湖南省娄底市高一数学上册期末考试题.docx
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湖南省娄底市高一数学上册期末考试题
湘中名校2015-2016年上学期高一期末考试
数学试卷
满分共120分,考试时间120分钟。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题4分,共48分.
1.如果U={1,2,3,4,5},M={1,2,3},N=,那么(∁)∩N等于( )
A.B.{5}C.{1,3}D.{4,5}
2.已知两条直线:
x+2ay﹣1=0,:
2x﹣5y=0,且l1l2,则满足条件a的值为( )
A.B.C.D.5
3.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是( )
A.B.C.D.
4.过点(1,2),且倾斜角为60°的直线方程是( )
A.y+2=(x+1)B.y﹣2=(x﹣1)
C.y-2=(x-1)D.y+2=(x+1)
5、直线5x-12y+8=0与圆的位置关系是( )
A.相离B.相交C.相切D.无法判断
6.已知则()
A.B.C.D.
7.函数f(x)满足,则的值为()
A.B.C.1D.2
8.已知是函数的一个零点.若∈(1,),∈(,+∞),
则( )
A.<0,<0B.<0,>0
C.>0,>0D.>0,<0
9.如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=6,
AD=D′D=5,二面角D′﹣AB﹣D的
大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
10.函数的值域为( )
A.(﹣∞,+∞)B.(﹣∞,0)
C.(0,+∞)D.(1,+∞)
11.一个几何体的三视图如图所示,俯视图为
等边三角形,若其侧面积为,则
是().
A.B.
C.2D.
12.已知函数是定义在上的偶函数,且对任意x1,x2(0,)都有
,若实数满足,
则的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡中横线上
13.两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是
14.。
15.已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上,且AB=,则棱
锥O﹣ABCD的体积为.
16.已知函数构造函数
那么函数的最大值为。
三、解答题:
本大题共6小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分8分)
已知集合A={x|﹣4≤x≤9},B={x|m+1<x<2m﹣1},若A∪B=A,求m的取值范围.
18.(本小题满分8分)已知定义在R上的函数,且为奇函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若时,,求当时,函数的解析式。
19.(本小题满分8分)已知直线和在y轴上的截距相等,且它们的斜率互为相反数.若直线过点P(1,3),且点Q(2,2)到直线的距离为,求直线和直线的一般式方程.
20.(本小题满分10分)圆C过点A(6,4),B(1,),且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(7,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
21.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
,AB=BB1=1,B1C=2.
(I)求证:
平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(II)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值.
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,判断在的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
(3)讨论零点的个数;
湘中名校2015-2016年上学期高一期末考试数学参考答案
满分共120分,考试时间120分钟。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.如果U={1,2,3,4,5},M={1,2,3},N=,那么(∁)∩N等于( B )
A.B.{5}C.{1,3}D.{4,5}
2.已知两条直线:
x+2ay﹣1=0,:
2x﹣5y=0,且l1l2,则满足条件a的值为( A )
A.B.C.D.5
3.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是( D )
A.B.C.D.
4.过点(1,2),且倾斜角为60°的直线方程是( C )
A.y+2=(x+1)B.y﹣2=(x﹣1)
C.y-2=(x-1)D.y+2=(x+1)
5、直线5x-12y+8=0与圆的位置关系是(C )
A.相离B.相交C.相切D.无法判断
6.已知则(A)
A.B.C.D.
7.函数f(x)满足,则的值为(D)
A.B.C.1D.2
8.已知x0是函数的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),
则( D )
A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)>0D.f(x1)>0,f(x2)<0
9.如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=6,
AD=D′D=5,二面角D′﹣AB﹣D的
大小是( B )
A.30°B.45°C.60°D.90°
10.函数的值域为( C )
A.(﹣∞,+∞)B.(﹣∞,0)
C.(0,+∞)D.(1,+∞)
11.一个几何体的三视图如图所示,俯视图
为等边三角形,若其侧面积为,则
是(B).
A.B.
C.2D.
12.已知函数是定义在上的偶函数,且对任意x1,x2(0,)都有
,若实数满足,
则的取值范围是(A)
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡中横线上
13.两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是1
14.。
15.已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上,且AB=,则棱
锥O﹣ABCD的体积为4.
16.已知函数构造函数
那么函数的最大值为5
三、解答题:
本大题共6小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分8分)已知集合A={x|﹣4≤x≤9},B={x|m+1<x<2m﹣1},若A∪B=A,
求m的取值范围.
解:
当B=时,…….3分
当B≠,若A∪B=A,
∴﹣4≤m+1<2m﹣1≤9,转化为不等式组,解得:
2<m≤5…….7分
∴m的取值范围是{m≤5}…….8分
18.(本小题满分8分)已知定义在R上的函数,且为奇函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若时,,求当时,函数的解析式。
19.(本小题满分8分)已知直线和在y轴上的截距相等,且它们的斜率互为相反数.若直线过点P(1,3),且点Q(2,2)到直线l2的距离为,求直线和直线的一般式方程.
解:
设直线l1:
y=kx+b,直线l2:
y=-kx+b----------2分
∵l1过P(1,3)点且Q(2,2)到l2的距离为,
∴--------------------4分
解之得----------------6分
故l1:
2x-y+1=0l2:
2x+y﹣1=0;或l1:
x+2y-7=0l2:
x-2y+7=0----------8分
20.(本小题满分10分)圆C过点A(6,4),B(1,),且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(7,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
解:
(1)解法1:
直线AB的斜率,
所以AB的垂直平分线m的斜率为.
AB的中点的横坐标和纵坐标分别为.
因此,直线m的方程为.即.-------------2分
又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点。
联立方程组
解得---------------4分
所以圆心坐标为C(3,2),又半径,
则所求圆的方程是---------------------5分
解法2:
设所求圆的方程为.由题意得
----------2分
解得--------------4分
所以所求圆的方程是.---------------------5分
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P
M为线段PQ的中点,则,解得--------------7分
代入圆C中得--------------9分
即线段PQ中点M的轨迹方程为.-----------10分
21.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
,AB=BB1=1,B1C=2.
(I)求证:
平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(II)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值.
解:
(I)证明:
由直三棱柱性质,B1B⊥平面ABC,
∴B1B⊥AC,---------2分
又BA⊥AC,B1B∩BA=B,---------3分
∴AC⊥平面ABB1A1,---------4分
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1.---------5分
(II)解:
连--,连CM-------6分
∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且平面
B1AC∩平面ABB1A1=B1A,
∴A1M⊥平面B1AC.---------8分
∵AB=BB1=1,B1C=2,可得BC=AC=
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为---------10分
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,判断在的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
(3)讨论零点的个数;
解:
(1)当,且时,是单调递减的---1分.
证明:
设,则
--------2分
又,所以,,所以
所以,即,-----3分
故当时,在上单调递减的.--------4分
(2)由得,
当,
变形为,即-----6分
而,
当即时,--------7分
所以.--------8分
(3)由可得,变为
令-----9分
作的图像及直线,由图像可得:
当或时,有1个零点.-----10分
当或或时,有2个零点;-----11分
当或时,有3个零点.-------12分
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