九年级数学第12讲 弦弧圆周角与圆心角教案.docx
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九年级数学第12讲 弦弧圆周角与圆心角教案.docx
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九年级数学第12讲弦弧圆周角与圆心角教案
弦、弧、圆周角与圆心角
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
120
知识点
1、圆周角定理及推论.
2、直径所对的圆周角是直角.
3、弦、弧、圆心角
教学目标
1、理解圆周角的概念.
2、掌握圆周角定理及其推论.
3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.
教学重点
圆周角的概念和圆周角定理及其推论.
教学难点
圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的思想方法和完全归纳法的思想.
教学过程
一、课堂导入
如图所示,顶点在圆上,则得到如图的新的角∠ACB,它是什么角呢?
本节课我们共同来研究这样的角.
二、复习预习
垂径定理:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论扩展
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
三、知识讲解
考点1
圆心角、弦、弧
1、什么是圆心角?
答:
顶点在圆心的角叫圆心角.
2、圆心角的度数定理是什么?
答:
圆心角的度数等于它所对弧的度数.(如图所示)
3、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;在同圆或等圆中如果两条弦相等,则他们所对的圆心角、弧也相等;在同圆或等圆中如果弧相等,则他们所对的弦、圆心角也相等。
考点2
圆周角的定理
圆周角定义:
顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
考点3
圆周角定理的推论
1、同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
2、半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
其它推论:
①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等.
④圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.
考点4
直径所对的圆周角:
AB是直径,∠ACB是圆周角,∠ACB=90°,即半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
四、例题精析
例1
【题干】如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )
A.140°B.70°C.60°D.40°
【答案】B
【解析】解:
∵CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,
∴∠DOE=180°﹣40°=140°,
∴∠P=
∠DOE=70°.
故选B.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键
例2【题干】如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于( )
A.116°B.32°C.58°D.64°
【答案】B
【解析】由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得∠ADB=90°,继而求得∠A的度数,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得答案.
解:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=58°,
∴∠A=90°﹣∠ABD=32°,∴∠BCD=∠A=32°.故选B.
例3
【题干】如图所示,线段AB是⊙O上一点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )
A.50°B.40°C.60°D.70°
【答案】A
【解析】解:
连接OC,如图所示:
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC,
∴∠BOC=2∠CDB,又∠CDB=20°,
∴∠BOC=40°,
又∵CE为圆O的切线,
∴OC⊥CE,即∠OCE=90°,
则∠E=90°﹣40°=50°.
故选A.
例4【题干】.如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.
【答案】215
【解析】解:
如图,连接CE,
∵五边形ABCDE是圆内接五边形,
∴四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠B+∠AEC=180∘,
∵∠CED=∠CAD=35∘,
∴∠B+∠E=180∘+35∘=215∘.
故答案为:
215.
例5【题干】如图,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】B
【解析】解:
解:
过点O作OD⊥BC于D,
则BC=2BD,
∵△ABC内接于⊙O,∠BAC与∠BOC互补,
∴∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180°,
∴∠BOC=120°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=
=30°,
∵⊙O的半径为4,
∴BD=OB•cos∠OBC=4×
=2
,
∴BC=4
.
故选:
B.
例6
【题干】如图,在⊙O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为( )
A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°
【答案】D
【解析】解:
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBC=22.5°,
∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°.
∴∠C=(360°﹣135°)=112.5°.
故选D.
例7
【题干】如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则DC的值?
【答案】2
.
【解析】解:
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∵∠BAC=120°,
∴∠CAD=120°﹣90°=30°,
∴∠CBD=∠CAD=30°,
又∵∠BAC=120°,
∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°,
∵AB=AC,
∴∠ADB=∠ADC,
∴∠ADB=
∠BDC=
×60°=30°,
∵AD=6,
∴在Rt△ABD中,BD=AD÷cos60°=6÷
=4
,
在Rt△BCD中,DC=
BD=
×4
=2
.
故答案为:
2
.
例8
【题干】如图,AB是半圆的直径,点D是AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于( )
A.55°B.60°C.65°D.70°
【答案】C
【解析】解:
连结BD,如图,
∵点D是AC弧的中点,即弧CD=弧AD,
∴∠ABD=∠CBD,
而∠ABC=50°,
∴∠ABD=
×50°=25°,
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°﹣25°=65°.
故选C.
例9
【题干】在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.
【答案】解:
(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,
则AE=
AC=
×2=1,
∵翻折后点D与圆心O重合,
∴OE=
r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,
即r2=12+(
r)2,
解得r=
;
(2)连接BC,∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,
根据翻折的性质,
所对的圆周角等于
所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.
【解析】
(1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得AE=
AC,再根据翻折的性质可得OE=
r,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解得r=
;
(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到
所对的圆周角,然后根据∠ACD等于
所对的圆周角减去
所对的圆周角,计算即可得解∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.
课程小结
本节课我们一同探究了同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半;由这个结论进一步得到:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等;半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。
90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论,希望同学们通过复习,记住这些知识,并能做到灵活应用他们解决相关问题。
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