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例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋,他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问:
小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配?
分析与解:
由下图可以看出,帽子和鞋共有6种搭配。
事实上,小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。
第一步戴帽子,有3种方法;第二步穿鞋,有2种方法。
对第一步的每种方法,第二步都有两种方法,所以不同的搭配共有
3×2=6(种)。
例2从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地也有2条路。
问:
从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法?
分析与解:
用A1,A2表示从甲地到乙地的2条路,用B1,B2,B3表示从乙地到丙地的3条路,用C1,C2表示从丙地到丁地的2条路(见下页图)。
共有下面12种走法:
A1B1C1A1B2C1A1B3C1
A1B1C2A1B2CA1B3C2
A2B1C1A2B2C1A2B3C1
A2B1C2A2B2C2A2B3C2
事实上,从甲到丁是分三步走的。
第一步甲到乙有2种方法,第二步乙到丙有3种方法,第3步丙到丁有2种方法。
对于第一步的每种方法,第二步都有3种方法,所以从甲到丙有2×3=6(种)方法;对从甲到丙的每种方法,第三步都有2种方法,所以不同的走法共有
2×3×2=12(种)。
以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。
练习:
1.有五顶不同的帽子,两件不同的上衣,三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问:
有多少种不同的装束?
2.四角号码字典,用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”,用3个数码(可取重复数字)表示一个汉字,例如,用“011”代表汉字“车”。
问:
小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字?
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例3用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?
分析与解:
组成一个三位数要分三步进行:
第一步确定百位上的数字,除0以外有5种选法;第二步确定十位上的数字,因为数字可以重复,有6种选法;第三步确定个位上的数字,也有6种选法。
根据乘法原理,可以组成三位数
5×6×6=180(个)。
例4如下图,A,B,C,D,E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?
分析与解:
将染色这一过程分为依次给A,B,C,D,E染色五步。
先给A染色,因为有5种颜色,故有5种不同的染色方法;第2步给B染色,因不能与A同色,还剩下4种颜色可选择,故有4种不同的染色方法;第3步给C染色,因为不能与A,B同色,故有3种不同的染色方法;第4步给D染色,因为不能与A,C同色,故有3种不同的染色方法;第5步给E染色,由于不能与A,C,D同色,故只有2种不同的染色方法。
根据乘法原理,共有不同的染色方法
5×4×3×3×2=360(种)。
练习:
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”?
4.在右图的方格纸中放两枚棋子,要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问:
共有多少种不同的放法?
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例5求360共有多少个不同的约数。
分析与解:
先将360分解质因数,
360=2×2×2×3×3×5,
所以360的约数的质因数必然在2,3,5之中。
为了确定360的所有不同的约数,我们分三步进行:
第1步确定约数中含有2的个数,可能是0,1,2,3个,即有4种可能;
第2步确定约数中含有3的个数,可能是0,1,2个,即有3种可能;
第3步确定约数中含有5的个数,可能没有,也可能有1个,即有2种可能。
根据乘法原理,360的不同约数共有
4×3×2=24(个)。
由例5得到:
如果一个自然数N分解质因数后的形式为
其中P1,P2,…,Pl都是质数,n1,n2…,nl都是自然数,则N的所有约数的个数为:
(n1+1)×(n2+1)×…×(nl+1)。
利用上面的公式,可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。
例如,11088=24×32×7×11,11088共有不同的约数
(4+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=60(个)。
例6有10块糖,每天至少吃一块,吃完为止。
问:
共有多少种不同的吃法?
分析与解:
将10块糖排成一排,糖与糖之间共有9个空。
从头开始,如果相邻两块糖是分在两天吃的,那么就在其间画一条线。
下图表示10块糖分在五天吃:
第一天吃2块,第二天吃3块,第三天吃1块,第四天吃2块,第五天吃2块。
因为每个空都有加线与不加线两种可能,根据乘法原理,不同的加线方法共有29=512(种)。
因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法,所以不同的吃法共有512种。
练习:
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个(不能同时评一个班),共有多少种不同的评选结果?
6.甲组有6人,乙组有8人,丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议,共有多少种不同选法?
7.用四种颜色给右图的五块区域染色,要求每块区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。
问:
共有多少种不同的染色方法?
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例1从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。
一天中火车有4班,汽车有3班,轮船有2班。
问:
一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同走法?
