3E-A)X=0
r-3
-1
-1
1、
'-4
-4
-4
-1
-3
1
-1
-1
-3
1
-1
T
-1
1
1
-3
-1
-1
1
-3
-1
1
u
-1
-1
-3丿
1
u
-1
-1
-3丿
f1
1
1
1)
10
0
—1)
—3E-A=
这样一二巴工构成R4的一组标准正交基,它们都是A的特征向量,
正交矩阵
使得
(1
TAT=
注:
一3丿
①对于实对称矩阵
A,使diag(V4nMn)成立的正交矩阵不是唯一
的.而且对于正交矩阵T,还可进一步要求T=1.
事实上,如果由上述方法求得的正交矩阵
TAT=diag(Z],初,IH,治),
取正交矩阵S=diag1,1")1,
同时有T1'a11=(TS)'A(TS)=S'(TAt)S
f-1
1
、
*
a
几2
*
f-1'
1
r
1
1
1
*
b
*
1
I
1r
1
V1丿
=diag()1,—IIMn)
②如果不计较主对角线上元素的排列的次序,与实对称矩阵A正交
相似的对角矩阵是唯一确定的.
3因为正交相似的矩阵也是互相合同的,所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性:
设打>川>为实对称矩阵A的所有特征值
(i)A为正定的二扎n>0
(ii)A为半正疋的二>0
(iii)A为负定(半负定)的少kn<o“MO)
(iv)A为不定的㈡入nVO且A^O
4实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数(重根按重数计).
n—秩(A)是O为A的特征值的重数.
四、实二次型的主轴问题
1解析几何中主轴问题
将R2上有心二次曲线或R3上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形,这个变换的矩阵是正交矩阵.
2.任意n元实二次型的正交线性替换化标准形
1)正交线性替换
的矩阵C是正交矩阵,则称之为正交线性替换.
2)任一n元实二次型
nn
f(Xi,X2,ilLXn)=S2OtjXiXj,
irnj#
其中平方项的系数打,扎2,川,人为A的全部特征值.
例2、在直角坐标系下,二次曲面的一般方程是
+2biX+2by+2bzd0
ai1
a
12a
3
fb'
1
a21
a
22a
B
=1b
X=
y
©31
a
32a
J
i3
vb丿
3
(1)式可以写成
XAX+2BX+d=0.
(2)中的A丄A迂R3显有正交矩阵C(且C=1)确定的坐标变换公
2
匕1
C12
C13Yx,'
ly
1
1
C21
C22
C23
1y1
lz丿
1
1
1
1%
C32
C33丿
1
乜丿
CAC=diag(打、、吃,為),
或X=CX
这样由
(2)知道经过由X=CX1的坐标轴旋转,曲面
(1)的方程化
/■1x2^+入2y2广几Z22*bX'2/'by2fb才jOd
其中⑹,b2,b3=(bib2)b3C
这时,再按和扎2,爲是否为零,作适当的坐标轴的平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程.
如当—全不为零时,作平移
Zi
曲面方程
(1)可以化为
2224
Z|X2+兀2丫2+^3Z2+d=0,
u*u*u*
其中d-d—b^—色一色
旳卜2卜%
小结:
对称变换、化实对称矩阵为对角阵、化实二次型为标准性
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- 对称 矩阵 标准