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华师大数学七下第八章
第8章一元一次不等式1
8.1认识不等式1
8.2解一元一次不等式3
1.不等式的解集3
2.不等式的简单变形4
3.解一元一次不等式6
8.3一元一次不等式组8
小结11
复习题12
A组12
B组12
C组13
第8章一元一次不等式
8.1认识不等式
问题1
世纪公园的票价是:
每人5元;一次购票满30张,每张可少收1元。
某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。
当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时,爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华,提议买30张票。
但有的同学不明白,明明我们只有27个人,买30张票,岂不是“浪费”吗?
那么,究竟李敏的提议对不对呢?
是不是真的“浪费”呢?
我们不妨一起来算一算:
买27张票,要付款
5×27=135(元)
买30张票,要付款
4×30=120(元)
显然120<135
这就是说,买30张票比买27张票付款要少,表面上看是“浪费”了3张票,而实际上反而节省了。
当然,如果去世纪公园的人数较少(例如10个人),显然不值得去买30张票,还是按实际人数买票为好。
现在的问题是:
至少要有多少人去世纪公园,多买票反而合算呢?
探索
我们一起来分析上面提出的问题。
设有x人要进世纪公园,如果x≧30,显然按实际人数买票,每张票只要付4元。
如果x<30,那么:
按实际人数买票x张,要付款5x(元)
买30张票,要付款4×30=120(元)
如果买30张票合算,那么应有
120<5x
现在的问题就是:
x取哪些数值时,上式成立?
前面已经算过,当x=27时,上式成立。
让我们再取一些值试一试,将结果填入下表。
x
5x
比较120与5x的大小
120<5x
21
105
120>5x
不成立
22
23
24
25
26
27
135
120<5x
成立
…
…
…
…
由上表可见,当x=___________时,不等式120<5x成立。
也就是说,少于30人时,至少要有_____人进公园时,买30张票反而合算。
概括
像上面出现的120<135,x<30,120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子,叫做不等式(inequality)。
不等式120<5x中含有未知数x。
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解(solutionofinequality)。
如上例中,x=25,26,27,…都是不等式120<5x的解,而x=24,23,22,21则不是它的解。
例用不等式表示:
(1)x的一半小于-1
(2)y与4的和大于0.5
(3)a是负数;(4)b是非负数;
解
(1)
x<-1
(2)y+4>0.5
(3)a<0
(4)b是非负数,就是b不是负数,它可以是正数或零,即b>0或b=0,通常可表示成b≥0。
练习
1.用不等式表示:
(1)x的3倍大于5;
(2)y与2的差小于-1。
(3)x的2倍大于x;(4)y的
与3的差是负数。
(5)a是正数;(6)b不是正数;
2.用“<”或“>”号填空:
(1)7+3________4+3;
(2)7+(-1)______4+(-1);
(3)7×3________4×3;(4)7×(-3)______4×(-3)。
3.下列各数中,哪些是不等式x+2>5的解?
哪些不是?
-3,-2,-1,0,1.5,2.5,3,3.5,5,7。
习题8.1
1.比较下列各数的大小,用“<”或“>”填空:
(1)-3______-2;
(2)-1______0;
(3)3______-4;(4)-5______-6;
(5)
______
;(6)-
______-
。
2.用不等式表示:
(1)x的
与3的差大于2;
(2)2x与1的和小于零;
(3)a的2倍与4的差是正数;(4)b的
与c的和是负数;
(5)a与b的差是非负数;(6)x的绝对值与1的和不小于1。
3.向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动,开始两天,每人每天完成5本杂志。
问以后3天,每人每天必须完成几本杂志,才能超额完成300本杂志的装订任务?
试列出不等式,找出符合题意的一些解。
8.2解一元一次不等式
1.不等式的解集
回忆
在上一节练习第3题中,我们发现,-3、-2、-1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x+2>5的解。
由此可以看出,不等式x+2>5有许多个解。
进而看出,大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解,而不大于3的每一个数都不是不等式x+2>5的解。
由此可见,不等式x+2>5的解有无限多个,它们组成一个集合,称为不等式x+2>5的解集。
概括
一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集(solutionset)。
研究不等式的一个重要任务,就是求出不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式(solvinginequality)。
不等式x+2>5的解集,可以表示成x>3,它也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.1所示。
同样,如果某个不等式的解集为x≤-2,也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.2所示。
练习
1.根据“当x为任何正数时,都能使不等式x+3>2成立”,能不能说“不等式x+3>2的解集是x>0”?
为什么?
2.两个不等式的解集分别为x<2和x≤2,它们有什么不同?
在数轴上怎样表示它们的区别?
3.两个不等式的解集分别为x<1和x≥1,分别在数轴上将它们表示出来。
2.不等式的简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时,我们主要是对方程进行变形。
在研究解不等式时,我们同样应先探究不等式的变形规律。
如图8.2.3所示,一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(显然a>b),如果在两边盘内分别加上等量的砝码c,那么盘子仍然像原来那样倾斜(即a+c>b+c)。
概括
不等式的性质1如果a>b,那么
a+c>b+c,a-c>b-c
这就是说,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等式的方向不变。
思考
不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢?
试一试
将不等式7>4两边都乘以同一个数,比较所得的数的大小,用“<”或“>”填空:
7×3_______4×3,
7×2_______4×2,
7×1_______4×1,
7×0_______4×0,
7×(-1)_______4×(-1),
7×(-2)_______4×(-2),
7×(-3)_______4×(-3),
………………………………………………
从中你能发现什么?
概括
不等式的性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。
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