分析与解:
一天中乘坐火车有4种走法,乘坐汽车有3种走法,乘坐轮船有2种走法,所以一天中从甲地到乙地共有:
4+3+2=9(种)不同走法。
例2旗杆上最多可以挂两面信号旗,现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面,如果用挂信号旗表示信号,最多能表示出多少种不同的信号?
分析与解:
根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。
第一类是只挂一面信号旗,有红、黄、蓝3种;第二类是挂两面信号旗,有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。
所以一共可以表示出不同的信号
3+6=9(种)。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则,在应用时一定要注意它们的区别。
乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积;加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
例3两次掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?
分析与解:
两次的数字之和是偶数可以分为两类,即两数都是奇数,或者两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数,所以两数都是奇数的有3×3=9(种)情况;同理,两数都是偶数的也有9种情况。
根据加法原理,两次出现的数字之和为偶数的情况有9+9=18(种)。
例4用五种颜色给右图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。
问:
共有多少种不同的染色方法?
分析与解:
本题与上一讲的例4表面上十分相似,但解法上却不相同。
因为上一讲例4中,区域A与其它区域都相邻,所以区域A与其它区域的颜色都不相同。
本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻,如果从区域A开始讨论,那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
当区域A与区域E颜色相同时,A有5种颜色可选;B有4种颜色可选;C有3种颜色可选;D也有3种颜色可选。
根据乘法原理,此时不同的染色方法有
5×4×3×3=180(种)。
当区域A与区域E颜色不同时,A有5种颜色可选;E有4种颜色可选;B有3种颜色可选;C有2种颜色可选;D有2种颜色可选。
根据乘法原理,此时不同的染色方法有
5×4×3×2×2=240(种)。
再根据加法原理,不同的染色方法共有
180+240=420(种)。
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例5用1,2,3,4这四种数码组成五位数,数字可以重复,至少有连续三位是1的五位数有多少个?
分析与解:
将至少有连续三位数是1的五位数分成三类:
连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。
连续五位是1,只有11111一种;
中任一个,所以有3+3=6(种);
3×4+4×3+3×3=33(种)。
由加法原理,这样的五位数共有1+6+33=40(种)。
在例5中,我们先将这种五位数分为三类,以后在某些类中又分了若干种情况,其中使用的都是加法原理。
例6右图中每个小方格的边长都是1。
一只小虫从直线AB上的O点出发,沿着横线与竖线爬行,可上可下,可左可右,但最后仍要回到AB上(不一定回到O点)。
如果小虫爬行的总长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线?
分析与解:
如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发,回到AB上,其不同路线有6条(见左下图);小虫从与AB相邻的直线上出发,回到AB上,其不同路线有4条(见右下图)。
实际上,小虫爬行的总长是3。
小虫爬行的第一步有四种情况:
向左,此时小虫还在AB上,由上面的分析,后两步有6条路线;
同理,向右也有6条路线;
向上,此时小虫在与AB相邻的直线上,由上面的分析,后两步有4条路线;
同理,向下也有4条路线。
根据加法原理,共有不同的爬行路线6+6+4+4=20(条)
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测试:
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船,那么共有多少种不同的走法?
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸,每个年级至少订99份报纸。
问:
共有多少种不同的订法?
3.将10颗相同的珠子分成三份,共有多少种不同的分法?
4.在所有的两位数中,两位数码之和是偶数的共有多少个?
5.用五种颜色给右图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。
问:
共有多少种不同的染色方法?
6.用1,2,3这三种数码组成四位数,在可能组成的四位数中,至少有连续两位是2的有多少个?
7.下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发,沿图中格线爬行,如果它爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条?
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例1小明要登上10级台阶,他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶共有多少种不同的登法?
分析与解:
登上第1级台阶只有1种登法。
登上第2级台阶可由第1级台阶上去,或者从平地跨2级上去,故有2种登法。
登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2=3(种)……一般地,登上第n级台阶,或者从第(n—1)级台阶跨一级上去,或者从第(n—2)级台阶跨两级上去。
根据加法原理,如果登上第(n—1)级和第(n—2)级分别有a种和b种方法,则登上第n级有(a+b)种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数。
由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。
其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和。
登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个,即89。
也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数(见下图)。
例2在左下图中,从A点沿实线走最短路径到B点,共有多少条不同路线?
