届高三数学摸底零诊考试试题理.docx
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届高三数学摸底零诊考试试题理
成都市2017届高三摸底(零诊)
数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某班50名学生中有女生20名,按男女比例用分层抽样的方法,从全班学生中抽取部分学生进行调查,已知抽到的女生有4名,则本次调查抽取的人数是()
A.8B.10C.12D.15
2.对抛物线,下列判断正确的是()
A.焦点坐标是B.焦点坐标是
C.准线方程是D.准线方程是
3.计算的结果是()
A.B.C.D.
4.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,若,且,则下列结论一定正确的是()
A.B.C.与相交D.与异面
5.若实数满足条件,则的最大值是()
A.10B.8C.6D.4
6.曲线在点处的切线方程是()
A.B.C.D.
7.已知数列是等比数列,则“”是“数列为递增数列”的()
A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
8.若定义在上的奇函数满足:
,且,都有,则称该函数为满足约束条件的一个“函数”,有下列函数:
①;②;③;④,其中为“函数”的是()
A.①B.②C.③D.④
9.设命题,;命题,中至少有一个不小于2,则下列命题为真命题的是()
A.B.C.D.
10.在中,内角的对边分别为,且,,则角的大小为()
A.B.C.D.
11.已知椭圆与双曲线有相同的右焦点,点是椭圆和双曲线的一个公共点,若,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
12.如图1,已知正方体的棱长为,分别是线段上的动点,当三棱锥的俯视图如图2所示时,三棱锥的体积为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.计算:
_____________.
14.函数的极小值是_____________.
15.已知圆上存在两点关于直线对称,经过点作圆的切线,切点为,则_____________.
16.已知函数的导函数为,为自然对数的底数,若函数满足,且,则不等式的解集是_____________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求证:
.
18.(本小题满分12分)
王师傅为响应国家开展全民健身运动的号召,每天坚持“健步走”,并用计步器对每天的“健步走”步数进行统计,他从某个月中随机抽取10天“健步走”的步数,绘制出的频率分布直方图如图所示.
(1)试估计该月王师傅每天“健步走”的步数的中位数及平均数(精确到小数点后1位);
(2)某健康组织对“健步走”结果的评价标准为:
每天的步数分组
(千步)
评价级别
及格
良好
优秀
现从这10天中随机抽取2天,求这2天的“健步走”结果不属于同一评价级别的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,已知,,,.
(1)证明:
;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的焦距为2,点在直线上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为坐标原点,为直线上一动点,过点作直线与椭圆相切于点,求面积的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,证明:
当,且时,.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线在直角坐标系中的普通方程和直线的倾斜角;
(2)设点,若直线与曲线相交于不同的两点,求的值.
参考答案
一、选择题:
1-5.BCDAC6-10.ACDBA11-12.BD
二、填空题:
13.214.015.316.
三、解答题:
17.解:
(1)∵,∴.
设公差为,
∴,∴.
∴.
(2)由
(1),得.
∴.
∴
(2)设“在10天是任取2天,评价级别相同”为事件,“在10天中任取2天,评价级别不相同”为事件.
则.
∵事件与事件互为对立事件,
∴.
19.解:
(1)连结,在中,
∵
∴.
又,∴由勾股定理的逆定理,得为直角三角形.
∴.
∵,,,
∴平面.
∵平面
∴
(2)在中,∵,,则由勾股定理的逆定理,得为直角三角形,
∴.
以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,.
设平面的法向量为.
由.
令,则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为.
由.
令,则平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为,易知为锐角.
∴.
20.解:
(1)∵椭圆的焦距为2,∴半焦距.
∵点在直线上,,∴.
又,∴.
∴.
∴椭圆的标准方程为.
(2)依题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为,设,.
联立消去,可得.
∵,∴.
且,,.
则.
又直线的方程为,
∴点到直线的距离
∴
=.(取时)
∵,∴.
∴.
∴.
由,当且仅当时等号成立.
同理,取时,也可得当时的最小值为.
∴面积的最小值为.
21.解:
(1)的定义域是,.
设,则.
①当时,在成立,∴在上单调递增.
且,使得.
当变化时,变化情况如下表:
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∴在上单调递减,在上单调递增.
②当时,,∴在上单调递增.
③当时,
当变化时,,变化情况如下表:
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∴.
∵,∴,,.
∴在成立,即在上成立.
∴在上单调递增.
综上所述:
①当时,在上单调递减,在上单调递增;其中满足;
②当时,在上单调递增.
(2)当时,的定义域是,
.
此时,则.
∴在上单调递增,.
当变化时,变化情况如下表:
1
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∵,且,则(不妨设).
设函数.
∴
.
当时,且.
∴,且.
∴
即当时,.
∴函数在上单调递减.
∴,即当时,.
∵,∴.
∴.
∵在上单调递增,且,又,
∴.
∴
22.解:
(1)易得曲线的普通方程为.
∵直线的普通方程为,
∴直线的倾斜角为.
(2)显然点在直线上.
在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数).
将直线的参数方程代入曲线的普通方程,得
.
此方程的两根为直线与曲线的交点对应的参数,
∴
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