全等三角形问题中常见的种辅助线的作法有标准答案资料.docx
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全等三角形问题中常见的种辅助线的作法有标准答案资料
全等三角形问题中常见的种辅助线的作法(有答案)资料
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全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
常见辅助线的作法有以下几种:
最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.
3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,
(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。
(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
6)已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
例1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
应用:
1、(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
二、截长补短
1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BC。
3、如图,已知在内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分,
求证:
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
应用:
三、平移变换
例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为.求证>.
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AC>AD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.
应用:
1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
例2D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
例3如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为;
应用:
1、已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于.
当绕点旋转到时(如图1),易证.
当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
(图1)
(图2)
(图3)
2、(西城09年一模)已知:
PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.
图1图2图3
()如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时;
()如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想()问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
()如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=,则Q=(用、L表示).
参考答案与提示
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
解:
延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知
AB-BE<2AD 例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小. 解: (倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG=2EF,连BG,EG, 显然BG=FC, 在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG=EF 在△BEG中,由三角形性质知 EG 故: EF 例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证: AD平分∠BAE. 解: 延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG, 显然DG=AC,∠GDC=∠ACD 由于DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中, BD=AC=DG,AD=AD, ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC=∠ADG 故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD平分∠BAE 应用: 1、1、(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究: AM与DE的位置关系及数量关系. (1)如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是, 线段AM与DE的数量关系是; (2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示, (1)问中得到的两个结论是否发生改变? 并说明理由. 解: (1)AM⊥DE,AM=DE; (2)结论仍然成立, 证明: 如图,延长CA至F,使FA=AC,FA交DE于点P,连接BF, ∵DA⊥BA,EA⊥AF, ∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD, 在△FAB与△EAD中: FA=AE,∠BAF=∠EAD,BA=DA, ∴△FAB≌△EAD(SAS), ∴BF=DE,∠F=∠AEP, ∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEP=90°, ∴FB⊥DE, 又CA=AF,CM=MB, ∴AM∥FB且AM=FB, ∴AM⊥DE,AM=DE。 二、截长补短 1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证: CD⊥AC 解: (截长法)在AB上取中点F,连FD △ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知 DF⊥AB,故∠AFD=90° △ADF≌△ADC(SAS) ∠ACD=∠AFD=90°即: CD⊥AC 2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BC 解: (截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FE △ADE≌△AFE(SAS) ∠ADE=∠AFE, ∠ADE+∠BCE=180° ∠AFE+∠BFE=180° 故∠ECB=∠EFB △FBE≌△CBE(AAS) 故有BF=BC 从而;AB=AD+BC 3、如图,已知在△ABC内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP 解: (补短法,计算数值法)延长AB至D,使BD=BP,连DP 在等腰△BPD中,可得∠BDP=40° 从而∠BDP=40°=∠ACP △ADP≌△ACP(ASA) 故AD=AC 又∠QBC=40°=∠QCB故BQ=QC BD=BP 从而BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分, 求证: 解: (补短法)延长BA至F,使BF=BC,连FD △BDF≌△BDC(SAS) 故∠DFB=∠DCB,FD=DC 又AD=CD 故在等腰△BFD中 ∠DFB=∠DAF 故有∠BAD+∠BCD=180° 5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC 解: (补短法)延长AC至F,使AF=AB,连PD △ABP≌△AFP(SAS) 故BP=PF 由三角形性质知 PB-PC=PF-PC 应用: 三、平移变换 例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为.求证>. 解: (镜面反射法)延长BA至F,使AF=AC,连FE AD为△ABC的角平分线,MN⊥AD 知∠FAE=∠CAE 故有 △FAE≌△CAE(SAS) 故EF=CE 在△BEF中有: BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA 例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证: AB+AC>AD+AE. 证明: 取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. ∵BD=CE, ∴DM=EM, ∴△DMN≌△EMA(SAS), ∴DN=AE,
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