分析与解:
题目要求从左下向右上走,所以走到任一点,例如右上图中的D点,不是经过左边的E点,就是经过下边的F点。
如果到E点有a种走法(此处a=6),到F点有b种走法(此处b=4),根据加法原理,到D点就有(a+b)种走法(此处为6+4=10)。
我们可以从左下角A点开始,按加法原理,依次向上、向右填上到各点的走法数(见右上图),最后得到共有35条不同路线。
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例3左下图是某街区的道路图。
从A点沿最短路线到B点,其中经过C点和D点的不同路线共有多少条?
分析与解:
本题可以同例2一样从A标到B,也可以将从A到B分为三段,先是从A到C,再从C到D,最后从D到B。
如右上图所示,从A到C有3种走法,从C到D有4种走法,从D到B有6种走法。
因为从A到B是分几步走的,所以应该用乘法原理,不同的路线共有
3×4×6=72(条)。
例4沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法?
分析与解:
如右上图所示,先标出到C点的走法数,再标出到D点和E点的走法数,然后标出到F点的走法数,最后标出到B点的走法数。
共有8种不同的走法。
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例5有15根火柴,如果规定每次取2根或3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
分析与解:
为了便于理解,可以将本题转变为“上15级台阶,每次上2级或3级,共有多少种上法?
”所以本题的解题方法与例1类似(见下表)。
注意,因为每次取2或3根,所以取1根的方法数是0,取2根和取3根的方法数都是1。
取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和,即0+1=1。
依此类推,取n根火柴的方法数是取(n-3)根与取(n-2)根的方法数之和。
所以,这串数(取法数)中,从第4个数起,每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。
取完15根火柴共有28种不同取法。
练习:
1.小明要登15级台阶,每步登1级或2级台阶,共有多少种不同登法?
2.小明要登20级台阶,每步登2级或3级台阶,共有多少种不同登法?
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3.有一堆火柴共10根,每次取走1~3根,把这堆火柴全部取完有多少种不同取法?
4.在下图中,从A点沿最短路径到B点,共有多少条不同的路线?
5.左下图是某街区的道路图,C点和D点正在修路不能通过,那么从A点到B点的最短路线有多少条?
6.右上图是八间房子的示意图,相邻两间房子都有门相通。
从A点穿过房间到达B处,如果只能从小号码房间走向大号码房间,那么共有多少种不同的走法?
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有一位老人说:
“把我的年龄加上12,再用4除,再减去15后乘以10,恰好是100岁。
”这位老人有多少岁呢?
解这个题目要从所叙述的最后结果出发,利用已给条件一步步倒着推算,同学们不难看出,这位老人的年龄是
(100÷10+15)×4—12=88(岁)。
从这一例子可以看出,对于有些问题,当顺着题目条件的叙述去寻找解法时,往往有一定的困难,但是,如果改变思考顺序,从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,原来加的用减,减的用加,原来乘的用除,除的用乘,那么问题便容易解决。
这种解题方法叫做还原法或逆推法,用还原法解题的问题叫做还原问题。
例1有一个数,把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4。
问:
这个数是几?
分析:
这个问题是由
(□×4—46)÷3—10=4,
求出□。
我们倒着看,如果除以3以后不减去10,那么商应该是4+10=14;如果在减去46以后不除以3,那么差该是14×3=42;可知这个数乘以4后的积为42+46=88,因此这个数是88÷4=22。
解:
[(4+10)×3+46]÷4=22。
答:
这个数是22。
例2小马虎在做一道加法题目时,把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。
问:
正确的结果应是多少?
分析:
利用还原法。
因为把个位上的5看成9,所以多加了4;又因为把十位上的8看成3,所以少加了50。
在用还原法做题时,多加了的4应减去,多减了的50应加上。
解:
123-4+50=169。
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例3学校运来36棵树苗,乐乐与欢欢两人争着去栽,乐乐先拿了若干树苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回来6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。
问:
最初乐乐拿了多少棵树苗?
分析:
先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。
学校共有树苗36棵,乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍,所以欢欢现在拿了36÷(2+1)=12(棵)树苗,而乐乐现在拿了12×2=24(棵)树苗,乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵,如果不抢,那么乐乐有树苗24-6=18(棵),欢欢看乐乐拿得太多,去抢了10棵,如果欢欢不抢,那么乐乐就有18+10=28(棵)。
解:
36÷5(1+2)×2-6+10=28(棵)。
答:
乐乐最初拿了28棵树苗。
例4甲、乙、丙三组共有图书90本,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。
问:
甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?
分析与解:
尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去,但图书的总数90本没有变,由最后三个组拥有相同数目的图书知道,每个组都有图书90÷3=30(本)。
根据题目条件,原来各组的图书为
甲组有30+3=33(本),
乙组有30—3+5=32(本),
丙组有30—5=25(本)。
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例5一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?
分析:
由逆推法知,第二次用完还剩下15+7=22(米),第一次用完还剩下(22—10)×2=24(米),原来电线长(24+3)×2=54(米)。
解:
[(15+7—10)×2+3]×2=54(米)。
答:
这捆电线原有54米。
练习:
1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少?
2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。
3.在125×□÷3×8—1=1999中,□内应填入什么数?
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练习:
4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100。
问:
小乐爷爷今年多少岁?
5.粮库内有一批面粉,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半少7吨,还剩4吨。
问:
粮库里原有面粉多少吨?
6.有一筐梨,甲取一半又一个,乙取余下的一半又一个,丙再取余下的一半又一个,这时筐里只剩下一个梨。
这筐梨共值8.80元,那么每个梨值多少钱?
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上一讲我们讲了还原问题的基本思想和解法,下面再讲一些较复杂的还原问题和列表逆推法。
例1有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚。
问:
原来至少有多少枚棋子?
分析与解:
棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。
由此逆推,得到
第三次分之前有1×4+1=5(枚),
第二次分之前有5×1+1=21(枚),
第一次分之前有21×4+1=85(枚)。
所以原来至少有85枚棋子。
例2袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。
问:
袋中原有多少个球?
分析与解:
利用逆推法从第5次操作后向前逆推。
第5次操作后有3个,第4次操作后有(3—1)×2=4(个),第3次……为了简洁清楚,可以列表逆推如下:
所以原来袋中有34个球。
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例3三堆苹果共48个。
先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。
这时,三堆苹果数恰好相等。
问:
三堆苹果原来各有多少个?
分析与解:
由题意知,最后每堆苹果都是48÷3=16(个),由此向前逆推如下表:
原来第一、二、三堆依次有22,14,12个苹果。
逆推时注意,每次变化中,有一堆未动;有一堆增加了一倍,逆推时应除以2;另一堆减少了增加一倍那堆增加的数,逆推时应使用加法。
例4有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克。
先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍;再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。
这时,各桶油都是16千克。
问:
各桶原有油多少千克?
分析与解:
与例3类似,列表逆推如下:
原来甲、乙、丙桶分别有油26,14,8千克。
逆推时注意,每次变化时,有两桶各增加了一倍,逆推时应分别除以2;另一桶减少了上述两桶增加的数,逆推时应使用加法。
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例5兄弟三人分24个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。
如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大,最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同。
问:
兄弟三人的年龄各多少岁?
分析与解:
由于总共有24个桔子,最后三人所得到的桔子数相等,因此每人最后都有24÷3=8(个)桔子。
由此列表逆推如下表:
由上表看出,老大、老二、老三原来分别有桔子13,7,4个,现在的年龄依次为16,10,7岁。
逆推时注意,拿出桔子的人其桔子数减少了一半,逆推时应乘以2;另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半,逆推时应减去拿出桔子数的一半。
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练习:
1.有一堆桃,第一只猴拿走其中的一半加半个,第二只猴又拿走剩下的一半加半个,第三、四、五只猴照此方式办理,最后还剩下一个桃。
问:
原来有多少个桃?
问:
这堆西瓜原来有多少个?
3.甲、乙两粮库各有大米若干吨,先是甲库运出一半给乙库,然后乙库
525吨,乙库有大米775吨。
问:
最初甲、乙两库各有大米多少吨?
4.书架有上、中、下三层,一共放了192本书。
先从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层,这时三层的书刚好相等。
问:
这个书架上、中、下三层原来各有多少本书?
5.甲、乙、丙三人各有若干元钱,甲拿出一半平分给乙、丙,乙又拿出现有的一半平分给甲、丙,最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙。
这时他们各有240元。
问:
甲、乙、丙三人原来各有多少钱?
水。
问:
三个桶中原来各有多少升水?
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例1四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下:
86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。
求这10名同学的总分。
分析与解:
通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数
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